去绝对值符号方法全解析：分类讨论口诀与例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：去绝对值符号 原理

• 核心概念：想象绝对值 \( |\quad| \) 是一扇数学王国的“大门”。一个数字（或式子）想“出门”（即去掉绝对值符号），守卫阿星会先检查它的“身份”（正负性）。“正数出来是本身”：如果它身份是正数或零，阿星直接放行，保持原样。“负数出来变相反数”：如果它身份是负数，阿星就会给它“变装”（前面加个负号），把它变成正数才让出去。“0出来还是0”：如果它恰好是0，那就很简单，出来还是0。所以，我们必须根据绝对值里面的东西是正、是负、还是零，来分情况讨论，确保开门方式正确。
• 计算秘籍：
  1. 判身份： 设绝对值里面的式子为 \( A \)。解方程或不等式 \( A \ge 0 \) 和 \( A < 0 \)，找到 \( A \) 为正（或零）及为负的“临界点”和范围。
  2. 分情况： 根据临界点，将所有可能的情况分开讨论。
  3. 去符号： 在每种情况下，按照阿星的规则去掉绝对值：
     • 若 \( A \ge 0 \)，则 \( |A| = A \)。
     • 若 \( A < 0 \)，则 \( |A| = -A \)（注意这里的 \( -A \) 是一个正数）。
  4. 总结果： 将各情况下的结果合并，形成最终答案。
• 阿星口诀： 绝对值，像门卫，出来先看你是谁。非负（≥0）不变直接走，是负乖乖变相反。

📐 图形解析

绝对值 \( |a-b| \) 的几何意义是数轴上表示 \( a \) 的点与表示 \( b \) 的点之间的距离。去绝对值，就是在判断这个距离的“方向”。

距离公式：\( |a-b| = \text{点}a\text{与点}b\text{之间的距离} \)

当 \( a > b \) 时，距离为 \( a-b \)，即 \( |a-b| = a-b \)（本身）。
当 \( a < b \) 时，距离为 \( b-a \)，即 \( |a-b| = b-a = -(a-b) \)（相反数）。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：忽略“等于0”的临界情况。 例如，认为 \( |x| \) 在 \( x>0 \) 和 \( x<0 \) 时结果不同，就把 \( x=0 \) 随便归到一边。 → ✅ 正解： “等于0”是非负情况的一部分，应归入 \( |A| = A \) 的范畴，这样在临界点上结果唯一，不会产生矛盾。分类标准应明确为 \( A \ge 0 \) 和 \( A < 0 \)。
• ❌ 错误2：处理嵌套绝对值（如 \( ||x|-2| \)）时，从外向内去符号。 → ✅ 正解： 必须从内向外逐层去掉绝对值符号。先讨论 \( |x| \) 的情况，得到结果后再将其作为一个整体，讨论外层绝对值的正负。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 化简 \( |5| \)。
2. 化简 \( |-5| \)。
3. 若 \( a > 0 \)，化简 \( |a| \)。
4. 若 \( b < 0 \)，化简 \( |b| \)。
5. 根据数轴上点 \( x \) 的位置，化简 \( |x-1| \)。
   
6. 化简 \( |\pi - 3| \)。（提示：\( \pi \approx 3.14 \)）
7. 若 \( |m| = m \)，判断 \( m \) 的符号。
8. 若 \( |n| = -n \)，判断 \( n \) 的符号。
9. 计算 \( |3-8| + |8-3| \)。
10. 解方程 \( |x| = 7 \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. 化简 \( |3.14-\pi| \)。
2. 若实数 \( a, b \) 在数轴上位置如图，化简 \( |a| - |b| + |a-b| \)。
   
3. 化简 \( |x-2| + |x+3| \)（提示：分三段讨论）。
4. 解方程 \( |2x+1| = 5 \)。
5. 解方程 \( |x-1| = 2x \)。（提示：注意 \( 2x \) 必须非负）
6. 若 \( |a-2| + |b+3| = 0 \)，求 \( a^b \) 的值。
7. 化简 \( ||x|-1| \)。（提示：双层绝对值，先内后外）
8. 已知 \( |m-3| = 3-m \)，求 \( m \) 的取值范围。
9. 求 \( |x-1| + |x-2| + |x-3| \) 的最小值。
10. （思考题）解不等式 \( |x-1| < 3 \)。

