两角相等怎么证明？三角形相似公共角模型深度解析与训练专项练习题库

💡 阿星精讲：两角相等 原理

• 核心概念：嗨，同学！我是阿星。想象一下，你要证明两个三角形是“双胞胎”（相似），最快的方法是什么？就像参加一个“找相同”的比赛，规则是：只要找到两个角对应相等，它们就是相似三角形！ 那怎么找最快呢？阿星的秘诀是：“通常一个是公共角，找另一个。” 这个“公共角”就像是你们两个人都有的一个明显特征（比如都戴眼镜），你只要再找到一个共同点（比如都穿了同款球鞋），那你们就是“一伙的”！在几何题里，公共角经常是重叠的那个角，或者对顶角，找到它，你就成功了一大半！
• 计算秘籍：
  1. 识图：先锁定两个疑似相似的三角形 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A‘B’C‘\)。
  2. 寻角（一）：迅速定位它们共有的角，即公共角，记作 \(\angle A = \angle A‘\)。
  3. 寻角（二）：在已知条件中寻找或通过计算（如平行、内角和、外角等）证明另一对角相等，即 \(\angle B = \angle B‘\)。
  4. 判定：根据“两角分别相等的两个三角形相似”（记为 \(AA\) 或 \(A.A.\)），下结论：\(\triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘\)。
  5. 得比例：由相似得到对应边成比例，例如：\(\frac{AB}{A‘B’} = \frac{BC}{B‘C’} = \frac{AC}{A‘C’}\)。
• 阿星口诀：公角在手，另寻一角，对应成双，相似即到。

📐 图形解析

最常见的“公共角”模型：共享一个角的两三角形。

已知：\(\angle 1 = \angle 2\)，且 \(\angle A\) 为公共角。

在图形中，\(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADB\) 共享 \(\angle A\)。如果我们还能证明 \(\angle 1 = \angle 2\)（例如通过平行线），那么根据 \(AA\) 判定，立刻有 \(\triangle ADB \sim \triangle ABC\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：找到两个角相等后，写相似三角形时，对应顶点顺序乱写。如 \(\triangle ABC \sim \triangle BAC\)。
  ✅ 正解：必须严格按照“相等的角所对的顶点”对应来写。如果 \(\angle A = \angle D\)，\(\angle B = \angle E\)，那么 \(A\) 对应 \(D\)，\(B\) 对应 \(E\)，必须写作 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)。
• ❌ 错误2：在证明“两边成比例且夹角相等”（\(SAS\)相似）时，忽略“夹角”条件，用成了非夹角的两边。
  ✅ 正解：“两边”必须是那个相等角的两条夹边。例如，已知 \(\angle A = \angle D\)，必须检查比例式是否为 \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，其中 \(AB\)、\(AC\) 是 \(\angle A\) 的夹边。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\(\angle 1 = \angle 2\)，请直接写出图中所有的相似三角形对。（提示：找公共角）
2. 已知：\(DE // BC\)，\(AD = 3\)，\(DB = 2\)，\(BC = 10\)。求 \(DE\) 的长度。
3. 太阳光下，身高 \(1.6m\) 的小明影长 \(2m\)，同一时刻旗杆影长 \(10m\)，求旗杆高度。
4. 判断题：有两个角分别为 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 的两个直角三角形一定相似。 ( )
5. 如图，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(CD \perp AB\)。请写出图中至少三对相似三角形。
6. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)，且 \(\angle A = 50^\circ\)，\(\angle E = 70^\circ\)，求 \(\angle C\) 的度数。
7. 证明：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
8. 如图，\(AB\) 是 \(\odot O\) 的直径，\(C\) 是圆上一点，\(CD \perp AB\) 于 \(D\)。求证：\(\triangle ADC \sim \triangle ACB\)。
9. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘\)，相似比为 \(2:3\)，若 \(BC = 8\)，求 \(B‘C’\)。
10. 一个三角形的两个角分别是 \(55^\circ\) 和 \(65^\circ\)，另一个三角形的两个角分别是 \(55^\circ\) 和 \(60^\circ\)，它们相似吗？为什么？

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）将 \(\triangle ABC\) 绕点 \(A\) 逆时针旋转得到 \(\triangle ADE\)，点 \(B\) 的对应点是 \(D\)。求证：\(\triangle ABD \sim \triangle ACE\)。
2. 如图，在平行四边形 \(ABCD\) 中，\(E\) 是 \(BC\) 延长线上一点，\(AE\) 交 \(CD\) 于点 \(F\)。求证：\(\triangle ADF \sim \triangle ECF\)。
3. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别在 \(AB\)、\(AC\) 上，且 \(\angle AED = \angle B\)。若 \(AD=3\)，\(AC=8\)，求 \(AE\) 的长。
4. （“母子型”相似）如图，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(CD \perp AB\)。求证：\(CD^2 = AD \cdot DB\)。（提示：先证相似得比例）
5. 如图，\(P\) 是 \(\triangle ABC\) 边 \(AB\) 上一点，连接 \(CP\)。请添加一个条件______，使得 \(\triangle ACP \sim \triangle ABC\)。
6. （双垂直模型）如图，四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ\)，\(DM \perp AC\) 于 \(M\)，\(BN \perp AC\) 于 \(N\)。求证：\(\triangle ADM \sim \triangle CBN\)。
7. 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle A=36^\circ\)，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)。求证：(1) \(\triangle ABC \sim \triangle BDC\)；(2) \(BC\) 是 \(AB\) 和 \(CD\) 的比例中项。
8. 如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 是 \(BC\) 边上的三等分点，\(F\) 是 \(AC\) 中点，连接 \(AD\)、\(AE\)、\(AF\)。若 \(S_{\triangle ABC} = 36\)，求 \(S_{\triangle AEF}\)。
9. （射影定理）在题4的基础上，求证：\(AC^2 = AD \cdot AB\)， \(BC^2 = BD \cdot BA\)。
10. 如图，正方形 \(ABCD\) 边长为 \(4\)，\(E\) 是 \(BC\) 中点，连接 \(AE\)，\(DE\)，\(AC\)，它们两两相交。请找出图中所有的相似三角形（不含全等）。

