列表法解题全攻略：两步问题如何不重不漏？初中数学深度解析专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：列表法 原理
- 核心概念：哈喽！我是阿星！想象一下，你同时掷出红色和蓝色两颗骰子，想知道一共有多少种点数组合。你脑子里的两个“小工人”（一个管红骰子，一个管蓝骰子）会不会手忙脚乱，数着数着就重复了或漏掉了？列表法就是给你一张超级清晰的任务分配表！它像一张棋盘，把两个因素（比如红骰子的6种可能和蓝骰子的6种可能）分行、分列排好，然后在格子间“手拉手”配对。这样就能不重不漏地把所有情况“一网打尽”，看得清清楚楚！记住阿星的话：“事情分两步，列表来指路。行列排整齐，答案自然出。”
- 计算秘籍：
- 确定“两主角”：明确问题中涉及的两个变化的因素，称为因素A和因素B。
- 画出“表格屋”：画一个表格，第一行列出因素A的所有可能情况（\( A_1, A_2, ..., A_m \)），第一列列出因素B的所有可能情况（\( B_1, B_2, ..., B_n \)）。
- 进行“手拉手”：将表格内部的每一个格子填上对应的组合（\( A_i, B_j \)）。
- 数出“总成员”：所有填好的格子就是全部可能的结果。如果每个组合都是有效的，那么结果总数就是 \( m \times n \)。
- 阿星口诀：两因素，共舞步，列成表，不迷路。横竖一交叉，情况全收录！
📐 图形解析
列表法本身是排列组合的工具，但它的思想可以可视化。我们可以把列表的每个结果看作平面直角坐标系中的一个点。
例如，掷一个骰子（点数1-6）和抛一枚硬币（正反面），所有可能结果的总数是：\( 6 \times 2 = 12 \) 种。
上图中，每一个点都对应列表法表格中的一个格子。例如标红的点，就代表“骰子点数为4，硬币为反面”这一种情况。总点数 = 行数 × 列数 = \( 6 \times 2 = 12 \)。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：顺序混乱。例如，从A、B、C三人中选两人担任班长和副班长，认为（甲班长，乙副班长）和（乙班长，甲副班长）是同一种情况。
✅ 正解：列表时，要区分两个因素的性质是否有序。班长和副班长是不同职位，顺序有意义，必须用列表区分开，这是两种不同的安排。 - ❌ 错误2：列表遗漏或重复。手动列表时，因排列不规则导致数错。
✅ 正解：严格遵循“先固定一个因素，系统遍历另一个因素”的原则列表。比如，先固定红骰子的点数为1，然后让蓝骰子从1到6遍历；再固定红骰子为2，蓝骰子再次从1到6遍历… 确保网格完整。
🔥 三例题精讲
例题1：同时掷两枚质地均匀的骰子（区分第1枚和第2枚），观察朝上一面的点数。两枚骰子点数之和为8的情况有多少种？
📌 解析：
- 确定两因素：第1枚骰子的点数（\( A \)）和第2枚骰子的点数（\( B \)）。
- 列表：\( A \) 的可能为 \( \{1,2,3,4,5,6\} \)，\( B \) 同样。在脑中或草稿上画出6x6的表格。
- 在表格中寻找和为8的组合：\( (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) \)。注意(1,7)等不可能发生。
- 数一数：共有5种。
✅ 总结：对于“和为某数”的问题，列表后只需检查对角线（从左上到右下）上的特定斜线即可快速找到。
例题2：一个不透明的袋子中有红、黄、蓝小球各1个，除颜色外无差别。先后从中摸出两个球（不放回），列出所有可能的结果。
📌 解析：
- 确定两因素：第一次摸出的球颜色（因素A），和第二次摸出的球颜色（因素B）。注意：因为不放回，所以两次摸出的球不能相同。
- 列表格：第一行列第一次可能：{红，黄，蓝}；第一行列第二次可能：{红，黄，蓝}。
- 填表格：对角线上的情况（如(红,红)）不可能发生，因为不放回。所以有效结果为：
(红,黄)，(红,蓝)，(黄,红)，(黄,蓝)，(蓝,红)，(蓝,黄)。 - 结果总数：\( 3 \times 3 - 3 = 6 \) 种。或直接数出6种。
✅ 总结：“不放回”抽取意味着两个因素互相影响（第二次的选择受第一次结果限制）。列表法能直观地排除不可能的组合（对角线）。
例题3：如图，从“A”点出发，沿着网格线走到“B”点，每次只能向右或向上走一步。共有多少种不同的最短路线？
📌 解析：最短路线意味着必须恰好向右走4步，向上走2步，总共6步。
- 问题转化：选择哪几步向右走（或哪几步向上走），路线就确定了。
- 这可以看作一个“两步”问题吗？可以！想象你有6个空位（6步），你需要做两个决定：
- 决定1：从6步中选出哪2步用来“向上走”（剩下的自动“向右走”）。
- 决定2：...等等，这其实是一个组合问题，但我们可以用“坐标化”列表思想来理解。
