列表法解题全攻略：二维网格法解决掷骰子概率等题型深度解析专项练习题库
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：列表法 原理
- 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，当一个问题被两个“小家伙”（因素）同时影响时，比如掷两个骰子，它们就像两个在迷宫里乱跑的小人。你单凭脑子想，很容易就把某些路线给漏掉了。这时候，列表法就是一张神奇的“二维网格”地图！我们把一个因素（比如第一个骰子）放在网格的顶部（横排），另一个因素（比如第二个骰子）放在网格的左侧（竖列）。这样，网格里的每一个小格子，就代表了这两个“小家伙”一次具体的“会面”结果。把所有格子都填满，就像布下了一张天罗地网，一个可能性都别想溜走！
- 计算秘籍：
- 定变量：明确问题中的两个核心变量，设为 \( A \) 和 \( B \)。
- 画网格：画一个表格，第一行写变量 \( A \) 的所有可能取值 \( a_1, a_2, ..., a_m \)，第一列写变量 \( B \) 的所有可能取值 \( b_1, b_2, ..., b_n \)。
- 填结果：将每个格子 \( (a_i, b_j) \) 对应的结果（如点数之和、面积、概率等）计算并填入。总情况数就是格子数：\( m \times n \)。
- 阿星口诀：两个因素别打架，画个网格安好家。横行竖列对应好，所有情况不漏下。
📐 图形解析
列表法的本质就是构建一个二维的“坐标网格”，让我们通过有序的遍历来穷尽所有组合。下图以掷两个骰子（一个红骰，一个蓝骰）为例，展示了这种网格思想：
在网格中，每个单元格代表一个有序组合 \( (A, B) \)。例如，红色骰子点数为 \( 2 \)，蓝色骰子点数为 \( 3 \)，对应的格子（被高亮）中的数字就是它们的和 \( 2+3 = 5 \)。通过这种可视化，我们可以系统地计算出所有 \( 6 \times 6 = 36 \) 种等可能情况。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：只考虑了一个因素的变化，另一个因素随便取一个值就完了。例如，求两个骰子点数之和为 \( 5 \) 的情况，只想到 \( (1,4) \)，漏了 \( (2,3), (3,2), (4,1) \)。 → ✅ 正解：必须使用二维网格，确保变量 \( A \) 和变量 \( B \) 的每一种取值都进行配对，做到有序、不重复、不遗漏。
- ❌ 错误2：画表格时，行和列的顺序混乱，导致重复计算或难以查找。 → ✅ 正解：严格按照大小或题目给定的顺序排列行和列的表头。通常按从小到大排列，形成有序的“坐标网格”，便于检查和计算概率 \( P = \frac{\text{目标格子数}}{\text{总格子数}} \)。
🔥 三例题精讲
例题1：基础应用 掷一枚均匀的红色骰子和一枚均匀的蓝色骰子，求两枚骰子点数之和为 \( 8 \) 的概率。
📌 解析：
- 确定变量：红骰点数 \( R \) (\( 1\)到\(6 \))，蓝骰点数 \( B \) (\( 1\)到\(6 \))。
- 画二维网格：行对应 \( R \)，列对应 \( B \)。
- 在网格中找出和為 \( 8 \) 的格子：\( (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) \)。共 \( 5 \) 个格子。
- 总格子数（总情况数）为 \( 6 \times 6 = 36 \)。
- 概率 \( P = \frac{5}{36} \)。
✅ 总结：经典的双因素等概率问题，列表法是最直接、最不易出错的方法。
例题2：几何结合 有两根长度分别为 \( 3\,\text{cm} \) 和 \( 4\,\text{cm} \) 的小木棒，现要从长度分别为 \( 2\,\text{cm}, 3\,\text{cm}, 5\,\text{cm} \) 的木棒中，各选一根与它们围成三角形。请问有多少种不同的选取方法能构成三角形？
📌 解析：问题涉及两个选择：从 \( {2,3,5} \) 中选一根与 \( 3\,\text{cm} \) 的棒配对，再选一根（可与前者同）与 \( 4\,\text{cm} \) 的棒配对。但注意，三角形需同时满足三边关系。我们设选取的两根新木棒长度分别为 \( a \) 和 \( b \)。
列出所有 \( (a, b) \) 组合的网格，并判断以 \( 3, 4, a, b \) 中哪三条为边能构成三角形（两边之和大于第三边）。为清晰，我们直接列出所有可能的三边组合：
