绝对值专项练习题库：图解“距离法”攻克化简与方程易错题

💡 阿星精讲：绝对值 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，数轴是一条长长的马路，原点（0点）就是我们的“正能量总部”。每一个数，无论它是正派角色（正数）还是反派角色（负数），它们都想测量一下自己离“正能量总部”有多远。这个“距离”就叫绝对值。记住，距离没有方向，永远是个正数（或零）。所以，不管这个数本身是正是负，它的绝对值——也就是它到原点的距离——永远充满“正能量”，是个非负数（\( \ge 0 \)）。
• 计算秘籍：
  1. 如果这个数是正数或零（\( a \ge 0 \)），那它本身就在正能量总部或总部右侧，距离就是它自己：\( |a| = a \)。
  2. 如果这个数是负数（\( a < 0 \)），那它在总部左边，我们要去掉它的“负能量”方向，只看距离：\( |a| = -a \)。（注意，这里的 \(-a\) 是一个正数哦！）
  3. 对于复杂的式子，先算里面的结果，再用上面两条法则。
• 阿星口诀：遇负变正，遇正不变，原点距离，恒非负现。

📐 图形解析

绝对值 \( |x| \) 的几何意义就是数 \( x \) 到原点 \( 0 \) 的距离。\( |a - b| \) 的几何意义则是数 \( a \) 与数 \( b \) 在数轴上的距离。

如图，点 \( A \) 表示数 \( -3 \)，点 \( B \) 表示数 \( 3 \)。根据阿星的“距离正能量”理论：
\( |-3| = 3 \)，即 \( A \) 到原点的距离是 \( 3 \)。
\( |3| = 3 \)，即 \( B \) 到原点的距离也是 \( 3 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为绝对值就是“去掉负号”。 → ✅ 正解：绝对值是“求非负距离”。对于 \( 0 \)，\( |0| = 0 \)，它没有负号可去，但距离就是0。
• ❌ 错误2：认为 \( |-a| = a \)。 → ✅ 正解：\( |-a| \) 表示 “\( -a \) 这个数到原点的距离”。若 \( a \) 本身是正数，则 \( -a \) 是负数，其绝对值应为正数。正确做法是：\( |-a| = |a| \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 求下列各数的绝对值：\( -8 \)，\( 5.2 \)，\( 0 \)，\( -\frac{2}{3} \)。
2. 比较大小：\( |-6| \) 与 \( |5| \)；\( -|3| \) 与 \( | -3 | \)。
3. 如果 \( |a| = 7 \)，那么 \( a \) 可能是多少？
4. 计算：\( | - | -5 | | \)。
5. 化简：\( |\pi - 4| \)。（提示：比较 \( \pi \) 和 \( 4 \) 的大小）
6. 数轴上，点 \( A \) 表示 \( -4 \)，则 \( |A| \) 表示什么？它的值是多少？
7. 判断：一个数的绝对值一定比它本身大。（ ）
8. 若 \( |x| = x \)，则 \( x \) 的取值范围是什么？
9. 若 \( |y| = -y \)，则 \( y \) 的取值范围是什么？
10. 已知 \( |m| + |n| = 0 \)，求 \( m \) 和 \( n \) 的值。

第二关：中考挑战（10道）

1. （易错题）若 \( |a| = a， |b| = -b \)，则 \( ab \) ____ 0。（填“>”, “<” 或 “=”）
2. （分类讨论）化简：\( |x-1| + |x-3| \) （\( 1 < x < 3 \)）。
3. （几何意义）方程 \( |x+1| = 2 \) 的解表示在数轴上，是哪两个点？
4. （非负性应用）若 \( |x-2| + (y+3)^2 = 0 \)，求 \( x^y \) 的值。
5. 已知 \( a, b, c \) 在数轴上的位置如图，化简 \( |a| - |a+b| + |c-a| \)。（请自行绘制简图：\( c < b < 0 < a， |a| > |b| \)）
6. （距离和最值）求 \( |x-1| + |x-2| \) 的最小值。
7. 解方程：\( |2x - 1| = 5 \)。
8. （逆向思维）若 \( |m| = 3， |n| = 2 \)，且 \( m > n \)，求 \( m + n \) 的所有可能值。
9. （阅读理解）定义一种运算：对于任意两数 \( a, b \)，有 \( a \otimes b = |a| \times b \)。计算 \( (-3) \otimes (2) \)。
10. （实际应用）一种零件的标准尺寸是 \( 20 \)mm，允许误差为 \( \pm 0.5 \)mm。用绝对值表示加工长度 \( L \) 的合格范围。

