矩形性质是什么？对角线怎么计算？附中考真题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：矩形性质 原理

• 核心概念：想象一个普通的四边形，它的四个角可能歪歪扭扭，像个“站不稳”的图形。现在，我们请出四位严格的“直角修正师”！它们会把每个角都校准成标准的90度（直角）。当四个内角都修正为直角时，这个图形就变得方方正正，我们称之为“矩形”或“长方形”。这场“直角修正”不仅让图形变好看，还赋予了它两大超能力：第一，两条对角线长度必然相等（\( AC = BD \)）；第二，这两条对角线会互相平分（在交点 \( O \) 处，\( AO=OC=BO=OD \)）。阿星说：记住，是四个角都直，缺一不可！
• 计算秘籍：
  • 周长：把四条边加起来。若长为 \( a \)，宽为 \( b \)，则周长 \( P = 2 \times (a + b) \)。
  • 面积：长乘以宽。即 \( S = a \times b \)。
  • 对角线：运用勾股定理。在由长、宽和对角线构成的直角三角形中，对角线长 \( d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \)。
  • 边与角的关系：因为对边平行且相等，所以已知一角为直角，邻角之和为 \( 180^{\circ} \)，可推出所有角均为 \( 90^{\circ} \)。
• 阿星口诀：四角如箱，直角堂堂。对边相等，平行如常。对角线，本领强，等长平分在中央。

📐 图形解析

一个标准的矩形 \( ABCD \)，及其两条对角线 \( AC \) 和 \( BD \)，它们相交于点 \( O \)。根据矩形性质，我们有：

• \( \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ} \)
• \( AB = CD \)，\( AD = BC \)
• \( AB \parallel CD \)，\( AD \parallel BC \)
• \( AC = BD \) （对角线相等）
• \( AO = OC = BO = OD \) （对角线互相平分）

如图所示，对角线交点 \( O \) 是 \( AC \) 和 \( BD \) 共同的中点。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“对角线互相平分的四边形就是矩形”。 → ✅ 正解：对角线互相平分是所有平行四边形的性质（包括矩形、菱形、正方形）。判断矩形必须满足“有一个角是直角”或“对角线相等”的平行四边形。
• ❌ 错误2：计算面积时，错把邻边相加当作长和宽。 → ✅ 正解：面积必须是“一组邻边的乘积”，即 \( S = a \times b \)。一定要先确定哪条是长、哪条是宽。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 矩形的一个内角是 \( 90^{\circ} \)，那么它的对角是 ______ 度。
2. 若矩形的一条边长是5cm，周长是18cm，则另一条邻边长是 ______ cm。
3. 矩形的两条对角线相交，把其中一个钝角分成 \( 35^{\circ} \) 和 \( 25^{\circ} \)，则这个钝角的度数是 ______。
4. 判断题：对角线相等的四边形是矩形。（ ）
5. 在矩形 \( ABCD \) 中，对角线 \( AC \) 和 \( BD \) 相交于 \( O \)，若 \( AO = 3 \, \text{cm} \)，则 \( BD = \) ______ cm。
6. 矩形面积为 \( 24 \, \text{cm}^{2} \)，宽为 \( 3 \, \text{cm} \)，则对角线长为 ______ cm。
7. 矩形的长和宽之比为 \( 3:2 \)，周长为 \( 30 \, \text{cm} \)，则其面积为 ______ \( \text{cm}^{2} \)。
8. 在矩形中，对角线把矩形分成 ______ 个面积相等的三角形。
9. 一个矩形的对角线长为 \( 10 \, \text{cm} \)，一边长为 \( 6 \, \text{cm} \)，则另一边长为 ______ cm。
10. 已知平行四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle A = 90^{\circ} \)，添加条件 ______ 可使其成为矩形（写出一个即可）。

