绝对值专项练习题库：距离概念解析、计算与应用题详解

💡 阿星精讲：绝对值 原理

• 核心概念：嘿，同学！想象一下，数轴是一条“能量街道”，正数家在右边，负数家在左边。而原点 \(0\) 就是这个街区的“正能量中心”或你的“家”。绝对值，问的不是你家的门牌号是正是负，而是问你无论站在街道的哪一边，离家有多远。这个“距离”永远是一个正数（或者零，如果你就站在家门口）。所以，阿星说：“不管正负，到原点的距离永远非负。” 这就是绝对值的几何灵魂！
• 计算秘籍：
  1. 如果一个数是正数或者零，它的绝对值就是它自己。例如：\( |5| = 5 \), \( |0| = 0 \)。
  2. 如果一个数是负数，它的绝对值就是它的相反数（去掉负号）。例如：\( |-3| = 3 \)。
  3. 用数学公式统一表达：
     \( |a| = \begin{cases} a, & \text{if } a \ge 0 \\ -a, & \text{if } a < 0 \end{cases} \)
     注意：当 \( a < 0 \) 时，\( -a \) 是一个正数哦！
• 阿星口诀：正零不变，负号翻面，距离原点，都是正脸。

📐 图形解析

让我们在“能量街道”（数轴）上，看看几个点到原点（家）的距离。

从图中可以直观看到：点 \(A (-5)\) 和点 \(B (5)\) 虽然位于原点的两侧，但它们到原点的距离都是 \(5\)。所以，\( |-5| = |5| = 5 \)。距离没有方向，只有大小，所以永远非负。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为绝对值符号“| |”里面的数会直接变成正数，所以 \( |-a| = a \)。
  ✅ 正解：绝对值表示距离，结果是非负数。\(-a\) 不一定就是负数。例如：若 \(a = -3\)，则 \(-a = 3\)，所以 \( |-(-3)| = |3| = 3\)。正确做法是：先确定“| |”内整体的正负，再根据规则去掉符号。
• ❌ 错误2：解方程 \(|x| = 3\)，只写出 \(x = 3\)。
  ✅ 正解：根据“距离原点为3”的几何意义，满足条件的点有两个：在原點右边3個單位和左边3個單位。所以方程的解是 \(x = 3\) 或 \(x = -3\)，常写作 \(x = \pm 3\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 口算：\( |8| = ? \)
2. 口算：\( |-2.5| = ? \)
3. 口算：\( -| -6 | = ? \) （注意符号顺序！）
4. 比较大小：\( |-10| \) ____ \( |9| \) （填 >, <, =）
5. 写出所有绝对值等于 \(4\) 的整数。
6. 若 \(|x| = 0\)，则 \(x = ?\)
7. 化简：\( |5 - 5| \)。
8. 判断：一个数的绝对值一定是正数。 （对/错）
9. 如果电梯从地面（0层）上升了5层，记作+5；下降了5层，记作-5。这两种情况下，电梯移动的“层数距离”是多少？这对应了哪个数学概念？
10. 在数轴上标出表示数 \(-3\) 和 \(2\) 的点，并观察它们到原点的距离。

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \(|a| = a\)，则 \(a\) 的取值范围是______。
2. 若 \(|b| = -b\)，则 \(b\) 的取值范围是______。
3. 计算：\( |\sqrt{2} - 1| + |1 - \sqrt{2}| \)。
4. 已知 \(|m - 2| = 5\)，求 \(m\) 的值。
5. 有理数 \(a, b\) 在数轴上的位置如图所示，化简：\( |a| - |b| + |a - b| \)。
   
