九年级数学确定圆的条件公式大全及压轴题训练PDF下载 | 初三考点专项练习
适用年级
初三
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-31
💡 期末突击：考点：确定圆的条件 核心考点速记
【开篇语：这个考点是《圆》这一章的基石，期末卷中100%会出现！常见于选择题或填空题，分值3-5分。在几何综合大题中，也常作为隐含条件用来确定圆心或半径，是必须拿下的基础分。】
- 必背概念：1. （敲黑板） 过一个点能画无数个圆，过两个点也能画无数个圆。但过不在同一直线上的三个点，有且只有一个圆。2. 这个唯一的圆叫做这三点的外接圆，其圆心是三条边垂直平分线的交点，叫做外心。3. 对于三角形：直角三角形的外心在斜边中点；锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部。
- 阿星顺口溜： 三点定圆不共线，外心垂平分交点。直角三角形特简单，圆心就在斜中点。锐角在内钝角外，画个草图马上判！
- 万能公式： 已知三角形三边 \(a, b, c\)，面积 \(S\)，其外接圆半径 \(R\) 可由以下公式求出（大题写步骤能直接得分！）：
- 通用公式： \(R = \frac{abc}{4S}\)
- 若 \(\angle C = 90^\circ\)，则 \(R = \frac{c}{2}\) （其中 \(c\) 是斜边）
⚠️ 期末避坑：阅卷老师最爱扣分点
- ❌ 常见错解1： 忽略“不在同一直线上”的前提，直接说“三点确定一个圆”。
- ✅ 满分规范： 必须强调“不在同一直线上”或“不共线”。填空题写这个定义少一个字都扣分！
- ❌ 常见错解2： 求直角三角形的外心坐标，列复杂方程求解。
- ✅ 满分规范： 牢记“直角三角形的外心是斜边中点”。直接找到斜边两个端点，用中点坐标公式 \(\left( \frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2} \right)\) 秒杀！
🔥 考场真题：三类必考模型精讲
模型 1：基础概念题（选择/填空）
题目：（改编自2023年某区期末）下列说法正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆
B. 任何三角形都有一个外接圆
C. 长度相等的弧是等弧
D. 三角形的外心到三边距离相等
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 逐一判断每个选项对“确定圆的条件”及外心性质的理解。
- 第二步：[快速求解] A错，少了“不共线”；B对，这是定理；C错，等弧需在“同圆或等圆中”；D错，外心到三个顶点距离相等，到三边距离相等的是内心。故选B。
✅ 答案：B
模型 2：坐标几何题（填空/解答）
题目：（改编自2022年某市期末）在平面直角坐标系中，有 \(A(0,3), B(-4,0), C(4,0)\) 三点。
- 判断 \(\triangle ABC\) 的形状，并说明理由。
- 求 \(\triangle ABC\) 外接圆圆心的坐标。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 通过坐标判断三角形形状，进而利用外心特性求坐标。
- 第二步：[快速求解] (a) 计算 \(AB, AC, BC\) 长度，发现 \(AB=AC=5, BC=8\)，是等腰三角形。再算 \(AB^2+AC^2 \neq BC^2\)，故不是直角三角形，是锐角三角形。(b) 外心是三边垂直平分线交点。因为 \(B, C\) 关于y轴对称，所以 \(BC\) 的垂直平分线就是y轴。再求 \(AB\) 的垂直平分线，与y轴交点即为外心。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
✅ 答案： (a) 等腰锐角三角形，理由略；(b) 圆心坐标为 \((0, -\frac{7}{6})\)。
模型 3：综合探究题（解答/压轴）
题目：（综合探究）已知 \(\triangle ABC\)，请你用尺规作图作出它的外接圆 \(O\)（不写作法，保留作图痕迹）。若 \(\angle A\) 的大小发生变化，请探究点 \(O\) 与 \(\triangle ABC\) 的位置关系。
📌 秒杀技巧：
- 第一步：[识别考点] 尺规作外接圆 = 作任意两边的垂直平分线，交点即圆心。位置关系即利用“锐角在内，钝角在外”。
- 第二步：[快速求解] 作图痕迹为 \(AB, AC\) 的垂直平分线。结论：当 \(\angle A < 90^\circ\) 时，点 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 内部；当 \(\angle A = 90^\circ\) 时，点 \(O\) 在 \(BC\) 中点（斜边上）；当 \(\angle A > 90^\circ\) 时，点 \(O\) 在 \(\triangle ABC\) 外部。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