实际上，我们需要考虑的是从 {2,3,5} 中选出两条边，与已有的 (3,4) 组合。但题目暗示是“各选一根”，可能理解为选两根不同的。我们按有序选择 (a,b) 列表，再分析三角形：
- 有效组合必须使用 3cm 和 4cm 这两条边，再从 a, b 中选一条作为第三边。
- 第三边长度必须满足：\( |3-4| < \text{第三边} < 3+4 \)，即 \( 1 < \text{第三边} < 7 \)。所以 a, b 中的 2, 3, 5 都符合。
- 关键：当 a 和 b 不同时，我们有两种选择第三边的方案（选a或选b），但它们是不同的三角形吗？通常，如果木棒有编号（可区分），则 (3,4,a) 和 (3,4,b) 是两种取法。但在网格中，(a,b) 组合如 (2,3) 意味着我们拿到了“2”和“3”两根棒，此时我们可以用“2”或“3”与(3,4)组合，这实际上是一个选取对应两种可能的三角形。
- 简化思考：直接枚举所有能作为第三边的木棒（从2,3,5中选一根）。答案是 3 种选择（2,3,5均可）。但题目问“有多少种不同的选取方法”，若“选取方法”指选出的两根新木棒的组合，则需检查哪种组合能保证至少有一根能与(3,4)成三角形。事实上，任意组合都至少含一根长度在(1,7)内的木棒，所以所有 \( C_3^2 = 3 \) 种无序选取方法（{2,3}, {2,5}, {3,5}）都至少能构成一个三角形。若考虑顺序，则更多。
本题旨在展示，列表后需结合几何条件（三角形三边关系）对每个格子进行筛选。
✅ 总结：列表法清晰呈现所有选择组合，但必须结合具体知识（此处为几何不等式）对每个结果进行判断，是解决综合题的有力工具。
例题3：进阶概率 一个不透明的袋子里有红球、蓝球各一个，除颜色外无区别。小明随机从袋中摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个。求两次摸出的球颜色相同的概率。
📌 解析：
- 变量：第一次摸到的颜色 \( C_1 \) {红，蓝}，第二次摸到的颜色 \( C_2 \) {红，蓝}。
- 画二维网格，总情况数为 \( 2 \times 2 = 4 \)。
- 目标事件“颜色相同”对应的格子为：\( (红,红) \) 和 \( (蓝,蓝) \)，共 2 格。
- 因此概率 \( P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)。
✅ 总结：对于有放回的抽样，每次摸球是独立的，列表法完美展现了 \( 2^2 \) 的样本空间。对于更复杂的多次抽样，列表法会拓展成多维，但其网格思想不变。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 掷两枚硬币（一枚5角，一枚1元），用列表法列出所有可能出现的正面（H）、反面（T）情况。
- 从数字 1, 2 中选一个作为十位，从 3, 4 中选一个作为个位，能组成哪些两位数？列表写出所有情况。
- 午餐主食可选米饭或面条，饮料可选汤或果汁。一份主食配一份饮料，共有多少种搭配？列表说明。
- 掷一个骰子，记录点数。掷一枚硬币，记录正反面。列出所有可能的结果组合。
- 从 A, B 两个信封中选一个，再从 1, 2 两张卡片中选一张放入。列出所有“信封-卡片”组合。
- 小红有红、白两件上衣，蓝、黑两条裤子。她一件上衣配一条裤子，有多少种穿法？列表。
- 判断题：用列表法求抛两个骰子点数之和时，和為 7 的情况有 6 种。（请先列表验证）
- 从 2, 3 两个数中选一个做底数，从 0, 1 两个数中选一个做指数。可以组成哪些幂？\( a^b \) 形式，列表。
- 小明要去图书馆或公园，交通方式可步行或骑车。列出他所有可能的“目的地-交通方式”组合。
- 第一个转盘分成红、蓝两区，第二个转盘分成黄、绿两区。各转一次，列出指针所指区域的所有颜色组合。
第二关：中考挑战（10道）
- （概率）一个袋子中装有标号 1, 2 的两个白球和标号 3 的一个红球。摸出一个球记下标号后放回，再摸一个。用列表法求两次摸出的球标号之和为奇数的概率。
- （概率）掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和小于 5 的概率。
- （组合）从 -1, 0, 1 这三个数中任取两个不同的数作为点 \( P \) 的横坐标和纵坐标，则点 \( P \) 在第二象限的概率是多少？
- （几何概率）如图，一个转盘被分成三个相同的扇形，分别标有数字 1,2,3；另一个转盘被分成两个相同的扇形，分别标有数字 4,5。同时转动两个转盘，用列表法求指针所指数字之积为偶数的概率。
- （方程）现有面值 1 元和 5 角的硬币共 4 枚。设 1 元硬币有 \( x \) 枚，5 角硬币有 \( y \) 枚。列出所有符合 \( x+y=4 \) 的非负整数解 \( (x,y) \)。