- 把到达的每一个交点用坐标表示，比如A点是(0,0)，B点是(4,2)。从(0,0)到(4,2)的路径数，等于从(0,0)到(3,2)的路径数与到(4,1)的路径数之和。这引出了更高级的递推思想。
- 但用最基础的列表枚举思想（虽然麻烦但直观）：我们可以把“路线”编码成“指令序列”，如“右右上右上右”（RRURUR）。这等价于从6个位置中选2个放“上”(U)。所有可能的选择方案数就是答案。
- 计算结果：这是一个组合数 \( C_6^2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \) 种。
✅ 总结：看似是路径问题，核心仍是计数。列表法启发我们，复杂问题常可分解为对两个关键因素的安排或选择。本题中，将“6步”视为舞台，安排“2个向上”和“4个向右”的位置，正是列表法思想的延伸。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 抛一枚硬币两次，列出所有可能的结果（用“正”、“反”表示）。
- 掷一枚骰子一次，抛一枚硬币一次，列出所有点数与正反面的组合。
- 小明有2件上衣（A、B）和3条裤子（X、Y、Z），一件上衣配一条裤子，有多少种不同的穿法？请列表。
- 从数字1、2中选一个作为十位，从3、4中选一个作为个位，可以组成哪些两位数？
- 小华从家到学校有2条路可走，从学校到图书馆有3条路可走，那么他从家经过学校到图书馆有多少种走法？
- 一个密码锁的密码由两个数字组成，每个数字可以是0到9。第一个数字是偶数，第二个数字是奇数。这样的密码有多少个？
- 同时掷两枚骰子，点数相同的可能结果有多少种？
- 从字母M、A、T、H中，先后选出两个不同的字母进行排列（如MA和AM算两种），列出所有可能。
- 一个转盘被分成红、绿、蓝三个区域，转动两次，列出指针所指区域颜色的所有可能（如(红,绿)）。
- 小亮有3本不同的故事书和2本不同的科技书，他要借给小红1本故事书和1本科技书，有多少种不同的借法？
第二关：中考挑战（10道）
- （概率基础）一个不透明的盒子中装有2个红球、1个白球，它们除颜色外都相同。从中随机摸出两个球，恰好摸到一个红球、一个白球的概率是多少？（用列表法分析）
- （几何综合）在 \( \triangle ABC \) 中，\( D、E \) 分别是 \( AB、AC \) 边上的点，且 \( DE \parallel BC \)。若 \( AD:DB = 2:1 \)，则 \( S_{\triangle ADE} : S_{\text{四边形}DBCE} \) 的比值是多少？思考时，如何用列表思想分析不同线段比例对应的面积比？
- （数字问题）有两个正整数，它们的和是8，积是15。这两个数分别是多少？
- （逻辑推理）甲、乙、丙、丁四人站成一排拍照，甲和乙必须相邻，列出所有可能的排队情况。
- （方程思想）一个两位数的个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于其个位与十位数字乘积的2倍。求这个两位数。（提示：设十位数为a，个位数为b，列表尝试可能的a,b）
- （实际应用）某餐厅推出套餐：主食有米饭、面条，主菜有排骨、鱼、鸡肉，汤有紫菜汤、玉米汤。每位顾客需选一种主食、一种主菜和一种汤。若用列表法分析选择方案，表格应是几维的？总共有多少种套餐组合？
- （概率进阶）小刚和小明玩“石头、剪刀、布”游戏。两人随机出手一次，小刚获胜的概率是多少？（提示：列表分析所有9种出手组合）
- （图形规律）用黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图规律铺地面，第n个图形中需要白色瓷砖多少块？尝试用列表法列出前几项（n, 白砖数），寻找规律。
- （组合计数）从4名学生中选出2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？
- （方案决策）某旅行团要从A景区、B景区、C景区中选择2个去游玩，不同的选择方案有多少种？
第三关：生活应用（5道）
- （电路设计）一个简单的电路模块有2个开关（开关1，开关2）和1盏灯。每个开关有“开”、“断”两种状态。只有当两个开关都处于“开”状态时，灯才会亮。请列出所有能使灯亮的开关状态组合。
- （密码学基础）一个最简单的二进制密码由2个“比特”（bit）组成，每个比特可以是0或1。这样的密码系统最多能表示多少种不同的信息（如00代表“你好”，01代表“再见”等）？请列出所有可能的2比特密码。
- （行程规划）你要从城市P前往城市Q。上午有2班高铁（G1，G2），下午有3班长途汽车（C1，C2，C3）。你可以选择上午坐高铁或下午坐汽车（只能选一种交通方式在当天到达）。你有多少种不同的当日行程方案？请列表说明。
- （基因配对简模型）在生物学中，某个性状由一对基因控制，每个基因可以是显性（用A表示）或隐性（用a表示）。一个后代从父母双方各获得一个基因。如果父亲基因型是Aa，母亲基因型也是Aa，请列表分析后代可能的所有基因型（如AA, Aa, aA, aa）。
