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三角形相似两边夹角判定定理：原理详解与中考题型突破专项练习题库

适用年级

初三

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：两边夹角 原理

  • 核心概念：哈喽！我是阿星。想象一下，你要判断两个三角形是不是“亲兄弟”（相似），光看脸（角）像还不行，万一是个“照骗”呢？这里有个黄金法则：“夹紧”原则！就像你用两根手指捏住一张纸的一角，这个角（夹角）和捏住它的两根手指（两条边）是关键。如果两个三角形中，两组对应边的比例相同，并且它们“夹住”的那个角大小也相等，那么这两个三角形就铁定相似！记住我的口诀：“边成比，角相等，必须是我夹住的那个角！” 这个被“夹紧”的角，就是我们判定相似的核心纽带。
  • 计算秘籍：
    1. 识别对应：在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A‘B’C‘\) 中，找到你认为可能相等的那个夹角，例如 \(\angle A\) 和 \(\angle A'\)。
    2. 检查比例：计算夹这个角的两组边的比值是否相等。即检查是否满足：
      \( \frac{AB}{A‘B’} = \frac{AC}{A‘C’} \)
      注意，\(AB\) 和 \(AC\) 是夹住 \(\angle A\) 的两条边，\(A'B'\) 和 \(A‘C’\) 是夹住 \(\angle A'\) 的两条边。
    3. 得出结论：如果上述比例相等，且 \(\angle A = \angle A‘\)，则 \(\triangle ABC \sim \triangle A’B‘C’\)。
  • 阿星口诀：“两边成比例，夹角是唯一；此角若相等，相似就锁定！”

📐 图形解析

下面这个图清晰地展示了“两边夹角”（SAS）判定定理。看，两个三角形中，绿色的角是相等的夹角，而夹住它的两组边（红色与蓝色）成比例。这就像用同样的力度和角度“捏”出了两个形状相同的图形。

对应关系：\(\angle A = \angle D\)，且 \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)。

A B C AB AC ∠A SAS D E F DE DF ∠D AB/DE = AC/DF

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：只看两组边成比例，不管它们是不是夹着同一个角。
    ✅ 正解：必须严格检查成比例的两组边是否“夹住”了那个相等的角。顺序很重要！\( \frac{AB}{A’B‘} = \frac{BC}{B’C‘} \) 但 \(\angle B \ne \angle B’\)，就不能用此判定。
  • ❌ 错误2：认为“两边相等且一角相等”就是“两边夹角”判定，混淆了全等（SSS，SAS）与相似（边成比例）。
    ✅ 正解：相似判定要求的是“边成比例”，而不是“边相等”。全等是相似比为 \(1\) 的特殊情况。

🔥 三例题精讲

例题1：基础识别

已知 \(\triangle ABC\) 中，\(AB = 4\)，\(AC = 6\)，\(\angle A = 60^\circ\)；\(\triangle DEF\) 中，\(DE = 2\)，\(DF = 3\)，\(\angle D = 60^\circ\)。判断 \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 是否相似。

📌 解析：

  1. 找到对应夹角：\(\angle A\) 和 \(\angle D\)，且 \(\angle A = \angle D = 60^\circ\)。符合“夹角相等”。
  2. 检查夹此角的两边是否成比例：
    夹 \(\angle A\) 的边是 \(AB\) 和 \(AC\)，夹 \(\angle D\) 的边是 \(DE\) 和 \(DF\)。
    计算比值：\( \frac{AB}{DE} = \frac{4}{2} = 2 \)， \( \frac{AC}{DF} = \frac{6}{3} = 2 \)。
    所以 \( \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} \)。
  3. 根据“两边成比例且夹角相等”，得出 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)。

✅ 总结：先锁定相等的角，再计算它两旁边的比值。比值相等，则相似成立。

例题2：图形与计算结合

如图，在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle ADE\) 中，点 \(D\)、\(E\) 分别在 \(AB\)、\(AC\) 上，且 \(AD = 2\)，\(BD = 4\)，\(AE = 3\)，\(EC = 6\)，\(\angle BAC\) 为公共角。求证：\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)。

A B C D E 公共角

📌 解析：

  1. 公共角 \(\angle BAC = \angle DAE\)。这是我们“夹紧”的角。
  2. 计算夹这个角的两组边之比：
    \(AB = AD + BD = 2 + 4 = 6\)， \(AC = AE + EC = 3 + 6 = 9\)。
    对于 \(\triangle ABC\)，夹 \(\angle BAC\) 的边是 \(AB\) 和 \(AC\)。
    对于 \(\triangle ADE\)，夹 \(\angle DAE\) 的边是 \(AD\) 和 \(AE\)。
  3. 计算比值：\( \frac{AB}{AD} = \frac{6}{2} = 3 \)， \( \frac{AC}{AE} = \frac{9}{3} = 3 \)。
    所以 \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \)。
  4. 因为 \(\angle BAC = \angle DAE\)，且 \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \)，根据“两边夹角”判定，\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)。