- （概率）小刚手中有三张扑克牌：红桃A、黑桃A、梅花2。他随机抽一张给小红，再随机抽一张（不放回）给小亮。用列表法求小红和小亮拿到相同点数牌的概率。
- （方案设计）用长度为 \( 4\,\text{cm} \) 和 \( 7\,\text{cm} \) 的两根木棒，再从长度为 \( 3\,\text{cm}, 5\,\text{cm}, 9\,\text{cm} \) 的木棒中选一根，能构成多少个不同的三角形？列表分析。
- （逻辑）甲、乙两人玩“石头(R)、剪刀(S)、布(P)”游戏。用列表法列出所有可能的对阵情况，并求出甲获胜的概率。
- （函数）点 \( P(m, n) \) 满足 \( m \in \{1, 2\} \), \( n \in \{-1, 0, 1\} \)。所有这些点中，在函数 \( y = x - 1 \) 图像上的点有几个？列表找出。
- （综合）从 2, 3, 4 这三个数中任取两个不同的数，分别作为一个两位数的十位数字和个位数字。用列表法列出所有可能的两位数，并求其中偶数的概率。
第三关：生活应用（5道）
- （路径规划）如图，小明从家(A)到学校(D)需要经过一个十字路口(B)和一个丁字路口(C)。从A到B有两条路，从B到C有三条路，从C到D有两条路。请用“网格”思想（或树状图）分析小明上学有多少条不同的路线。
- （密码设置）一个简单的密码由两位数字组成，第一位从 0, 1 中选择，第二位从 2, 3, 4 中选择。用列表法列出所有可能的密码组合。如果增加一位，第三位从 5, 6 中选择，你能推算出此时共有多少种组合吗？（不必全列）
- （比赛赛制）学校乒乓球单打比赛，甲、乙、丙三位选手进行循环赛。每两人之间赛一场。用列表法（以“行”为胜者，“列”为负者）表示出所有可能的比赛胜负结果（不考虑平局）。
- （资源分配）某项目需要从 A、B 两个供应商处采购一种零件。A 供应商的零件有高、中两种精度，B供应商的零件有红、蓝两种颜色。现需要组合成一个“精度-颜色”的完整零件包。列出所有可能的采购组合方案。
- （风险评估）投资两个独立项目。项目A的成功(S)或失败(F)概率各半，项目B的成功(S)或失败(F)概率也各半。用列表法列出两个项目投资结果的所有组合，并找出“至少有一个项目成功”的结果有多少种。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：列表法 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在思维的“维度切换”。学生习惯线性思考（一个接一个），而列表法要求同时、平等地考虑两个因素，并在脑中构建一个二维结构。难点一是容易“漏”，只盯着一个因素变，忘了另一个也在变；难点二是混淆“有序”与“无序”，比如在概率题中，认为 \( (1,2) \) 和 \( (2,1) \) 是相同结果，导致计数错误（除非题目明确说明顺序不重要）。列表法正是通过“网格”这一可视化工具，强行规范了思维过程。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：列表法是离散数学和组合学的基石。它是理解乘法原理 \( (m \times n) \) 最直观的模型。未来学习：
- 概率论：计算古典概型 \( P(A)=\frac{m}{n} \) 时，列表法帮你清晰找到 \( m \) 和 \( n \)。
- 坐标系：列表的“行”与“列”就是平面直角坐标系 \( (x, y) \) 的雏形。
- 程序设计：嵌套循环（`for i in range(m): for j in range(n):`）本质上就是在遍历一个二维列表（网格）。
- 矩阵：列表本身就是一个最原始的矩阵。
所以，掌握列表法，是培养系统性、有序性逻辑思维的关键一步。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有！可以总结为 “列表法四步曲”：
- 判题型：看到“两个”、“两种”、“两次”、“双方”等关键词，且需要穷举所有可能或计算概率，优先考虑列表法。
- 设变量：明确哪两个变量（因素）A和B，并写出它们各自的所有可能取值集合。
- 画网格：画出表格框架，第一行写A的取值，第一列写B的取值。
- 填算查：填入每个格子的结果（或直接打勾判断），根据问题计算总数 \( N_{总} = \text{行数} \times \text{列数} \) 和目标数 \( N_{目标} \)，最后按要求（求概率、求种数等）得出答案。
记住这个流程，就像拥有了一个标准化的解题工具箱，面对相关问题就能有条不紊地解决。
答案与解析
