最小公倍数应用题解题技巧与练习题PDF下载（含答案）| 四五年级奥数

💡 阿星精讲：最小公倍数：模型 原理

• 核心概念：想象一下，学校操场上有两位“时间旅行者”：阿快和阿慢。他们从同一起点出发跑步。阿快跑完一圈要 \(3\) 分钟，阿慢跑完一圈要 \(4\) 分钟。那么，当他们再次在起点肩并肩相遇时，时间是多久呢？答案不是 \(3\) 分钟或 \(4\) 分钟，而是他们各自跑完整数圈的时间第一次重合的时刻！阿快跑 \(4\) 圈 (\(3 \times 4 = 12\) 分)，阿慢正好跑 \(3\) 圈 (\(4 \times 3 = 12\) 分)。这个神奇的 \(12\)，就是 \(3\) 和 \(4\) 的最小公倍数。它本质上是一个“周期性事件同步模型”，解决的是“多久之后，不同周期的事情会再次同时发生？”的问题。
• 计算秘籍：
  1. 方法一（列举法）：像阿星一样，分别列出他们相遇的可能时间点（即公倍数），然后找最小的那个。
     • 阿快的“圈点时间”：\(3\)分, \(6\)分, \(9\)分, \(\mathbf{12}\)分, \(15\)分...
     • 阿慢的“圈点时间”：\(4\)分, \(8\)分, \(\mathbf{12}\)分, \(16\)分...
     • 第一次相遇在 \(\mathbf{12}\) 分。
  2. 方法二（短除法）：

     \[ \begin{array}{c|c} 3, & 4 \\ \hline & \\ \end{array} \]

     由于 \(3\) 和 \(4\) 互质（除了1没有公因数），它们的最小公倍数就是直接相乘：\(\text{LCM}(3,4) = 3 \times 4 = 12\)。

