基准数法：找平均

知识要点

💡 核心概念：当我们需要求好几个接近的数（比如考试成绩、身高）的平均数时，如果直接加起来再除，计算可能比较麻烦。我们可以先“猜”一个中间的数作为“基准数”，然后把每个数和这个“基准数”比比看，多了多少或者少了多少，最后把这些“多出来”或“少掉”的部分平均一下，再加到（或减掉）基准数上，就能轻松得到真正的平均数。这就像把几个高低不齐的积木堆，先都看成一样高（基准高度），然后调整多出或缺少的小木块，让它们真正齐平。

📝 计算法则：

找基准：观察数列，选一个大小适中、方便计算的数作为基准数（通常取整十、整百的数，或者数列中间的数）。
算差数：用数列中的每一个数减去基准数，得到一系列“差数”。比基准数大的差数为正，小的为负。
求平均差：把所有“差数”相加，再除以数的总个数，得到“差数的平均数”。
得结果：将基准数加上“差数的平均数”，就得到了原始数列的平均数。公式为：

平均数 = 基准数 + （所有差数之和 ÷ 数的个数）

用字母表示：如果基准数是 \( m \)，数列为 \( a_1, a_2, ..., a_n \)，那么

平均数 \( \bar{a} = m + \frac{(a_1 - m) + (a_2 - m) + ... + (a_n - m)}{n} \)

🎯 记忆口诀：找个基准数，所有数来减，差数求平均，再加基准线。

🔗 知识关联：这个方法建立在“平均数”和“简便运算”的知识之上。我们学过，平均数 = 总数 ÷ 份数。基准数法只是把“求总数”这一步变得更简单了，它利用了“加减法的简便运算”，把接近的数先看成一样的，再微调。

易错点警示

❌ 错误1：基准数选得不好，导致差数计算更复杂。

✅ 正解：选择与大多数数接近的整十、整百数作为基准，简化计算。例如，求 \( 101, 98, 103 \) 的平均数，选 \( 100 \) 作基准比选 \( 90 \) 更好。
❌ 错误2：计算差数之和时，正负号混淆或漏算。

✅ 正解：计算时清晰地列出每个差数：\( +1, -2, +3 \)。求差数和时，可先加正数，再加负数（或相减）。
❌ 错误3：最后一步，忘记将“差数的平均数”加回基准数，或加错。

✅ 正解：牢记公式：真正平均数 = 基准数 + 差数的平均数。差数的平均数为正就加，为负就减。

三例题精讲

🔥 例题1：小明的三次数学测验成绩分别是 \( 88 \) 分，\( 92 \) 分，\( 85 \) 分。他这三次测验的平均分是多少？

📌 第一步：找基准。这三个数都接近 \( 90 \)，我们选 \( 90 \) 作为基准数。

📌 第二步：算差数。分别用每个成绩减去基准数 \( 90 \)：

\( 88 - 90 = -2 \)

\( 92 - 90 = +2 \)

\( 85 - 90 = -5 \)

差数分别为：\( -2, +2, -5 \)。

📌 第三步：求平均差并得结果。

差数之和：\( (-2) + (+2) + (-5) = -5 \)

差数的平均数：\( (-5) \div 3 = -\frac{5}{3} \)

真正的平均分：\( 90 + (-\frac{5}{3}) = 90 - 1\frac{2}{3} = 88\frac{1}{3} \)（分）

✅ 答案：\( 88\frac{1}{3} \) 分。

💬 总结：基准数法将 \( 88+92+85 \) 的连加，转化为了 \( (-2)+(+2)+(-5) \) 的简单加减，计算量小，不易出错。

🔥 例题2：计算 \( 10.2, 9.9, 10.5, 9.7, 10.3 \) 这五个数的平均数。

📌 第一步：找基准。这些数都在 \( 10 \) 附近，选 \( 10 \) 作基准。

📌 第二步：算差数：

\( 10.2 - 10 = +0.2 \)， \( 9.9 - 10 = -0.1 \)， \( 10.5 - 10 = +0.5 \)， \( 9.7 - 10 = -0.3 \)， \( 10.3 - 10 = +0.3 \)

📌 第三步：求平均差并得结果。

差数之和：\( 0.2 + (-0.1) + 0.5 + (-0.3) + 0.3 = 0.6 \)

差数的平均数：\( 0.6 \div 5 = 0.12 \)

真正的平均数：\( 10 + 0.12 = 10.12 \)

✅ 答案：\( 10.12 \)

💬 总结：当数字带有小数且接近某个整数时，基准数法优势明显，避免了多个小数直接相加的繁琐。

🔥 例题3：求 \( 203, 199, 197, 204, 201 \) 的平均数。

📌 第一步：找基准。观察发现都接近 \( 200 \)，选 \( 200 \) 作基准。

📌 第二步：算差数：

\( +3, -1, -3, +4, +1 \)

📌 第三步：求平均差并得结果。

差数之和：\( 3 + (-1) + (-3) + 4 + 1 = 4 \)

差数的平均数：\( 4 \div 5 = 0.8 \)

真正的平均数：\( 200 + 0.8 = 200.8 \)

✅ 答案：\( 200.8 \)

