相似三角形两角判定定理深度解析：如何快速找到公共角与对顶角专项练习题库

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( DE // BC \)。若 \( AD=2 \)，\( DB=4 \)，\( AE=3 \)，求 \( EC \) 的长度。
   (提示：先证明相似)
2. 已知 \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，且 \( \angle A = 50^{\circ} \)，\( \angle E = 70^{\circ} \)，求 \( \angle C \) 的度数。
3. 根据图中所标的角度，判断 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle ADE \) 是否相似，并说明理由。（图：两三角形共享角A，∠B=60°，∠D=60°，∠C=45°，∠E=75°）
4. 下列条件中，能判定 \( \triangle ABC \sim \triangle A’B’C’ \) 的是 ( ) A. \( \angle A=50^{\circ}, \angle B=40^{\circ}, \angle A’=50^{\circ}, \angle C’=40^{\circ} \) B. \( \angle A=\angle A'=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}, \angle B'=60^{\circ} \)
5. （接上题图1）若 \( DE=5 \)，\( BC=15 \)，求 \( \triangle ADE \) 与 \( \triangle ABC \) 的周长比。
6. 如图，\( \angle 1 = \angle 2 \)，请添加一个条件______，使得 \( \triangle ABC \sim \triangle ADE \)。
7. 一个直角三角形的一个锐角是 \( 37^{\circ} \)，另一个直角三角形的两个锐角分别是 \( 37^{\circ} \) 和 \( 53^{\circ} \)。这两个三角形相似吗？为什么？
8. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( CD \perp AB \) 于 \( D \)。图中有多少对相似三角形？请全部写出来。
9. 两个等腰三角形，若它们的一个底角相等，则这两个三角形相似吗？若它们的一个顶角相等呢？
10. 已知 \( \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 \)，相似比为 \( k_1=2 \)；\( \triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2 \)，相似比为 \( k_2=3 \)。则 \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle A_2B_2C_2 \) 的相似比是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，在平行四边形 \( ABCD \) 中，点 \( E \) 在 \( BC \) 边上，\( AE \) 交 \( BD \) 于点 \( F \)。若 \( BE:EC=3:2 \)，则 \( BF:FD = \) ______。
2. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC \)，\( AD \perp BC \) 于 \( D \)，\( BE \perp AC \) 于 \( E \)，\( AD \) 与 \( BE \) 交于点 \( H \)。求证：(1) \( \triangle AEH \sim \triangle ADC \)；(2) \( BH = 2HD \)。
3. 如图，\( P \) 为 \( \triangle ABC \) 边 \( AB \) 上一点，连结 \( CP \)。要使 \( \triangle ACP \sim \triangle ABC \)，还需要补充的一个条件是______或______。
4. 如图，正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 4 \)，\( E \) 为 \( BC \) 中点，\( CF \perp DE \) 于 \( F \)。求 \( CF \) 的长。
5. 在锐角 \( \triangle ABC \) 中，高 \( AD \) 和 \( CE \) 相交于点 \( H \)。求证：\( AD \cdot BC = AB \cdot CE \)。
6. 如图，Rt\( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AC=6 \)，\( BC=8 \)。四边形 \( DEFG \) 为其内接正方形。求正方形的边长。
7. 已知 \( D \) 是 \( \triangle ABC \) 边 \( AB \) 上一点，\( \angle ACD = \angle B \)。若 \( AD=2 \)，\( AB=6 \)，求 \( AC \) 的长。
8. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( D \) 是 \( AB \) 中点，\( DE // BC \) 交 \( AC \) 于 \( E \)。求证：\( E \) 是 \( AC \) 中点，且 \( DE = \frac{1}{2} BC \)。
9. 在平面直角坐标系中，\( A(0,6) \)，\( B(8,0) \)，\( C(0,0) \)。点 \( P \) 从 \( C \) 出发沿 \( CB \) 向 \( B \) 运动，速度为 \( 1 \) 单位/秒；点 \( Q \) 从 \( B \) 出发沿 \( BA \) 向 \( A \) 运动。两点同时出发，运动 \( t \) 秒后，\( \triangle BPQ \) 与 \( \triangle BAC \) 相似，求 \( t \) 的值。
10. 如图，\( AB \perp BD \)，\( CD \perp BD \)，\( AB=6 \)，\( CD=4 \)，\( BD=14 \)。点 \( P \) 在 \( BD \) 上移动，当以 \( P, A, B \) 为顶点的三角形与以 \( P, C, D \) 为顶点的三角形相似时，求 \( PB \) 的长。