  3. 方法三（公式法）：已知两数最大公因数 (\(\text{GCD}\)) 时，可利用关系：\(\text{LCM}(a,b) = \frac{a \times b}{\text{GCD}(a,b)}\)。例：\(a=3, b=4, \text{GCD}(3,4)=1\)，则 \(\text{LCM}(3,4) = \frac{3 \times 4}{1} = 12\)。
• 阿星口诀：“周期不同步，相遇找公倍；列举短除公式推，最小那个是答对！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把“再次相遇”的时间求成最大公因数。 例如，认为 \(3\) 分和 \(4\) 分的跑步者 \(1\) 分钟后相遇。 → ✅ 正解：“相遇”意味着都完成整数圈，本质是找时间的共同倍数，倍数会越来越大，所以找最小的那个共同倍数，即最小公倍数。
• ❌ 错误2：求三个数的最小公倍数时，两两之间还有公因数就停止计算。 → ✅ 正解：必须除到任意两数都互质为止。例如求 \(6, 8, 12\) 的 LCM，短除法需要除到商为 \(3, 2, 1\) (其中 \(3\) 和 \(2\) 互质) 再将所有除数和商相乘。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 1路公交车每 \(8\) 分钟发一班，2路公交车每 \(12\) 分钟发一班。早上 \(6:00\) 它们同时发车，下一次同时发车是几点？
2. 一些练习本，平均分给 \(4\) 个或 \(5\) 个同学都正好分完，这些练习本至少有多少本？
3. 求 \(9\) 和 \(12\) 的最小公倍数。
4. 一个电子钟每小时响一次铃，每 \(40\) 分钟亮一次灯。如果中午 \(12:00\) 它既响铃又亮灯，下一次既响铃又亮灯是什么时候？
5. 甲每 \(4\) 天去一次图书馆，乙每 \(6\) 天去一次。\(3\)月\(1\)日他们同去，下一次同去是几月几日？
6. 求 \(7\) 和 \(11\) 的最小公倍数。
7. 用长 \(6\) 厘米、宽 \(4\) 厘米的长方形砖铺成一个正方形（砖不能切割），正方形的边长至少是多少厘米？
8. 求 \(10\) 和 \(15\) 的最小公倍数。
9. 王老师把 \(48\) 块糖和 \(32\) 块巧克力平均分给一组小朋友，正好分完。这组小朋友最多有多少人？（提示：此题求什么？）
10. 对比上题，如果问题是“小朋友最少有多少人”，答案是什么？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 已知两个自然数的积是 \(288\)，最大公因数是 \(6\)，求它们的最小公倍数。
2. 一列数：\(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...\)（斐波那契数列）。甲、乙两人从第一个数开始依次报数，甲每次报 \(2\) 个数，乙每次报 \(3\) 个数。请问他们第一次报到同一个数是在第几个数？
3. 三个连续自然数的最小公倍数是 \(168\)，求这三个数。
4. 甲、乙、丙三人绕操场步行，甲一圈需 \(10\) 分钟，乙需 \(12\) 分钟，丙需 \(15\) 分钟。三人同时同地同向出发，至少多少分钟后三人在起点再次相遇？
5. \(a, b, c\) 是三个不同的质数，求 \(\text{LCM}(a \times b, b \times c, a \times c)\)。
6. 电子表显示时/分/秒（HH:MM:SS）。在一天（\(24\)小时）中，显示的数字从左到右是递增的（如 \(01:23:45\)）的时刻有多少个？
7. 一个自然数被 \(5, 6, 7\) 除都余 \(3\)，这个数最小是多少？
8. 两个数的最大公因数是 \(12\)，最小公倍数是 \(180\)，且其中一个数是 \(60\)，求另一个数。
9. 在一条长 \(1200\) 米的环形跑道上，甲、乙二人从同一地点反向而行。甲速 \(3\) 米/秒，乙速 \(2\) 米/秒。当他们第 \(101\) 次在跑道上相遇（不一定是起点）时，甲一共跑了多少米？
10. 求 \(\text{LCM}(1, 2, 3, 4, ..., 10)\)。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI训练）三个不同的AI模型处理同一批数据，模型A每 \(20\) 秒输出一个批次，模型B每 \(30\) 秒，模型C每 \(45\) 秒。如果想让三个模型的输出结果在某一时刻进行融合分析，至少要等多少秒后启动融合程序，才能确保第一次就同时接收到三个模型的最新输出？
2. （航天）卫星A绕地球一圈需 \(90\) 分钟，卫星B需 \(120\) 分钟。假设它们在某一时刻于地球赤道上空某点并排飞行，那么至少多少分钟后，它们会再次在赤道同一点的上空并排？（简化模型，忽略轨道差异）
3. （网购促销）某电商平台，店铺A的“限时秒杀”活动每 \(15\) 天举行一次，店铺B的“会员日”活动每 \(18\) 天举行一次。小明想在一天内同时参加这两家店铺的活动，以节省运费。如果今天（\(5\)月\(1\)日）他恰好赶上了两个活动，那么下一次这样的“幸运日”至少在多少天以后？
4. （网络安全）服务器设置了三重动态密码，密码A每 \(8\) 小时更换一次，密码B每 \(12\) 小时更换一次，密码C每 \(9\) 小时更换一次。管理员在某个整点（\(0:00\)）同时设置了三个密码。为了减少麻烦，他希望在一个所有密码同时自动更换的时刻进行统一检查。这个时刻最早是设置后的第几个小时？
5. （交通规划）一个智能红绿灯系统控制着两条相交的主路。东西向绿灯时长 \(40\) 秒，南北向绿灯时长 \(30\) 秒，每个方向绿灯结束后有 \(5\) 秒黄灯，然后是另一个方向绿灯（无全红时间）。系统从东西向绿灯开始运行。问：系统运行多久后，会第一次回到“东西向绿灯刚亮起”的初始状态？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(\text{LCM}(8,12)=24\)，\(6:00\) 后 \(24\) 分，即 \(6:24\)。
2. \(\text{LCM}(4,5)=20\)，至少 \(20\) 本。
3. \(\text{LCM}(9,12)=36\)。
4. \(1\)小时=\(60\)分，\(\text{LCM}(60,40)=120\) 分=\(2\)小时，下一次是 \(14:00\)。
5. \(\text{LCM}(4,6)=12\)，下一次是 \(3\)月\(13\)日。
6. \(7\)与\(11\)互质，\(\text{LCM}(7,11)=77\)。
7. 求正方形边长即求 \(6\) 和 \(4\) 的最小公倍数，\(\text{LCM}(6,4)=12\) 厘米。
8. \(\text{LCM}(10,15)=30\)。
9. “正好分完”且“最多”，求 \(48\) 和 \(32\) 的最大公因数 \(\text{GCD}(48,32)=16\)。
10. “最少”\(1\)人。此题用于对比，强调审题区分“最大公因数”和“最小公倍数”。

