菱形判定怎么证明？一组邻边相等的平行四边形深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：判定 原理

• 核心概念：想象一下，平行四边形就像一个四人家族，两组对边是两对双胞胎（平行且相等）。普通的平行四边形，这两对“邻边兄弟”长得不太一样。但如果有一天，我们发现其中有一对“邻边兄弟”竟然是长得一模一样的双胞胎（即一组邻边相等），那么，这个平行四边形家族就发生了“华丽变身”！它不再是普通的平行四边形，而是升级成了一个更对称、更漂亮的特殊四边形——菱形。所以，阿星的比喻“有一组邻边相等的平行四边形”正是菱形判定的核心钥匙。记住，先确认它是平行四边形（地基），再找到那组相等的邻边（关键特征），菱形身份即刻揭晓！
• 计算秘籍：在坐标几何或具体计算中，判定菱形通常分为两步：
  1. 证平行四边形：使用对角线互相平分、两组对边分别平行或相等、一组对边平行且相等等方法。例如，若四边形顶点为 \( A(x_1, y_1) \), \( B(x_2, y_2) \), \( C(x_3, y_3) \), \( D(x_4, y_4) \)，可计算对角线中点是否重合：\( \left( \frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2} \right) = \left( \frac{x_2+x_4}{2}, \frac{y_2+y_4}{2} \right) \)。
  2. 证一组邻边相等：利用两点间距离公式计算邻边长度。例如，\( AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)，\( BC = \sqrt{(x_3 - x_2)^2 + (y_3 - y_2)^2} \)，若 \( AB = BC \)，则判定为菱形。
• 阿星口诀：“平行四边打地基，邻边相等就崛起，变身菱形超帅气！”

📐 图形解析

从平行四边形到菱形的“华丽变身”示意图：关键在于确认一组邻边（如AB和BC）长度相等。

假设通过计算或测量，我们证明了 \( AB = BC \)，即 \( a = b \)。那么根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，四边形ABCD就升级为菱形。其核心公式（邻边相等条件）可表达为：在已知四边形是平行四边形的前提下，若满足 \( AB = BC \)，则它是菱形。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：只证明四条边都相等，就说是用“邻边相等”判定的菱形。
  ✅ 正解：“四条边都相等”是菱形的一个性质，也是一个独立的判定定理（即：四边相等的四边形是菱形）。而“一组邻边相等的平行四边形”是另一个判定定理，两者逻辑起点不同。前者无需先证平行四边形。
• ❌ 错误2：在证明时，直接默认四边形是平行四边形，没有进行证明，只证明了邻边相等。
  ✅ 正解：“有一组邻边相等的平行四边形”这个定义中，“平行四边形”是前提条件。必须首先严格证明该四边形是平行四边形，然后再证明它有一组邻边相等。两步缺一不可。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：有一组邻边相等的四边形是菱形。（ ）
2. 填空题：菱形判定方法之一：有一组______相等的平行四边形是菱形。
3. 已知平行四边形 \( ABCD \) 中，\( AB = 5 \)，若 \( BC = \) ____，则它一定是菱形。
4. 如图，在 \( \square ABCD \) 中，\( AE \) 平分 \( \angle BAD \) 交 \( BC \) 于 \( E \)，若 \( AB=AE \)，求证：\( \square ABCD \) 是菱形。（配简图）
5. 平行四边形的一个内角为 \( 60^\circ \)，其邻边长度为 \( 4 \)，则这个平行四边形的周长是______，它是菱形吗？______。
6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分 B. 邻边相等 C. 对角相等
7. 用直尺和圆规作一个菱形，使得其边长为 \( 3 \) cm。（描述步骤）
8. 若平行四边形的一条对角线平分一个内角，则这个平行四边形是______。
9. 在平行四边形 \( ABCD \) 中，添加一个条件：__________，即可使它是菱形。
10. 菱形两邻角的度数比是 \( 1:2 \)，则它的各个内角分别是______度。

第二关：中考挑战（10道）

1. （坐标系中）已知 \( A(0,2) \), \( B(3,0) \), \( C(6,2) \), \( D(3,4) \)，判断四边形 \( ABCD \) 的形状并证明。
2. 如图，在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle BAC=90^\circ \)，\( D \) 是 \( BC \) 中点，\( E \) 是 \( AD \) 中点，过点 \( A \) 作 \( AF//BC \) 交 \( BE \) 的延长线于 \( F \)，连接 \( CF \)。若 \( AB=AC \)，求证：四边形 \( ADCF \) 是菱形。
3. 平行四边形 \( ABCD \) 中，\( DE \perp AB \) 于 \( E \)，\( BF \perp CD \) 于 \( F \)，且 \( DE=BF \)。求证：四边形 \( ABCD \) 是菱形。
4. （折叠问题）将矩形纸片 \( ABCD \) 沿对角线 \( AC \) 折叠，使点 \( B \) 落在点 \( E \) 处，\( AE \) 交 \( CD \) 于点 \( F \)。若 \( CF=EF \)，求证：四边形 \( ACEG \)（其中 \( G \) 为某交点）是菱形。
5. （最值问题）菱形 \( ABCD \) 的边长为 \( 4 \)，\( \angle ABC=60^\circ \)，点 \( P \) 是 \( BD \) 上一动点，求 \( AP+PC \) 的最小值。
6. （阅读理解）新定义一种四边形，它的两组邻边分别相等。请证明：这种四边形一定是平行四边形，且当夹角为 \( 90^\circ \) 时，它是什么特殊四边形？
7. （存在性问题）在平面直角坐标系中，已知 \( A(-1,0) \), \( B(3,0) \)，是否存在点 \( C, D \)，使得以 \( A, B, C, D \) 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 \( C, D \) 坐标；若不存在，说明理由。
8. （面积问题）菱形的两条对角线长分别为 \( 6 \) 和 \( 8 \)，则它的边长是______，面积是______。
9. （综合证明）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 是角平分线，\( DE//AC \) 交 \( AB \) 于 \( E \)，\( DF//AB \) 交 \( AC \) 于 \( F \)。求证：四边形 \( AEDF \) 是菱形。
10. （判定辨析）下列说法正确的有（ ）个：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形；②对角线相等的平行四边形是菱形；③四边都相等的四边形是菱形；④有一个角是直角的菱形是正方形。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