第三关：生活应用（5道）

1. 小孔成像：如图，蜡烛 \( AB \) 通过带小孔 \( O \) 的纸板，在光屏 \( CD \) 上形成倒立的像 \( A‘B’ \)。已知 \( AB=15cm \)，\( OB=30cm \)，\( O B' = 10cm \)，求像高 \( A'B' \)。
2. 河宽测量：小华为了测量小河对岸树 \( AB \) 的高度，在河边选定一点 \( C \)，测得 \( \angle ACB = 45^{\circ} \)。然后在 \( BC \) 延长线上找一点 \( D \)，测得 \( \angle ADB = 30^{\circ} \)。已知 \( CD = 20m \)。求树高 \( AB \)。（结果保留根号）
3. 金字塔高度：泰勒斯利用相似原理测量金字塔。正午时分，当他的影子长度等于身高时，他立刻测量金字塔的影子长度，从而算出了金字塔的高度。请解释其原理，并写出计算式。
4. 视力表：标准视力表上，“E”字的高为 \( 7.3mm \)。检查视力时，人眼距视力表 \( 5m \)。若视力表上某个“E”字的像在视网膜上正好占满感光细胞的特定区域（设该区域对应眼内的“像距”约为 \( 20mm \)），求这个“E”字实际的高度。
   (提示：眼睛成像原理与小孔成像类似，可抽象为相似三角形)
5. 斜坡与影子：一根长为 \( 2.5m \) 的竹竿斜靠在垂直于地面的墙上，竹竿的底端离墙脚 \( 0.7m \)。如果此时太阳光线与地面成 \( 60^{\circ} \) 角，求竹竿在地面上的影子长度。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析：∵ \( DE // BC \)，∴ \( \angle ADE = \angle B \)，\( \angle AED = \angle C \) (同位角相等)。又 \( \angle A \) 是公共角，∴ \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)。∴ \( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)。即 \( \frac{2}{2+4} = \frac{3}{AC} \)，解得 \( AC = 9 \)。∴ \( EC = AC - AE = 9 - 3 = 6 \)。
2. 解析：∵ \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \)，∴ \( \angle A \) 对应 \( \angle D \)，\( \angle B \) 对应 \( \angle E \)，\( \angle C \) 对应 \( \angle F \)。已知 \( \angle A=50^{\circ} \)，\( \angle E=70^{\circ} \) 即 \( \angle B=70^{\circ} \)。∴ \( \angle C = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 70^{\circ} = 60^{\circ} \)。
3. 解析：不相似。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ} \)。在 \( \triangle ADE \) 中，\( \angle A = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 75^{\circ} = 45^{\circ} \)。虽然 \( \angle B = \angle D = 60^{\circ} \)，但 \( \angle A \) 在两个三角形中不相等 (\( 75^{\circ} \ne 45^{\circ} \))，不满足两角对应相等。
4. 解析：B。A选项 \( \angle B=40^{\circ} \)，但 \( \angle C'=40^{\circ} \)，角不对应。B选项：\( \angle A=\angle A'=90^{\circ} \)，\( \angle C=30^{\circ} \) 则 \( \angle B=60^{\circ} \)，又 \( \angle B'=60^{\circ} \)，所以 \( \angle B = \angle B' \)，满足两角判定。
5. 解析：由 \( \triangle ADE \sim \triangle ABC \)，相似比 \( k = \frac{DE}{BC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)。周长比等于相似比，故为 \( 1:3 \)。
6. 解析：\( \angle B = \angle D \) 或 \( \angle C = \angle AED \) 等。理由：已知 \( \angle 1 = \angle 2 \)，即 \( \angle BAC = \angle DAE \) (公共角)，故只需再添加一组对应角相等即可。
7. 解析：相似。第一个三角形两锐角为 \( 37^{\circ} \) 和 \( 53^{\circ} \) (因为 \( 90^{\circ}-37^{\circ}=53^{\circ} \))。第二个三角形两锐角为 \( 37^{\circ} \) 和 \( 53^{\circ} \)。两三角形有两组角对应相等，故相似。
8. 解析：三对。\( \triangle ADC \sim \triangle ACB \) (两角：\( \angle A \)公共，\( \angle ADC = \angle ACB = 90^{\circ} \))；\( \triangle CDB \sim \triangle ACB \) (两角：\( \angle B \)公共，\( \angle CDB = \angle ACB = 90^{\circ} \))；\( \triangle ADC \sim \triangle CDB \) (两角：\( \angle A = \angle BCD \)，\( \angle ADC = \angle CDB = 90^{\circ} \))。
9. 解析：底角相等：相似。因为等腰三角形底角相等，若一个底角相等，则两个底角都对应相等，即有两对角相等。顶角相等：也相似。顶角相等，则底角也相等（因为底角=\( (180^{\circ}-顶角)/2 \)）。
10. 解析：\( 6 \)。相似比是边长比的乘积：\( 2 \times 3 = 6 \)。

（第二关、第三关答案解析略，可由教师根据实际教学情况提供）