第一关：基础热身
- 列表：
5角-H 5角-T 1元-H (H,H) (T,H) 1元-T (H,T) (T,T) 共 4 种。
- 列表：
3 4 1 13 14 2 23 24 有 13, 14, 23, 24。
- 列表：
汤 果汁 米饭 1种 1种 面条 1种 1种 \( 2 \times 2 = 4 \) 种。
- 骰子点数 \( D \in \{1,2,3,4,5,6\} \)，硬币 \( C \in \{H,T\} \)。总 \( 6 \times 2 = 12 \) 种。
- 列表：
1 2 A (A,1) (A,2) B (B,1) (B,2) - \( 2 \times 2 = 4 \) 种。
- 正确。列表可得 (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) 共 6 种。
- 列表：
0 1 2 \( 2^0=1 \) \( 2^1=2 \) 3 \( 3^0=1 \) \( 3^1=3 \) - 4种组合。
- 4种组合：(红,黄),(红,绿),(蓝,黄),(蓝,绿)。
第二关：中考挑战 (仅给出关键答案或提示)
- 列表总情况 \( 3 \times 3 = 9 \)。和為奇数需一奇一偶：(1,3),(2,3),(3,1),(3,2)。共 4 种。\( P = \frac{4}{9} \)。
- 列表。和小于 5 的有 (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) 共 6 种。\( P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \)。
- 列表。点 P 坐标 (x,y)。第二象限要求 \( x<0, y>0 \)。只有 (-1, 1) 和 (-1, 0)？注意，0不在任何象限内。第二象限需 \( x<0, y>0 \)，所以只有 (-1, 1)。总情况数 \( A_3^2 = 6 \)。\( P = \frac{1}{6} \)。
- 列表总情况 \( 3 \times 2 = 6 \)。积为偶数：只要有一个数是偶数即可。转盘1: 2偶(2)1奇(1,3)；转盘2: 4偶,5奇。偶数积组合：(1,4),(2,4),(2,5),(3,4) 共 4 种。\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
- 解：\( (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0) \)。共 5 组非负整数解。
- 列表（不放回）：总情况 \( 3 \times 2 = 6 \)。相同点数：都是A。组合为 (红A,黑A) 和 (黑A,红A)。\( P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)。
- 设第三边为 c ∈ {3,5,9}。需满足三角不等式。对于(4,7,c)：c>|7-4|=3且c<7+4=11。c=5,9 符合。对于(4,c,7)和(7,c,4)是同一种三角形。故能构成 2 个不同的三角形（边长分别为 (4,7,5) 和 (4,7,9) ）。
- 列表 \( 3 \times 3 = 9 \) 种。甲获胜（R胜S, S胜P, P胜R）有 3 种情况。\( P = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)。
- 列表 6 个点。在 \( y=x-1 \) 上，即满足 \( n = m-1 \)。点 (1,0) 和 (2,1) 满足。共 2 个。
- 列表所有两位数：23,24,32,34,42,43。其中偶数：24,32,34,42。共 4 个。\( P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)。
第三关：生活应用
- 路线数 = \( 2 \times 3 \times 2 = 12 \) 条。
- 两位密码：列表得 6 种。三位密码：第一位 2 种，第二位 3 种，第三位 2 种，共 \( 2 \times 3 \times 2 = 12 \) 种。
- 三人循环赛共 3 场：甲-乙，甲-丙，乙-丙。胜负列表需分别列出每场的胜者，比较复杂，但思路是用多层列表或树状图。
- 组合： (高,红), (高,蓝), (中,红), (中,蓝)。共 4 种方案。
- 列表总情况 4 种：(S,S),(S,F),(F,S),(F,F)。“至少一个成功”包含前 3 种，共 3 种。
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