第三关：生活应用（5道）

1. 误差分析： 某零件标准长度为 \( 10.0cm \)，允许的误差范围是 \( \pm 0.2cm \)。用绝对值表示合格零件的长度 \( x \) 应满足的条件。
2. 温度控制： 某实验室要求温度控制在 \( 22^\circ C \)，实际温度 \( t \) 与设定值的偏差绝对值不能超过 \( 1.5^\circ C \)。用不等式表示 \( t \) 的合格范围。
3. 距离问题： 在一条东西向笔直公路上，加油站位于原点 \( O \)。一辆车在点 \( A \)（\( x_A = -3 \) 公里），另一辆在点 \( B \)（\( x_B = 5 \) 公里）。两车之间的距离是多少公里？用绝对值表示并计算。
4. 财务管理： 某公司本月预算利润为 \( P \) 万元，实际利润为 \( R \) 万元。定义“业绩偏差”为 \( D = |R - P| \)。若 \( P=100 \)，\( D \le 5 \)，求 \( R \) 的实际范围。
5. 几何应用： 数轴上，点 \( P \) 对应的数是 \( x \)，点 \( A, B \) 对应的数分别是 \( -2, 4 \)。当 \( |PA| + |PB| = 8 \) 时，求 \( x \) 的值。（\( |PA| \) 表示 \( P \) 到 \( A \) 的距离）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 5 \)（正数本身）
2. \( 5 \)（负数变相反数 \(-(-5)=5\)）
3. \( a \)（正数本身）
4. \( -b \)（负数变相反数）
5. 当 \( x \ge 1 \) 时，为 \( x-1 \)；当 \( x < 1 \) 时，为 \( 1-x \)。
6. \( \pi - 3 \)（因为 \( \pi - 3 > 0 \)）
7. \( m \ge 0 \)（非负）
8. \( n \le 0 \)（非正）
9. \( |3-8| + |8-3| = |-5| + |5| = 5+5=10 \)
10. \( x=7 \) 或 \( x=-7 \)。

第二关：中考挑战

1. \( \pi - 3.14 \)（因为 \( 3.14-\pi < 0 \)）
2. 由图知 \( b<0, a>0, a-b>0 \)。原式 \( = -b - a + (a-b) = -b - a + a - b = -2b \)。
3. 零点：\( x=2, x=-3 \)。分三段：
   1) \( x < -3 \): 原式 \( = -(x-2) - (x+3) = -2x-1 \)
   2) \( -3 \le x < 2 \): 原式 \( = -(x-2) + (x+3) = 5 \)
   3) \( x \ge 2 \): 原式 \( = (x-2) + (x+3) = 2x+1 \)
4. 由 \( 2x+1=5 \) 或 \( 2x+1=-5 \)，解得 \( x=2 \) 或 \( x=-3 \)。
5. 由原方程可知 \( 2x \ge 0 \)，即 \( x \ge 0 \)。在此前提下：
   1) 当 \( x-1 \ge 0 \) 即 \( x \ge 1 \)时，方程化为 \( x-1=2x \)，解得 \( x=-1 \)，与 \( x \ge 1 \)矛盾，舍去。
   2) 当 \( x-1 < 0 \) 即 \( x < 1 \)时，结合 \( x \ge 0 \) 得 \( 0 \le x < 1 \)，方程化为 \( 1-x=2x \)，解得 \( x=\frac{1}{3} \)，满足条件。故解为 \( x=\frac{1}{3} \)。
6. 由绝对值非负性知，\( |a-2| \ge 0, |b+3| \ge 0 \)，和为0则各自为0。所以 \( a-2=0, b+3=0 \)，得 \( a=2, b=-3 \)。故 \( a^b = 2^{-3} = \frac{1}{8} \)。
7. 先内层：令 \( t=|x| \ge 0 \)。则外层：\( |t-1| \)。
   • 当 \( t \ge 1 \) 即 \( |x| \ge 1 \) 时，\( |t-1| = t-1 = |x|-1 \)。
   • 当 \( t < 1 \) 即 \( |x| < 1 \) 时，\( |t-1| = 1-t = 1-|x| \)。

   所以，当 \( |x| \ge 1 \) 时，结果为 \( |x|-1 \)；当 \( |x| < 1 \) 时，结果为 \( 1-|x| \)。

8. 由 \( |a-2| = 3-m \) 及绝对值定义，有 \( 3-m \ge 0 \)，即 \( m \le 3 \)。
9. （提示：几何意义为数轴上点 \( x \) 到1,2,3三点距离之和。当 \( x \) 位于中间点2时，距离和最小）最小值为 \( (2-1) + (2-2) + (3-2) = 2 \)。
10. 不等式 \( |x-1| < 3 \) 表示点 \( x \) 到点1的距离小于3。即 \( -3 < x-1 < 3 \)，解得 \( -2 < x < 4 \)。

第三关：生活应用

1. 条件为 \( |x - 10.0| \le 0.2 \)。
2. 条件为 \( |t - 22| \le 1.5 \)。
3. 距离为 \( |x_A - x_B| = |-3 - 5| = |-8| = 8 \) (公里)。或用 \( |x_B - x_A| = |5 - (-3)| = 8 \) 公里。
4. 由 \( |R - 100| \le 5 \) 得 \( -5 \le R-100 \le 5 \)，所以 \( 95 \le R \le 105 \) (万元)。
5. \( |PA| = |x - (-2)| = |x+2| \)，\( |PB| = |x-4| \)。原式即 \( |x+2| + |x-4| = 8 \)。零点为-2和4。
   1. 当 \( x < -2 \) 时：\( -(x+2) - (x-4)=8 \Rightarrow -2x+2=8 \Rightarrow x=-3 \) (符合范围)。
   2. 当 \( -2 \le x < 4 \) 时：\( (x+2) - (x-4)=8 \Rightarrow 6=8 \)，不成立。
   3. 当 \( x \ge 4 \) 时：\( (x+2)+(x-4)=8 \Rightarrow 2x-2=8 \Rightarrow x=5 \) (符合范围)。

   故 \( x = -3 \) 或 \( 5 \)。