两点之间线段最短原理及距离公式深度解析：中考几何必备专项练习题库

💡 阿星精讲：两点之间 原理

• 核心概念：嘿，我是阿星！想象一下，你是个快递员，要从A点送货到B点。你是会老老实实走一条直道呢，还是故意绕个大圈，先跑去河边看眼风景？除非你想被扣工资，否则肯定会选直道对吧？这就是数学世界里的“潜规则”——两点之间，线段最短。这个“最短路径”就是连接两点的那条笔直的、没有任何弯曲的线段。它不仅是常识，更是几何学中一个超级重要的公理，是咱们搭建许多数学大厦的基石！
• 计算秘籍：如果A、B两点在数轴或坐标系中，我们就能用数学工具“量”出这条最短路径的长度，也就是距离。
  1. 在数轴上：距离就是两坐标差的绝对值。\( A(x_1) \)， \( B(x_2) \)， 则距离 \( d = |x_1 - x_2| \)。
  2. 在平面直角坐标系中：这就需要用上强大的勾股定理了。\( A(x_1, y_1) \)， \( B(x_2, y_2) \)， 距离公式为：\( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)。
• 阿星口诀：两点相连，线段最省；坐标一摆，公式搞定！

📐 图形解析

下面这个图完美展示了为什么“线段最短”。从A到B，你可以走折线 \( ACB \)，也可以走曲线，但所有路径中，只有直线段 \( AB \) 的长度是最小的。

数学原理：设图中折线 \( AC + CB \) 的长度为 \( L_1 \)， 线段 \( AB \) 长度为 \( L_0 \)。根据公理“三角形两边之和大于第三边”，在 \( \triangle ABC \) 中，恒有 \( L_1 = AC + CB > AB = L_0 \)。因此，任何非线段的路径都比线段长。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：在立体图形（如长方体）的两个顶点间，直接画一条空间内部的直线当最短路径。
  ✅ 正解：立体图形表面的最短路径，通常需要将表面展开成平面，在展开图上连接两点成线段，再折回立体去判断。因为“线段最短”在平面上成立，在立体表面需要“化曲为直”。
• ❌ 错误2：使用距离公式 \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) 时，忘记坐标差要平方，或计算完忘记开方。
  ✅ 正解：牢记公式结构“差的平方和再开方”。可按步骤计算：①求横坐标差 \( \Delta x = x_2 - x_1 \)；②求纵坐标差 \( \Delta y = y_2 - y_1 \)；③计算 \( \Delta x^2 + \Delta y^2 \)；④对结果开算术平方根。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 数轴上，点P表示-5，点Q表示7，求PQ的距离。
2. 看图，从A点到B点，哪条线最短？（给出简单三点图，让学生选择连线）
3. 如果点M是点N(2)和点K(-4)的中点，求点M表示的数。
4. 填空：连接两点的______长度，叫做这两点的距离。
5. 点A(1), B(5), C(-2)在数轴上，求AB, BC, AC的距离。
6. 一句话解释：为什么“两点之间线段最短”？
7. 平面直角坐标系中，点(0,0)到点(3,4)的距离是______。
8. 已知A(2,2)，B(2,5)，求AB的长度。这条线段有什么特点？
9. 计算：\( \sqrt{(5-1)^2 + (1-4)^2} \) 的值。
10. 数轴上，到表示-1和5的点距离相等的点表示的数是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. （坐标系综合）已知点A(-1, 2)， B(3, 1)。在x轴上找一点P，使PA=PB，求点P坐标。
2. （数形结合）如图，圆柱底面周长为12cm，高为5cm，一只蚂蚁从圆柱下底面的点A爬到上底面相对的点B，求蚂蚁爬行的最短路径长。
3. （距离公式逆用）若点P(a, 2)到点A(1, 5)的距离是5，求a的值。
4. （中点应用）在△ABC中，A(1,3), B(4,-1), C(0,2)。求BC边上的中线AD的长度。
5. （新定义）定义：在平面直角坐标系中，点P(x,y)的“直角距离”d(P)=|x|+|y|。求点A(3,-4)的“直角距离”，并求到原点O的“直角距离”为6的所有点组成的图形周长。
6. （实际建模）如图，一条河流同侧有A、B两个村庄，现要在河边建一个水泵站P，分别向两村供水。为使铺设的水管总长PA+PB最短，确定P点的位置，并说明理由。
7. （分类讨论）已知点M(2, 1)和点N(5, -2)，点P在y轴上，且△PMN是等腰三角形，求点P坐标。
8. （图形判定）以点A(0,0), B(4,0), C(2,3)为顶点的三角形是什么三角形？（等边、等腰、直角？）
9. （面积计算）已知点O(0,0), A(3,0), B(0,4)，求△OAB的面积和周长。
10. （综合题）已知点A(-2,0), B(4,0), C(1, m)。当m为何值时，△ABC是以AB为底边的等腰三角形？并求出此时△ABC的周长。