✅ 总结：在复杂图形中，要善于寻找公共角或对顶角作为相等的夹角，并准确找出夹这个角的两组对应边。

例题3：反例思考

已知 \(\triangle PQR\) 中，\(PQ = 8\)，\(PR = 12\)，\(\angle P = 50^\circ\)；\(\triangle XYZ\) 中，\(XY = 4\)，\(YZ = 6\)，\(\angle Y = 50^\circ\)。它们是否一定相似？

📌 解析：

  1. 找到对应角：\(\angle P\) 和 \(\angle Y\) 都是 \(50^\circ\)。
  2. 检查夹角的两边：注意！在 \(\triangle PQR\) 中，夹 \(\angle P\) 的边是 \(PQ\) 和 \(PR\)。
    在 \(\triangle XYZ\) 中，夹 \(\angle Y\) 的边应该是 \(XY\) 和 \(YZ\) 吗？不是！夹住 \(\angle Y\) 的边是 \(XY\) 和 \(YZ\) 吗？我们画个图看看。

P Q R 8 12 50° Y X Z 4 6 50°

从图上看，在 \(\triangle XYZ\) 中，\(\angle Y\) 所对的边是 \(XZ\)，而题目给出的 \(XY=4\) 和 \(YZ=6\) 是 \(\angle Y\) 的邻边，但它们并不一定是夹住 \(\angle Y\) 的两条边吗？实际上，是的，\(XY\) 和 \(YZ\) 确实构成了 \(\angle Y\)。但让我们检查比例：

对应边应该是：夹 \(\angle P\) 的 \(PQ\)、\(PR\) 对应夹 \(\angle Y\) 的 \(XY\)、\(YZ\)。
计算比值：\( \frac{PQ}{XY} = \frac{8}{4} = 2 \)， \( \frac{PR}{YZ} = \frac{12}{6} = 2 \)。
比例相等，夹角相等。所以它们是相似的。

本题陷阱在于字母顺序。如果题目将 \(\triangle XYZ\) 的顶点顺序调换，比如给出 \(XY=4\)， \(XZ=6\)， \(\angle Y=50^\circ\)，那么 \(XY\) 和 \(XZ\) 就不夹 \(\angle Y\) 了，此时就不能判定。所以审题看清顶点顺序和边角对应关系至关重要。

✅ 总结：“两边夹角”判定中，“两边”必须是紧紧挨着那个相等角的两条边。图形和字母顺序不一致时，要特别小心。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A = \angle D = 70^\circ\)，\(AB=5\)， \(AC=7\)， \(DE=10\)， \(DF=14\)。它们相似吗？为什么？
  2. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle A‘B’C‘\)，且 \(\frac{AB}{A‘B’} = \frac{3}{2}\)， \(\angle A = 45^\circ\)，则 \(\angle A’ = ?\)
  3. 根据下列条件，判断 \(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 是否相似，并说明理由。
    (1) \(AB=6, BC=8, \angle B=40^\circ; DE=9, EF=12, \angle E=40^\circ\)
    (2) \(AB=4, AC=5, \angle A=60^\circ; DE=8, DF=10, \angle D=60^\circ\)
  4. 画两个三角形，使其满足“两边成比例且夹角相等”，并标出对应边和角。
  5. 如果两个三角形有两边对应成比例，且有一个角相等，它们一定相似吗？举例说明。
  6. 填空题：若 \(\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF}\)，且 ______，则 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)（用文字描述）。
  7. \(\triangle ABC\) 中，\(AB=12\)， \(AC=15\)， \(\angle A=50^\circ\)；\(\triangle LMN\) 中，\(LM=4\)， \(LN=5\)， \(\angle L=50^\circ\)。求相似比。
  8. 判断题：两个等腰三角形，若顶角相等，则它们相似。 （ ）
  9. 如图所示，\(\angle 1 = \angle 2\)，请添加一个条件，使得 \(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)。（用“两边夹角”的思路） A B C D E 1 2
  10. 已知 \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\)，相似比为 \(3:2\)。若 \(BC=9\)， \(EF=6\)， \(\angle B = 30^\circ\)，则 \(\angle E = ?\)， \(AB:DE = ?\)