第二关：奥数挑战（部分关键解析）

1. 公式：\(a \times b = \text{GCD}(a,b) \times \text{LCM}(a,b)\)。所以 \(\text{LCM} = 288 \div 6 = 48\)。
2. 甲报的数序号为：1,2; 4,5; 7,8...（模3余1和2）。乙报的数序号为：1,2,3; 4,5,6...（模2余1）。他们首次报同一个数，即找到第一个既是\(3\)的倍数（乙的结束）又是\(2\)的倍数或比\(2\)的倍数大1（甲的结束）的数？更精确：甲报的最后一个数的序号是\(2,5,8,...\)（等差数列，公差3）。乙报的最后一个数的序号是\(3,6,9,...\)（公差3）。求这两个等差数列首次相等的项。实际是求序号的公倍数，但需对齐位置。分析得首次同为第\(6\)个数（甲报5,6？仔细排：甲：(1,2),(4,5),(7,8),(10,11)...乙：(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9)...）他们第一次同时报到一个数（比如各报各的，但那个数被两人都报了），是数字\(8\)（第6项）。需要更系统的模分析。简答：甲报的数的索引（报到的最后一个数的位置）是\(2,5,8,11,...\)（模3余2）。乙报的数的索引是\(3,6,9,12,...\)（模2余0？实际是3的倍数）。求最小的n，使得n模3余2且n是3的倍数。显然n=6不符合（模3余0）。尝试n=5（模3余2，但不是3倍）。n=8（模3余2，不是3倍）。n=11...。实际上，他们“报到同一个数”意味着那个数的序号必须同时出现在两人的报数序列中。甲的序列包含序号：{1,2}, {4,5}, {7,8}, {10,11}... 乙的序列包含序号：{1,2,3}, {4,5,6}, {7,8,9}... 公共序号有：1,2,4,5,7,8... 第一个数？题目说“从第一个数开始”，第一次报到同一个数可能是“1”或“2”？但他们是同时开始报，第一次报的时候，甲报了1和2，乙报了1、2、3。所以在报“2”的时候，两人都已经报到了它。因此答案是第\(2\)个数。此处有歧义，按“报到”理解，首次共享数是第2个。
3. 设三数为 \(n-1, n, n+1\)。因连续，两两互质或公因数为2。168分解质因数：\(168=2^3 \times 3 \times 7\)。尝试分配，三数为 \(6,7,8\)（\(6=2\times3, 7, 8=2^3\)，LCM为 \(2^3\times3\times7=168\)）。
4. \(\text{LCM}(10,12,15)=60\)。至少 \(60\) 分钟。
5. \(\text{LCM}(ab, bc, ac) = a \times b \times c\)。因为质数不同，所有质因数都要覆盖。
6. 枚举题，与LCM关联不大，略过详细解析。思路：时、分、秒数字递增，且符合时间规范。答案：\(14\)个。
7. 设数为 \(N\)，则 \(N-3\) 是 \(5,6,7\) 的公倍数。求最小，即 \(\text{LCM}(5,6,7)=210\)，故 \(N=210+3=213\)。
8. 设另一个数为 \(x\)。公式：\(12 \times 180 = 60 \times x\)，得 \(x=36\)。
9. 第101次相遇（包括起点吗？题说不一定是起点，指跑道上任意点），总相遇时间 = \(1200 \div (3+2) \times 101 = 240 \times 101 = 24240\) 秒。甲路程 = \(3 \times 24240 = 72720\) 米。
10. \(\text{LCM}(1,2,3,...,10) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520\)。

第三关：生活应用

1. \(\text{LCM}(20,30,45)=180\) 秒。模型A输出9批，B输出6批，C输出4批后同步。
2. \(\text{LCM}(90,120)=360\) 分钟。卫星A绕4圈，B绕3圈。
3. \(\text{LCM}(15,18)=90\) 天。下一次在 \(7\)月\(30\)日（\(5\)月\(31\)天，\(6\)月\(30\)天，\(5\)月剩\(30\)天，\(6\)月\(30\)天，共\(60\)天，还需\(30\)天进入\(7\)月，故为\(7\)月\(30\)日）。
4. \(\text{LCM}(8,12,9)=72\) 小时。即 \(3\) 天后。
5. 一个完整周期（东西绿+黄+南北绿+黄）时长：\(40+5+30+5=80\) 秒。但“东西向绿灯刚亮起”的状态，需要系统运行时间是 \(80\) 秒的整数倍吗？注意：初始状态是“东西向绿灯刚开始亮”。在经过 \(40\)秒（东西绿结束）-> \(45\)秒（东西黄结束）-> \(75\)秒（南北绿结束）-> \(80\)秒（南北黄结束）后，东西绿灯再次亮起。所以周期是 \(80\) 秒。最早回到初始状态是 \(80\) 秒后。