第三关：生活应用（5道）

1. （导航规划）下图是简化的城市街区图，小星在A点，图书馆在B点，每个小方块边长100米。他只能沿街道走，请问最短路线有几条？最短距离是多少米？
   
   （给出一个3x2的网格图，A在左下角，B在右上角）
2. （工程测量）工人师傅要在墙壁上（视为平面）钉两个钉子A和B来挂一幅画，为了保证画框水平，他需要用一根拉直的线来确定高度。这利用了“两点之间______最短”的原理，从而确保线是水平的。
3. （数据传输）在计算机网络中，数据包从服务器A传输到服务器B，理想状态下会选择延迟最低的路径，这可以抽象为数学中的______问题。
4. （选址问题）一个度假村要建一个急救中心，使其到三个主要别墅区A、B、C的距离之和最小。这是一个复杂的“最短路径”问题，在数学中被称为______问题。
5. （光学原理）光在均匀介质中沿直线传播。这可以解释为光在选择从一点到另一点的路径时，遵循了______的原理，因此我们能看到影子。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( PQ = |7 - (-5)| = 12 \)
2. 连接A和B的直线段最短。
3. \( M = \frac{2 + (-4)}{2} = -1 \)
4. 线段的
5. \( AB=|5-1|=4 \), \( BC=|-2-5|=7 \), \( AC=|-2-1|=3 \)
6. 根据几何公理，在所有连接两点的线中，线段最短。
7. \( d = \sqrt{3^2+4^2} = 5 \)
8. \( AB = |5-2| = 3 \)。这是一条平行于y轴的竖直线段。
9. \( \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16+9} = 5 \)
10. 中点：\( \frac{-1+5}{2} = 2 \)

第二关：中考挑战

1. 设P(x,0)。由 \( PA=PB \) 得 \( \sqrt{(x+1)^2+(0-2)^2} = \sqrt{(x-3)^2+(0-1)^2} \)。两边平方解得 \( x = \frac{5}{4} \)。P(\( \frac{5}{4} \), 0)。
2. 将圆柱侧面展开为矩形，长为12cm（底面周长），宽为5cm（高）。A、B位于矩形两侧长的中点。最短路径即矩形对角线长：\( \sqrt{12^2 + 5^2} = 13 \) cm。
3. 由 \( \sqrt{(a-1)^2 + (2-5)^2} = 5 \) 得 \( (a-1)^2 + 9 = 25 \)， \( (a-1)^2 = 16 \)， 所以 \( a-1 = \pm4 \)， \( a = 5 \) 或 \( a = -3 \)。
4. 先求BC中点D坐标：\( D(2, 0.5) \)。再求 \( AD = \sqrt{(2-1)^2 + (0.5-3)^2} = \sqrt{1 + 6.25} = \sqrt{7.25} = \frac{\sqrt{29}}{2} \)。
5. \( d(A) = |3| + |-4| = 7 \)。到原点直角距离为6的点满足 \( |x|+|y|=6 \)，图形是中心在原点的正方形，四个顶点为(6,0), (0,6), (-6,0), (0,-6)。边长为 \( 6\sqrt{2} \)，周长为 \( 24\sqrt{2} \)。
6. 作点A关于河岸的对称点A‘，连接A’B，与河岸的交点即为P点。理由：利用对称，将问题转化为“两点（A‘和B）之间，线段最短”。
7. 设P(0,y)。分三种情况：①PM=PN；②PM=MN；③PN=MN。分别列距离方程求解。可得P点坐标可能为(0, -1), (0, 3.5), (0, \( \frac{3 \pm \sqrt{89}}{2} \))等。
8. 计算三边：\( AB=4 \)， \( AC=\sqrt{(2-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} \)， \( BC=\sqrt{(2-4)^2+(3-0)^2}=\sqrt{13} \)。因为 \( AC=BC \neq AB \)，所以是等腰三角形。
9. 面积 \( S = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \)。周长 \( L = OA + OB + AB = 3 + 4 + \sqrt{3^2+4^2} = 3+4+5=12 \)。
10. 由CA=CB得 \( \sqrt{(1+2)^2 + m^2} = \sqrt{(1-4)^2 + m^2} \)， 解得 \( m=0 \)。此时C(1,0)，在AB上，不能构成三角形。故当 \( m \neq 0 \) 时，CA=CB恒成立（因为关于AB垂直平分线对称）。取m=3，则CA=CB=\( \sqrt{18}=3\sqrt{2} \)，周长= \( 6 + 6\sqrt{2} \)。

第三关：生活应用

1. 最短路径需向右走3格，向上走2格，顺序可以任意。最短路线数为 \( C_{5}^{2} = 10 \) 条。最短距离为 \( (3+2) \times 100 = 500 \) 米。
2. 线段
3. 最短路径
4. 费马点（或最小 Steiner 树）
5. 两点之间线段最短