第三关：生活应用（5道）

1. （钻石切割）钻石的台面常被切割成菱形。工匠需要确保切割出的图形是一组邻边相等的平行四边形。若他先用工具做出了一个平行四边形胚体，应测量哪个关键数据来确认它是菱形胚体？
2. （伸缩门原理）很多学校大门的伸缩门是利用了菱形的（ ）性质设计的。在设计时，每个活动单元都是菱形，请从“判定”角度解释，为什么厂家必须确保每个单元是菱形而不是普通平行四边形？
3. （地砖铺设）用形状、大小完全相同的菱形地砖铺设地面，能做到不留缝隙、不重叠。已知一块地砖的边长为 \( 20 \) cm，其中一个内角为 \( 60^\circ \)。求该地砖两条对角线的长度（精确到 \( 0.1 \) cm）。
4. （工程测量）如图，要检验一个四边形（如脚手架连接点）是否为菱形，因场地限制，只能测量四条边的长度和一组对边是否平行。请设计一个最简捷的检验方案。
5. （艺术设计）设计师想用木条制作一个可活动的菱形装饰框。他先用四根木条用铰链连接成一个平行四边形框架。为了让它变成菱形且形状固定，他最少还需要在框架中增加几根定长的木条作为支撑？支撑应连接在哪些位置？请画图说明。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ❌。必须是“平行四边形”加上这个条件。
2. 邻边。
3. \( 5 \)。
4. 解析：由平分得 \( \angle BAE = \angle EAD \)，由平行四边形得 \( \angle EAD = \angle AEB \)，∴ \( \angle BAE = \angle AEB \)，∴ \( AB = BE \)。又 \( AB = AE \)，∴ \( \triangle ABE \) 等边，∴ \( AB=BE=AE \)。结合 \( AD//BC \)，可证 \( \triangle ABE \cong \triangle CDA \)，得 \( AB=CD=AD=BC \)，故为菱形。
5. 周长 \( 16 \)，是菱形。
6. B。
7. ①作线段 \( AB=3 \) cm；②分别以 \( A, B \) 为圆心，\( 3 \) cm为半径画弧，两弧交于点 \( C \)；③连接 \( BC \)；④分别以 \( A, C \) 为圆心，\( 3 \) cm为半径画弧，两弧交于点 \( D \)；⑤连接 \( CD, DA \)。四边形 \( ABCD \) 即为所求菱形。
8. 菱形。
9. \( AB=BC \)（或对角线互相垂直等，答案不唯一）。
10. \( 60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ \)。

第二关：中考挑战 (精选解析)

1. 是菱形。解析：计算 \( AB = \sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2} = \sqrt{13} \), \( BC = \sqrt{(6-3)^2+(2-0)^2} = \sqrt{13} \), \( CD = \sqrt{13} \), \( DA = \sqrt{13} \)，∴ 四边相等，故为菱形（此题为直接证四边相等，也可用先证平行四边形再证邻边相等）。
2. 解析：先证 \( \triangle AEF \cong \triangle DEB \)，得 \( AF=BD \)，又 \( D \) 为中点，∴ \( AF=DC \) 且 \( AF//DC \)，∴ 四边形 \( ADCF \) 为平行四边形。由 \( AB=AC \)，\( BD=DC \)，得 \( AD \perp BC \)，即 \( \angle ADC=90^\circ \)。∴ 平行四边形 \( ADCF \) 是矩形。再由 \( AB=AC \)，\( \angle BAC=90^\circ \)，\( D \) 为 \( BC \) 中点，得 \( AD=DC \)，∴ 矩形 \( ADCF \) 是邻边相等的矩形，即为正方形，当然是菱形。（注：本题最终判定为正方形，但正方形是特殊的菱形。）
3. 解析：先证 \( \triangle ADE \cong \triangle CBF \)（AAS），得 \( AD=CB \)，结合平行四边形性质得邻边 \( AD=AB \)，故为菱形。
4. 略。
5. \( 4\sqrt{3} \)。解析：\( A, C \) 关于 \( BD \) 对称，\( AP+PC \) 最小值即为 \( AC \) 长。菱形且 \( \angle ABC=60^\circ \)，则 \( \triangle ABC \) 等边，\( AC=AB=4 \)。

第三关：生活应用 (思路点拨)

1. 应测量任意一组邻边的长度是否相等。
2. 不稳定性。菱形的不稳定性使其可以伸缩，而普通平行四边形虽然也不稳定，但菱形各边相等，能保证所有活动单元收缩或展开时，整体形态更规整，受力更均匀。
3. 一条对角线 \( = 20 \) cm（与 \( 60^\circ \) 角相对的边构成等边三角形），另一条对角线 \( = 20\sqrt{3} \approx 34.6 \) cm。
4. 方案：先验证一组对边平行。然后测量这组平行对边中任意相邻的两条边（即一组邻边）是否相等。若相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可判定。
5. 最少需要1根。将其连接在平行四边形两个相对的铰链上，使这根支撑的长度等于平行四边形的一条边长。这样，就强制固定了一组邻边的长度相等，从而将活动平行四边形变为固定的菱形。