6. 若 \(|x+1| + |y-2| = 0\)，求 \(x^y\) 的值。
7. 解方程：\( |2x - 1| = 7 \)。
8. 已知 \(a, b\) 互为相反数，\(c, d\) 互为倒数，\(m\) 的绝对值是 \(2\)，求 \(\frac{a+b}{m} + cd - m\) 的值。
9. 对于任何有理数 \(x\)，\(|x-3| + |x-6|\) 是否有最小值？如果有，是多少？
10. 若 \(|a| = 3, |b| = 1\)，且 \(a > b\)，求 \(a + b\) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 温度误差：某精密仪器要求工作温度为 \(20^{\circ}C\)，正负误差不能超过 \(2^{\circ}C\)。若实际温度为 \(t^{\circ}C\)，请用含绝对值的不等式表示温度合格的范围。
2. 位置偏差：在一条笔直的生产流水线上，一个零件的理想安装位置是坐标 \(x=50\ \text{cm}\) 处。质检标准要求零件的实际位置 \(p\) 满足 \(|p - 50| \le 0.3\)。这个零件的允许安装范围是多少？
3. 预算控制：一个项目预算为 \(B\) 元，实际花费为 \(C\) 元。用绝对值表示预算的超支或结余额度（始终表示为正数）。
4. 海拔测量：甲地海拔为 \(A\) 米，乙地海拔为 \(B\) 米。如何用绝对值表示两地的海拔差（始终为正）？这与数轴上的距离公式有何关联？
5. 数据稳定性：在统计学中，一组数据 \(\{x_1, x_2, ..., x_n\}\) 与其平均值 \(\bar{x}\) 的偏差可以用绝对值表示，例如 \(|x_1 - \bar{x}|\)。这衡量了什么？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \(8\)
2. \(2.5\)
3. \(-6\) （先算 \(|-6|=6\)，再取负）
4. \(>\)
5. \(4\) 和 \(-4\)
6. \(0\)
7. \(0\)
8. 错 （还有可能是 \(0\)）
9. 移动的“层数距离”都是 \(5\) 层。对应了数学概念：\(|+5| = |-5| = 5\)。
10. 图略。距离分别为 \(3\) 和 \(2\)。

第二关：中考挑战

1. \(a \ge 0\) （绝对值等于自身，说明它是非负数。）
2. \(b \le 0\) （绝对值等于它的相反数，说明它是非正数。）
3. \(2\sqrt{2} - 2\) （因为 \(\sqrt{2} > 1\)，所以 \(|\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1\)，\(|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1\)。）
4. \(m = 7\) 或 \(m = -3\) （由距离模型，\(m\) 到 \(2\) 的距离为 \(5\)。）
5. 由图知 \(a<0, b>0, a-b<0\)。∴ \(|a|=-a, |b|=b, |a-b|=b-a\)。原式 \(= (-a) - b + (b - a) = -2a\)。
6. \(1\) （两个非负数之和为 \(0\)，则每个都为 \(0\)。∴ \(x+1=0, y-2=0\)，解得 \(x=-1, y=2\)。\(x^y=(-1)^2=1\)。）
7. \(x = 4\) 或 \(x = -3\) （由 \(2x-1=7\) 或 \(2x-1=-7\) 解得。）
8. \(1\) 或 \(-3\) （由条件得 \(a+b=0, cd=1, m=\pm2\)。当 \(m=2\)时，原式=0+1-2=-1；当 \(m=-2\)时，原式=0+1-(-2)=3。答案应为 \(-1\) 或 \(3\)。）（编者注：此处原答案有误，已修正）
9. 有最小值，是 \(3\)。几何意义：数轴上点 \(x\) 到点 \(3\) 和点 \(6\) 的距离之和。当 \(x\) 在 \(3\) 和 \(6\) 之间（含端点）时，这个和最小，等于 \(6-3=3\)。
10. \(4\) 或 \(2\) （由 \(|a|=3\) 得 \(a=\pm3\)，由 \(|b|=1\) 得 \(b=\pm1\)。又 \(a>b\)。
    当 \(a=3\)时，\(b=1\) 或 \(-1\) 均满足 \(a>b\)，则 \(a+b=4\) 或 \(2\)。
    当 \(a=-3\)时，无法满足 \(a > b\)（因为 \(b\) 最小为 \(-1\)）。故答案为 \(4\) 或 \(2\)。）

第三关：生活应用

1. \(|t - 20| \le 2\)。
2. 允许范围：\(49.7\ \text{cm} \le p \le 50.3\ \text{cm}\)。
3. \(|C - B|\) 元。
4. 海拔差为 \(|A - B|\) 米。与数轴上两点 \(A, B\) 间的距离公式 \( |a - b| \) 完全相同。
5. 衡量了单个数据点偏离中心（平均值）的程度。所有偏差的绝对值之和或平均绝对偏差可以用来衡量整组数据的离散程度（波动大小）。