- （简易决策分析）你要决定周末活动：户外活动（爬山或骑行）或室内活动（看电影或看书）。但你的选择还受天气影响：晴天选户外，雨天选室内。假设天气预报说周末“可能晴，可能雨”。请列出你在不同天气下的所有可能活动组合。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：列表法 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点通常不在列表本身，而在于“识别”和“建模”。学生往往卡在第一步：看不出题目中哪“两个因素”需要列表。例如，“从4人中选2人参加比赛”和“从4人中选2人分别担任正副班长”，前者是组合（无序），后者是排列（有序，可列表）。列表法要求将生活或文字描述抽象为清晰的、有序的两个决策步骤，这种抽象思维能力是需要练习的。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：列表法是离散数学和组合计数的基石，是培养有序、系统化思维的绝佳训练。它是学习概率（\( P(A) = \frac{m}{n} \) 中的 \( n \) 和 \( m \) 常靠列表得出）、统计学（系统抽样）、计算机科学（遍历算法、真值表）的基础。在中学阶段，它能帮你轻松解决古典概型、数字拼凑、简单逻辑等问题，其“不重不漏”的思想贯穿整个数学学习。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有！牢记“阿星两步判断法”：
- 审题时自问：“完成这件事，是否需要先后或同时做出两个决定？”（如：先选上衣，再选裤子；先掷第一枚骰子，再掷第二枚）。
- 如果答案是“是”，并且这两个决定的结果是有限且明确的，那么立刻在草稿纸上画表格！第一行列出一个因素的可能，第一列列出另一个因素的可能。
这个“套路”能解决80%以上的基础排列组合及概率问题。剩下的20%，可能是更复杂的多步骤问题（需要多层列表或树状图），但原理相通。
答案与解析
第一关 解析（节选）：
- {(正,正)，(正,反)，(反,正)，(反,反)}，共 \( 2 \times 2 = 4 \) 种。
- 骰子点数 \( \{1,...,6\} \) 与硬币 {正,反} 组合，共 \( 6 \times 2 = 12 \) 种。如(1,正)、(1,反)...(6,反)。
- 列表：行：上衣{A,B}；列：裤子{X,Y,Z}。格子：(A,X), (A,Y), (A,Z), (B,X), (B,Y), (B,Z)。共6种。
- 列表：十位{1,2}；个位{3,4}。组成的数：13, 14, 23, 24。
- 家到校2种（因素A），校到馆3种（因素B）。路线数 \( 2 \times 3 = 6 \) 种。
第二关 解析（节选）：
- 设红球为R1,R2，白球为W。列表分析所有可能摸出的两球组合（无序，但列表时有序以便计数）：
(R1,R2), (R1,W), (R2,W)。共3种等可能情况。其中一红一白有2种：(R1,W), (R2,W)。故概率 \( P = \frac{2}{3} \)。 - 由 \( DE \parallel BC \) 和 \( AD:DB=2:1 \)，得 \( AD:AB = 2:3 \)。\( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，面积比等于相似比的平方：\( S_{\triangle ADE} : S_{\triangle ABC} = (2/3)^2 = 4:9 \)。因此，\( S_{\triangle ADE} : S_{\text{四边形}DBCE} = 4 : (9-4) = 4:5 \)。列表思想体现在：可以假设 \( AD=2, AB=3 \)，则 \( DB=1 \)，进而推算各线段比例，避免混淆。
- 设两数为 \( a, b \)， \( a+b=8, ab=15 \)。列表尝试：可能的正整数对(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)...检查积，发现 \( 3 \times 5 = 15 \)。故两数为3和5。
第三关 解析（节选）：
- 开关状态：设“1”为开，“0”为断。组合有：(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)。只有(1,1)使灯亮。
- 所有2比特密码：00, 01, 10, 11。共 \( 2^2 = 4 \) 种。
- 方案列表：高铁方案{G1, G2}（2种），汽车方案{C1,C2,C3}（3种）。总方案 \( 2 + 3 = 5 \) 种。注意这不是“分步”，是“分类”，所以用加法。
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