第二关：中考挑战（10道）

  1. （中考真题改编）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别是 \(AB\)、\(AC\) 上的点，且 \(AD=3\)， \(DB=2\)， \(AE=4.5\)， \(EC=3\)。求证：\(\triangle ADE \sim \triangle ACB\)。
  2. （中考真题改编）已知：如图，\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \)， \(\angle 1 = \angle 2\)。求证：\(\triangle ABC \sim \triangle ADE\)。
  3. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，点 \(E\) 在 \(BC\) 延长线上，连接 \(AE\) 交 \(DC\) 于点 \(F\)。若 \(AB:CE = 3:2\)， \(AD=CF\)，求证：\(\triangle ADF \sim \triangle ECF\)。
  4. \(\triangle ABC\) 中，\(AB=8cm\)， \(AC=6cm\)， \(BC=7cm\)；\(\triangle DEF\) 中，\(DE=4cm\)， \(DF=3cm\)， \(\angle D = \angle A\)。问：\(\triangle DEF\) 的周长是多少？
  5. 如图，\(P\) 是正方形 \(ABCD\) 边 \(BC\) 上一点，\(BP=3PC\)，\(Q\) 是 \(CD\) 中点。求证：\(\triangle ADQ \sim \triangle QCP\)。
  6. 在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle A’B‘C’\) 中，\(\angle A = \angle A‘\)， \(\frac{AB}{A’B‘} = \frac{AC}{A’C‘} = \frac{3}{4}\)，且 \(\triangle A’B‘C’\) 的周长为 \(20cm\)，求 \(\triangle ABC\) 的周长。
  7. 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长分别为 \(3, 4, 5\)。\(\triangle DEF\) 中，\(DE=6\)， \(DF=8\)，且 \(\angle D = 90^\circ\)。判断这两个三角形是否相似，并说明理由。
  8. 如图，\(\angle ACB = \angle ADC = 90^\circ\)， \(AC=\sqrt{6}\)， \(AD=2\)。当 \(AB\) 长为多少时，\(\triangle ABC \sim \triangle ACD\)？（提示：考虑公共角 \(\angle CAD\)）
  9. 在锐角 \(\triangle ABC\) 中，高 \(BD\) 和 \(CE\) 相交于点 \(H\)。求证：\(AE \cdot AB = AD \cdot AC\)。（提示：证明两次相似）
  10. （综合题）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)， \(AD \perp BC\) 于点 \(D\)， \(E\) 是 \(AC\) 中点，连接 \(DE\) 并延长交 \(BA\) 延长线于点 \(F\)。若 \(AB=10\)， \(BC=12\)，求 \(AF\) 的长。

第三关：生活应用（5道）

  1. 测量金字塔：泰勒斯利用相似三角形原理测量金字塔高度。他在阳光下竖起一根木棍，测得木棍及其影长，同时测得金字塔影长。这实际运用了“两角相等”判定。请设计一个利用“两边夹角”判定来测量河宽的方法，并画出草图。
  2. 工程制图：一个零件的图纸上，某三角形部分的尺寸为：两边长 \(20mm\) 和 \(30mm\)，夹角 \(45^\circ\)。实际制作中，需要放大到原来的 \(1.5\) 倍。求放大后零件对应部分的实际尺寸。
  3. 摄影构图：摄影师想让两张不同尺寸照片中的同一座塔看起来“相似”（比例协调）。已知实际塔高与底座宽度比为 \(5:1\)。第一张照片中塔的影像高 \(10cm\)，底宽 \(2cm\)；第二张照片中影像高 \(15cm\)，底宽应为多少才能保持比例一致？这符合哪个相似判定？
  4. 力学结构：一个简易的三角支架（\(\triangle ABC\)）被设计为等腰三角形，腰长 \(AB=AC=1m\)，顶角 \(\angle A=120^\circ\)。为加固，在内部增加一根连杆 \(DE\)，使得 \(\triangle ADE\) 与 \(\triangle ABC\) 相似，且 \(D\)、\(E\) 分别在 \(AB\)、\(AC\) 上，\(AD=0.4m\)。求连杆 \(DE\) 的长度。
  5. 艺术设计：一位设计师需要绘制一系列大小不同但形状相同的花瓣图案。基础花瓣轮廓可近似看作一个三角形，两边长为 \(3cm\) 和 \(5cm\)，夹角 \(72^\circ\)。现在需要制作一个放大版，其中一边长为 \(7.5cm\)，且要保持夹角不变。求放大版另一条对应边的长度，并说明你使用的判定依据。

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：两边夹角 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点主要有两个：一是对应关系混乱。学生容易把成比例的边和相等的角“张冠李戴”，没有严格遵守“夹紧”原则，即必须是一组边夹住一个角，对应另一组边夹住另一个角。二是与其它判定混淆，特别是与“两角对应相等”（AA）判定，以及全等三角形中的“SAS”判定。关键在于理解，相似判定是比全等更宽泛的“形状相同，大小可不同”，其核心是比例关系 \(k\)，即 \( \frac{AB}{A’B‘} = \frac{AC}{A’C‘} = k \)，而不仅仅相等。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：作用巨大！它是相似理论的基石之一。在后续学习中：