✅ 答案： 作图略。位置关系结论如上。
🚀 刷题特训：期末抢分三部曲
第一关：基础过关（送分题不能丢，5道）
- 判断题：过任意三点一定可以作一个圆。（ ）
- 填空题：直角三角形的外心是______的中点。
- 选择题：一个三角形的外心在其一边上，这个三角形是（ ）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
- 填空题：已知 \(A(1,2), B(1,-2)\)，则经过 \(A, B\) 两点的圆的圆心在直线______上。
- 简答题：简述“确定圆的条件”是什么？
第二关：高频考题（拉开差距的关键，5道）
- 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle B=70^\circ, \angle C=40^\circ\)，则其外心在三角形的______（内部/外部/边上）。
- 若一个三角形的外心到三个顶点的距离之比为 5:5:6，则该三角形是______三角形。
- 在平面直角坐标系中，已知 \(A(0,0), B(6,0), C(0,8)\)，则 \(\triangle ABC\) 外接圆的半径等于______。
- 如图，破残的圆形轮片上，弦 \(AB\) 的垂直平分线交弧 \(AB\) 于点 \(C\)，交弦 \(AB\) 于点 \(D\)。已知 \(AB=24\text{cm}, CD=8\text{cm}\)，求原圆形轮片的半径。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- 已知 \(P\) 是直线 \(l\) 外一点，试说明以 \(P\) 为圆心，至少可以作一个圆与直线 \(l\) 相切。
第三关：满分冲刺（压轴题挑战，5道）
- 已知等边 \(\triangle ABC\) 的边长为 \(2\)，则它的外接圆半径为______。
- 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC=5\)，\(BC=6\)，则其外接圆的面积为______。
- 已知平面内四个点 \(A, B, C, D\)，过其中任意三点画圆，共可以画出4个圆，则这四点的位置关系是______。
- （综合）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle ACB=90^\circ\)，\(D\) 是 \(AB\) 中点，\(BE \perp CD\) 于 \(F\)，交 \(AC\) 于 \(E\)。求证：\(E\) 在 \(\triangle BCD\) 的外接圆上。
📐几何示意图(请结合题目文字描述进行构图)
- （创新）定义：若一个四边形存在外接圆，则称其为“圆内接四边形”。现有四个点 \(A(0,0), B(4,0), C(3,2), D(1,2)\)，试判断四边形 \(ABCD\) 是否为“圆内接四边形”，并说明理由。
🤔 考前锦囊 FAQ
Q：做这类题有什么检查技巧？
A：1. 判断题干中的点是否“不共线”。2. 求外心坐标时，先判断三角形是不是直角三角形，如果是，直接用斜边中点公式，能省下大量计算时间并避免错误。3. 得出外心位置后，可快速验证它到三个顶点的距离是否相等（在坐标系中用两点距离公式）。
Q：如果考试时想不起来公式怎么办？
A：记住最根本的原理：外心是三边垂直平分线的交点。在坐标系中，你可以通过求两条边的垂直平分线方程，再联立解方程组来求圆心坐标和半径。虽然计算量稍大，但这是“万能保底法”，总能算出答案。
Q：“确定圆的条件”和“确定直线”的条件怎么区分记忆？
A：记住对比口诀：“两点定一线，不共线三点定一圆”。直线需要最少2个点，而圆需要最少3个点（且不共线），这样就永远不会混淆了。
参考答案
第一关： 1. × 2. 斜边 3. B 4. x=1 5. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
第二关： 1. 内部 2. 等腰（因为外心到等腰三角形两腰顶点的距离相等） 3. 5 4. 13cm （提示：设半径为R，在Rt△AOD中用勾股定理，OD=R-8） 5. 说明：过P作直线l的垂线，垂足为H，则以P为圆心，PH为半径的圆即与l相切。
第三关： 1. \(\frac{2\sqrt{3}}{3}\) 2. \(\frac{625\pi}{64}\) （提示：用 \(R=\frac{abc}{4S}\)，先求面积S=12） 3. 这四点构成一个三角形的三个顶点和这个三角形的外心（即四点中，有三点共线或任意三点都不共线但其中一点是另外三点所确定的圆的圆心的情况不符合“4个圆”，故只能是四点构成一个三角形的三个顶点及其外心） 4. 证明思路：欲证E在△BCD外接圆上，即证∠BED+∠BCD=180°或证D、E都在以BC为直径的圆上。利用直角三角形斜边中线性质及垂直关系可证。 5. 是。理由：计算可得∠ABC+∠ADC=180°（或证明OA=OB=OC=OD），根据对角互补的四边形有外接圆判定。