第二关：中考挑战（10道）

1. 如图，矩形 \( ABCD \) 中，\( E \) 是 \( AD \) 上一点，连接 \( BE \)，将 \( \triangle ABE \) 沿 \( BE \) 折叠，点 \( A \) 恰好落在对角线 \( BD \) 上的点 \( F \) 处。若 \( AB = 6 \)，\( AD = 8 \)，求 \( DE \) 的长。
2. 矩形 \( ABCD \) 中，\( AB = 4 \)，\( BC = 3 \)，点 \( P \) 为对角线 \( AC \) 上一动点，则 \( PB + PD \) 的最小值为 ______。
3. 求证：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。若原四边形对角线相等，则中点四边形是什么特殊四边形？
4. 在矩形 \( ABCD \) 中，\( O \) 为对角线交点，\( DE \parallel AC \)，\( CE \parallel BD \)。求证：四边形 \( OCED \) 是菱形。
5. 矩形 \( ABCD \) 中，\( E \)、\( F \) 分别是边 \( BC \)、\( CD \) 上的点，且 \( S_{\triangle ABE}=3 \)，\( S_{\triangle ADF}=4 \)，\( S_{\triangle CEF}=5 \)，求矩形 \( ABCD \) 的面积。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）小明想测量家门口一个长方形花坛对角线的长度。他只带了一卷足够长的软尺。请帮他想出一种测量和计算方案。
2. （建筑）工人师傅需要在一面矩形墙面上（长 \( 4.2 \, \text{m} \)，高 \( 2.8 \, \text{m} \)）贴满正方形瓷砖（边长为 \( 0.3 \, \text{m} \)），且不允许切割。请问他至少需要购买多少块这样的瓷砖？实际能贴的面积是多少？
3. （工程）一个矩形钢板零件，设计要求其对角线长度误差不得超过 \( 0.5 \, \text{mm} \)。已知设计长为 \( 200 \, \text{mm} \)，宽为 \( 120 \, \text{mm} \)。请问加工后实际测量的对角线长度在什么范围内才算合格？
4. （艺术）一幅矩形画作要装裱在一个矩形的木框中。已知画作的长宽比为 \( 3:2 \)，木框的宽度（即画作边缘到木框内侧的距离）各处均为 \( 5 \, \text{cm} \)。若木框外侧的周长为 \( 2 \, \text{m} \)，求画作本身的面积。
5. （优化）农夫老李用总长 \( 40 \, \text{m} \) 的篱笆，一面靠墙，围成一个矩形菜地。请问如何设计长和宽，才能使菜地的面积最大？最大面积是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 答案：

1. \( 90 \)
2. \( 4 \) （解析：\( 18 \div 2 - 5 = 4 \)）
3. \( 120 \) （解析：对角线交角为 \( 35+25=60^{\circ} \)，邻补角为 \( 120^{\circ} \)）
4. 错 （反例：等腰梯形对角线也相等）
5. \( 6 \) （解析：\( BD = 2 \times BO = 2 \times AO = 6 \)）
6. \( \sqrt{73} \) （解析：长 \( a = 24 \div 3 = 8 \)，\( d = \sqrt{8^{2}+3^{2}}=\sqrt{73} \)）
7. \( 54 \) （解析：设长\(3k\)，宽\(2k\)，则 \( 2 \times (3k+2k)=30 \)，\( k=3 \)，面积 \(= 9 \times 6 = 54 \)）
8. \( 4 \)
9. \( 8 \) （解析：另一边 \( = \sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8 \)）
10. \( \angle B = 90^{\circ} \) 或 \( AC = BD \) 等