第三关：生活应用（5道）

1. 温差计算：某日，甲市最低气温为 \( -5^{\circ}C \)，乙市最低气温为 \( 2^{\circ}C \)。用绝对值表示两市的温差。
2. 海拔落差：吐鲁番盆地艾丁湖湖面海拔约 \( -155 \) 米，珠穆朗玛峰海拔约 \( 8848 \) 米。求两者的相对高度差。
3. 收支平衡：小星妈妈记账，收入记为正，支出记为负。一周后，她发现某天的记录 \( | -200 | \) 元被污损了，只看到绝对值符号。请问这天可能是怎样的财务情况？最少涉及多少钱？
4. 误差分析：在测量学中，真实值 \( T \) 与测量值 \( M \) 的绝对误差定义为 \( E = |M - T| \)。若测量一个长度为 \( 10.0 \)cm 的物体，得到两个测量值 \( 10.2 \)cm 和 \( 9.7 \)cm。哪个测量的绝对误差更小？
5. 工程精度：一段设计长度为 \( L \) 的桥梁构件，实际长度 \( l \) 需满足 \( |l - L| \le 0.02L \) 才算合格。若 \( L=50 \) 米，求合格构件的实际长度范围。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( |-8|=8 \)，\( |5.2|=5.2 \)，\( |0|=0 \)，\( |-\frac{2}{3}|=\frac{2}{3} \)。
2. \( |-6| > |5| \)；\( -|3| = -3 \)，\( |-3|=3 \)，所以 \( -|3| < | -3 | \)。
3. \( a = 7 \) 或 \( a = -7 \)。（距离原点7个单位的点有两个）
4. \( | - | -5 | | = | -5 | = 5 \)。（从内向外算）
5. 因为 \( \pi \approx 3.14 < 4 \)，所以 \( \pi - 4 < 0 \)，故 \( |\pi - 4| = -(\pi - 4) = 4 - \pi \)。
6. \( |A| \) 表示点 \( A \) 到原点的距离，值是 \( 4 \)。
7. 错误。反例：正数和0的绝对值等于它本身。
8. \( x \ge 0 \)。（绝对值等于自身，说明这个数是非负的）
9. \( y \le 0 \)。（绝对值等于它的相反数，说明这个数是非正的）
10. 因为 \( |m| \ge 0 \)，\( |n| \ge 0 \)，且和为0，所以 \( |m|=0 \)，\( |n|=0 \)，故 \( m=0 \)，\( n=0 \)。

第二关：中考挑战

1. 由 \( |a|=a \) 得 \( a \ge 0 \)；由 \( |b|=-b \) 得 \( b \le 0 \)。所以 \( ab \le 0 \)。（特别注意：当 \( a \) 或 \( b \) 为0时，\( ab=0 \)）
2. 因为 \( 1 < x < 3 \)，所以 \( x-1 > 0 \)，\( x-3 < 0 \)。原式 \( = (x-1) + [-(x-3)] = x-1 -x +3 = 2 \)。
3. 表示数轴上与点 \( -1 \) 距离为 \( 2 \) 的两个点，即点 \( 1 \) 和点 \( -3 \)。
4. 根据非负性，\( |x-2|=0 \) 且 \( (y+3)^2=0 \)，所以 \( x=2 \)，\( y=-3 \)。则 \( x^y = 2^{-3} = \frac{1}{8} \)。
5. 由图知 \( a>0， a+b>0（因为|a|>|b|）， c-a<0 \)。原式 \( = a - (a+b) + [-(c-a)] = a - a - b - c + a = a - b - c \)。
6. \( |x-1|+|x-2| \) 表示数 \( x \) 到 \( 1 \) 和 \( 2 \) 的距离之和。当 \( x \) 在 \( 1 \) 和 \( 2 \) 之间（含端点）时，这个和最小，最小值就是 \( 1 \) 和 \( 2 \) 之间的距离 \( = |2-1| = 1 \)。
7. 由 \( |2x-1|=5 \) 得 \( 2x-1=5 \) 或 \( 2x-1=-5 \)，解得 \( x=3 \) 或 \( x=-2 \)。
8. 由 \( |m|=3 \) 得 \( m= \pm 3 \)，由 \( |n|=2 \) 得 \( n= \pm 2 \)。又 \( m > n \)，则：
   • 当 \( m=3 \) 时，\( n=2 \) 或 \( -2 \) 均满足 \( 3 > n \)，此时 \( m+n=5 \) 或 \( 1 \)；
   • 当 \( m=-3 \) 时，找不到满足 \( -3 > n \) 且 \( n= \pm 2 \) 的值。

   所以 \( m+n \) 的可能值为 \( 5 \) 或 \( 1 \)。

9. 根据定义：\( (-3) \otimes (2) = |-3| \times 2 = 3 \times 2 = 6 \)。
10. 合格范围：\( |L - 20| \le 0.5 \)。

第三关：生活应用

1. 温差 \( = |2 - (-5)| = |7| = 7 \) (℃)。
2. 高度差 \( = |8848 - (-155)| = |9003| = 9003 \) (米)。
3. \( | -200 | = 200 \) 元。这意味着这天账目数字的绝对值是 \( 200 \) 元。可能是支出 \( 200 \) 元（记作 \( -200 \)），也可能是收入 \( 200 \) 元（记作 \( +200 \)）。最少涉及 \( 200 \) 元。
4. 第一个误差：\( E_1 = |10.2 - 10.0| = 0.2 \) cm；第二个误差：\( E_2 = |9.7 - 10.0| = 0.3 \) cm。\( E_1 < E_2 \)，所以第一个测量（10.2cm）的绝对误差更小。
5. 由 \( |l - 50| \le 0.02 \times 50 \) 得 \( |l - 50| \le 1 \)。即 \( -1 \le l - 50 \le 1 \)，所以 \( 49 \le l \le 51 \)。合格范围是 49 米到 51 米之间。