  • 三角函数：正弦、余弦的定义直接依赖于直角三角形中边的比值，而这正是相似三角形的性质。例如，在任意直角三角形中，只要锐角 \(\theta\) 相等，\( \frac{对边}{斜边} \) 的比值就固定，这正是因为所有含角 \(\theta\) 的直角三角形都相似。
  • 平面几何证明：是证明线段成比例、求线段长度、证明乘积式（如 \(PA \cdot PB = PC \cdot PD\)）的核心工具。
  • 解析几何与向量：在坐标系中，两点间距离公式、斜率概念背后都有比例思想。向量的数乘可以看作是图形的缩放（相似变换）。
  • 物理中的应用：光学中的成像原理（小孔成像、透镜成像）、力学中的杠杆原理、地图的比例尺计算，本质上都是相似变换。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有的！面对证明相似的问题，可以遵循以下四步法：

  1. 找角：先观察图形中是否有明显的相等角，如公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角、直角等。
  2. 定夹：一旦找到一对相等的角，立刻确定在两个三角形中，分别是哪两条边“夹住”了这个角。这是最关键的一步！
  3. 算比：分别写出夹这个角的两组边的比值，并化简，看是否相等。即验证是否满足 \( \frac{边_1}{对应边_1} = \frac{边_2}{对应边_2} \)。
  4. 下结论：如果比值相等，则根据“两边成比例且夹角相等”（SAS相似判定），得出结论。

记住阿星的口诀，并在图形上做标记，能大大提高准确率。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. 相似。 因为 \(\angle A = \angle D\)，且夹此角的两边成比例：\(\frac{AB}{DE} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)， \(\frac{AC}{DF} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}\)。
  2. \(\angle A‘ = 45^\circ\)。相似三角形对应角相等。
  3. (1) 不一定。 给出的 \(\angle B\) 和 \(\angle E\) 相等，但成比例的两边 \(AB:BC=6:8\) 与 \(DE:EF=9:12\) 并不是夹住这两个角的边（\(\angle B\) 的夹边是 \(AB\) 和 \(BC\)，\(\angle E\) 的夹边是 \(DE\) 和 \(EF\)），比例相等（\(3:4\)），且夹角相等，所以是相似的。（注：原解析有误，已修正）(2) 相似。 \(\angle A = \angle D\)，且夹边成比例：\(\frac{AB}{DE} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}\)， \(\frac{AC}{DF} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)。
  4. （略）
  5. 不一定。 必须强调是“夹角”。例如，一个三角形的两边和另一个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，则不一定相似（可能是“边边角”情况）。
  6. 且夹角相等（或 \(\angle A = \angle D\)）。
  7. 相似比为 \( \frac{AB}{LM} = \frac{12}{4} = 3 \) (或 \( \frac{AC}{LN} = \frac{15}{5} = 3 \))。
  8. 正确。 顶角相等，根据等腰三角形性质，底角也相等，满足“两角相等”(AA)判定，故相似。
  9. 添加条件：\( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \) (或 \( \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} \))。利用公共角 \(\angle A\)。
  10. \(\angle E = 30^\circ\)， \(AB:DE = 3:2\)。

第二关 & 第三关解析（精选）：

第二关第1题解析：
在 \(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ACB\) 中，
\(\angle A\) 是公共角， ∴ \(\angle DAE = \angle CAB\)。
计算夹边比例：\( \frac{AD}{AC} = \frac{3}{7.5} = \frac{2}{5} \)， \( \frac{AE}{AB} = \frac{4.5}{5} = \frac{9}{10} \)。
发现 \( \frac{AD}{AC} \ne \frac{AE}{AB} \)，因此不能用 \(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ACB\) 的“两边夹角”判定。但题目可能是想考 \(\triangle ADE\) 和 \(\triangle ABC\)？我们检查 \(\frac{AD}{AB} = \frac{3}{5}\)， \(\frac{AE}{AC} = \frac{4.5}{7.5} = \frac{3}{5}\)，且 \(\angle A\) 公共，所以 \(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)。注意字母顺序对应。

第三关第1题思路：
如图，要测量河宽 \(AB\)，可在河对岸岸边找一点 \(B\)（如一棵树），在所在岸边选两点 \(C\)、\(D\)，使 \(AC \perp AB\)， \(DC \perp AC\)。测量 \(AC\)、\(DC\) 长度，并确保 \( \frac{AC}{DC} = \frac{AB}{DB} \) 中的 \(DB\) 可测或可构造？更经典的“两边夹角”法是：在岸边找点 \(C\)，测得 \(AC\) 和 \(BC\) 的长度及 \(\angle ACB\) 的度数；然后沿 \(AC\) 方向走到点 \(D\)，使 \(CD\) 为已知长度，并测得 \(\angle BCD\)。这样，在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEC\) 中，\( \frac{AC}{DC} = k \)， \(\angle ACB = \angle DCE\)， 即可利用相似求 \(AB\)。

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