第二关 答案概要：

1. 解析：由折叠知 \( AB=BF=6 \)，\( \angle A = \angle BFE = 90^{\circ} \)。在 \( \triangle BAD \) 中，\( BD = \sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10 \)，所以 \( DF = 10-6=4 \)。设 \( DE = x \)，则 \( EF = AE = 8-x \)。在 \( \triangle DEF \) 中，由勾股定理：\( x^{2} = 4^{2} + (8-x)^{2} \)，解得 \( x = 5 \)。
2. 解析：\( PB+PD \) 最小值问题。作 \( D \) 关于对角线 \( AC \) 的对称点 \( D' \)（由于矩形对称性，\( D' \) 即为 \( B \) 点），则 \( PB+PD \) 的最小值即为 \( BD' \) 的长，也就是 \( BD \) 的长。计算得 \( BD = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5 \)。
3. 解析：第一问用三角形中位线定理证明对边平行即可。第二问，当原四边形对角线相等时，中点四边形的邻边分别等于原四边形对角线的一半且相等，故为菱形。特别地，若原四边形对角线垂直且相等，中点四边形为正方形。
4. 解析：先证明 \( OCED \) 是平行四边形（两组对边分别平行）。在矩形 \( ABCD \) 中，\( OC = OD \)（因为 \( AC=BD \) 且 \( O \) 为平分点），所以平行四边形 \( OCED \) 是菱形（邻边相等的平行四边形）。
5. 解析：设 \( AB = CD = a \)，\( BC = AD = b \)，\( BE = x \)，\( DF = y \)。则 \( S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}ax = 3 \)，\( S_{\triangle ADF} = \frac{1}{2}by = 4 \)，\( S_{\triangle CEF} = \frac{1}{2}(b-x)(a-y) = 5 \)。矩形面积 \( S = ab \)。前两式相乘得 \( \frac{1}{4}abxy = 12 \)。第三式展开：\( \frac{1}{2}(ab - ay - bx + xy) = 5 \)，将 \( ay = 8 \)，\( bx = 6 \) 代入得 \( \frac{1}{2}(ab - 8 - 6 + xy) = 5 \)，即 \( ab + xy = 24 \)。将 \( ab + xy = 24 \) 与 \( abxy = 48 \) 联立，解得 \( ab = 12 \pm \sqrt{96} \)，取正值 \( ab = 12 + 4\sqrt{6} \)。

第三关 答案概要：

1. 用软尺分别量出花坛的长 \( a \) 和宽 \( b \)，利用公式 \( d = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \) 计算对角线。
2. 沿着长边：\( 4.2 \div 0.3 = 14 \)（块），恰好整除。沿着高：\( 2.8 \div 0.3 \approx 9.33 \)，取整为9块。至少需要 \( 14 \times 9 = 126 \) 块。实际能贴面积：\( 14 \times 0.3 \times 9 \times 0.3 = 1.134 \, \text{m}^{2} \)（或 \( 126 \times 0.09 = 11.34 \, \text{m}^{2} \)）。
3. 设计对角线 \( d = \sqrt{200^{2}+120^{2}} \approx 233.238 \, \text{mm} \)。合格范围：\( [233.238-0.5, \, 233.238+0.5] \)，即 \( [232.738, \, 233.738] \, \text{mm} \)。
4. 设画作长 \( 3k \)，宽 \( 2k \)。则木框外侧长 \( = 3k + 10 \)，宽 \( = 2k + 10 \)（单位：cm）。周长 \( 2 \times [(3k+10)+(2k+10)] = 200 \)，解得 \( 5k+20=100 \)，\( k=16 \)。画作面积 \( = 3k \times 2k = 6k^{2} = 6 \times 256 = 1536 \, \text{cm}^{2} \)。
5. 设垂直于墙的边（宽）为 \( x \, \text{m} \)，则平行于墙的边（长）为 \( (40-2x) \, \text{m} \)，面积 \( S = x(40-2x) = -2x^{2}+40x \)。这是关于 \( x \) 的二次函数，当 \( x = -\frac{40}{2 \times (-2)} = 10 \) 时，\( S \) 取最大值 \( 10 \times (40-20) = 200 \, \text{m}^{2} \)。故宽 \( 10 \, \text{m} \)，长 \( 20 \, \text{m} \) 时面积最大，为 \( 200 \, \text{m}^{2} \)。