第三关：生活应用（5道）

1. （测距）为了测量河宽 \(AB\)，在岸边选定点 \(C\)，测得 \(AC=120m\)，再沿 \(AC\) 方向走 \(40m\) 到点 \(D\)，并在 \(BD\) 方向上确定点 \(E\)，使 \(C\)、\(E\)、\(A\) 三点共线。若测得 \(DE=50m\)，求河宽 \(AB\)。
2. （光学）根据光的反射定律（入射角等于反射角），试解释为什么利用一面小镜子放在地面可以测量树高，并画出测量原理的相似三角形图。
3. （工程绘图）在比例尺为 \(1:500\) 的图纸上，一个矩形零件长 \(4cm\)，宽 \(2.5cm\)。这个零件的实际周长是多少米？
4. （建筑）小明想用一块直角三角板（\(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\)）测量他家楼梯斜坡与地面的夹角（坡度）。他将长直角边紧贴地面，斜边紧贴楼梯斜坡，发现短直角边恰好与楼梯竖板平行。他能测出坡度吗？为什么？
5. （投影）电影放映机将胶片上的图像投射到银幕上，这实际上是一个相似变换。若胶片上画面的尺寸为 \(2cm \times 3cm\)，银幕画面尺寸为 \(4m \times 6m\)，求这个变换的相似比。若胶片离镜头 \(10cm\)，估算镜头到银幕的距离大约是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关解析（节选）：

1. \(\triangle ABE \sim \triangle ADC\) (公共角 \(\angle A\)， \(\angle 1 = \angle 2\))； \(\triangle BDE \sim \triangle CDA\) (对顶角相等， \(\angle 1 = \angle 2\))。
2. 由 \(DE // BC\) 得 \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)，则 \(\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB}\)。\(AD=3\)，\(AB=AD+DB=5\)，\(BC=10\)，∴ \(\frac{DE}{10} = \frac{3}{5}\)，解得 \(DE = 6\)。
3. 太阳光是平行光，物体、影子与光线构成相似直角三角形。设旗杆高为 \(h\)，则 \(\frac{1.6}{2} = \frac{h}{10}\)，解得 \(h = 8\) (m)。
4. ✅ 正确。一个角是 \(30^\circ\)，另一个锐角必为 \(60^\circ\)，两个角对应相等。
5. \(\triangle ADC \sim \triangle CDB\)，\(\triangle ADC \sim \triangle ACB\)，\(\triangle CDB \sim \triangle ACB\)。（三垂直模型）

第二关解析（节选）：

1. 旋转性质得 \(AB=AD\)， \(AC=AE\)， \(\angle BAD = \angle CAE\)。∴ \(\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}\)，且夹角 \(\angle BAD = \angle CAE\)，故 \(\triangle ABD \sim \triangle ACE\) (\(SAS\))。
2. 平行四边形中，\(AD // BC\)，∴ \(\angle DAF = \angle E\)。又 \(\angle AFD = \angle EFC\) (对顶角)，∴ \(\triangle ADF \sim \triangle ECF\) (\(AA\))。
3. 在 \(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\) 公共，\(\angle AED = \angle B\)，∴ \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)。∴ \(\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}\)。注意 \(AB\) 未知？仔细看，已知 \(AD=3\)， \(AC=8\)，但 \(AB\) 是 \(AD\) 所在边，比例关系为 \(\frac{AD}{AE} = \frac{AE}{AC}\)（子母型），即 \(AE^2 = AD \cdot AC = 24\)，∴ \(AE = 2\sqrt{6}\)。

第三关解析（节选）：

1. 由题意可证 \(\triangle CDE \sim \triangle CAB\) (\(AA\)， 对顶角相等，且 \(DE // AB\) 吗？需证明：因为 \(C, E, A\) 共线，且测量时保证了 \(C, E, A\) 共线，这实际上构造了“8”字型相似，条件是 \(\angle C\) 公共，\(\angle EDC = \angle ABC\)？这里需要更严谨的测量方法描述：应确保 \(C, D, B\) 和 \(C, E, A\) 均共线，这样 \(\angle ACB\) 是公共角，\(\angle EDC = \angle ABC\) (测量方法保证)。则 \(\frac{DE}{AB} = \frac{DC}{BC}\)，即 \(\frac{50}{AB} = \frac{40}{120}\)，解得 \(AB=150m\)。
2. 原理图略。将镜子平放在地面点C处，人后退到点E，直到刚好在镜子中看到树顶A的像。测量人眼高 \(ED\)，人到镜子距离 \(EC\)，树到镜子距离 \(BC\)。根据反射定律和法线，可证 \(\angle 1 = \angle 2\)，结合直角，得 \(\triangle EDC \sim \triangle ABC\)，从而由 \(\frac{ED}{AB} = \frac{EC}{BC}\) 求树高 \(AB\)。