💬 总结：对于像这样接近整百的数，基准数法将复杂的多位数加法简化为个位数的加减，非常高效。

练习题（10道）

用基准数法求 \( 61, 59, 63 \) 的平均数。（基准数选 \( 60 \)）
用基准数法求 \( 45, 47, 43, 49 \) 的平均数。（基准数选 \( 46 \)）
计算：\( 7.3, 6.8, 7.5, 7.0 \) 的平均数。
计算：\( 102, 105, 98, 101, 103 \) 的平均数。
小雨四次跳绳的成绩是 \( 152 \) 下，\( 148 \) 下，\( 155 \) 下，\( 149 \) 下。她平均每次跳多少下？
求 \( 1.01, 0.99, 1.02, 0.98, 1.00 \) 的平均数。
五（1）班第一小组6名同学的身高（cm）为：\( 141, 138, 143, 139, 142, 140 \)。他们的平均身高是多少？
用两种方法（直接求和法与基准数法）求 \( 501, 499, 502, 498, 500 \) 的平均数，并对比哪种更简便。
如果 \( 28, 31, 29, 32, x \) 这五个数的平均数是 \( 30 \)，求 \( x \) 的值。（提示：可以设基准数为 \( 30 \)）
小华这周前四天的零花钱分别是 \( 8.5 \) 元，\( 9.0 \) 元，\( 8.0 \) 元，\( 9.5 \) 元。他这四天平均每天的零花钱是多少元？

奥数挑战（10道）

求 \( 1+2+3+...+19+20 \) 的平均数。
\( 10 \) 个连续自然数的和是 \( 205 \)，它们的平均数是多少？其中最大的数是多少？
甲、乙、丙三个数的平均数是 \( 82 \)，甲、乙、丙、丁四个数的平均数是 \( 85 \)，丁数是多少？
某5个数的平均数是 \( 18 \)，若把其中一个数改为 \( 6 \) 后，这5个数的平均数变为 \( 16 \)。这个被改动的数原来是多少？
小敏在计算一个求平均数的题目时，错把基准数 \( 100 \) 看成了 \( 80 \)，计算出的“差数的平均数”是 \( 5 \)。请问正确的平均数是多少？
求 \( 101, 103, 105, ..., 199 \) 这50个连续奇数的平均数。（提示：基准数可以选中间的数）
有6个数，它们的平均数是 \( 8 \)。如果再加入两个数，其中一个数是 \( 10 \)，这时8个数的平均数变成 \( 9 \)。问加入的另一个数是多少？
甲班 \( 52 \) 人，乙班 \( 48 \) 人。语文考试中，两个班全体同学的平均分是 \( 78 \) 分，乙班的平均分比甲班的平均分高 \( 5 \) 分。甲班的平均分是多少？
已知 \( 9 \) 个数的平均数是 \( 72 \)，去掉一个数后，余下数的平均数是 \( 78 \)。去掉的那个数是多少？
有若干个大于 \( 0 \) 的自然数，它们的平均数是 \( 10 \)。如果去掉最大的一个数，余下数的平均数是 \( 9 \)；如果去掉最小的一个数，余下数的平均数是 \( 11 \)。这些数最多有多少个？

生活应用（5道）

（高铁速度）一列复兴号高铁在途中四个速度监测点的瞬时速度分别为 \( 298 \) km/h, \( 302 \) km/h, \( 295 \) km/h, \( 305 \) km/h。请用基准数法估算它在这四个点的平均瞬时速度。
（航天发射）中国空间站天和核心舱发射后，某次轨道调整中，五组遥测数据记录的高度值（公里）为：\( 380.1, 379.8, 380.5, 379.9, 380.2 \)。请计算当时的平均轨道高度。
（AI答题）某AI模型在5次数学能力测试中，答对的题目数量分别为 \( 48, 52, 49, 51, 50 \) 道。它的平均正确题数是多少？（用基准数法快速计算）
（环保植树）绿水青山小队第一周植树 \( 123 \) 棵，第二周植树 \( 119 \) 棵，第三周植树 \( 125 \) 棵，第四周植树 \( 118 \) 棵。他们平均每周植树多少棵？
（网购优惠）“双十一”期间，某商品连续五天的价格（元）波动如下：\( 255, 249, 258, 251, 253 \)。这五天的平均价格是多少？如果你想“抄底”购买，这个平均价有参考价值吗？

参考答案与解析

【练习题答案】

基准数 \( 60 \)，差数 \( +1, -1, +3 \)，和 \( 3 \)，平均差 \( 1 \)，平均数 \( 61 \)。

基准数 \( 46 \)，差数 \( -1, +1, -3, +3 \)，和 \( 0 \)，平均差 \( 0 \)，平均数 \( 46 \)。

基准数 \( 7.0 \)，差数 \( +0.3, -0.2, +0.5, 0 \)，和 \( 0.6 \)，平均差 \( 0.15 \)，平均数 \( 7.15 \)。

基准数 \( 100 \)，差数 \( +2, +5, -2, +1, +3 \)，和 \( 9 \)，平均差 \( 1.8 \)，平均数 \( 101.8 \)。

基准数 \( 150 \)，差数 \( +2, -2, +5, -1 \)，和 \( 4 \)，平均差 \( 1 \)，平均数 \( 151 \) 下。

基准数 \( 1.00 \)，差数 \( +0.01, -0.01, +0.02, -0.02, 0 \)，和 \( 0 \)，平均差 \( 0 \)，平均数 \( 1.00 \)。

基准数 \( 140 \)，差数 \( +1, -2, +3, -1, +2, 0 \)，和 \( 3 \)，平均差 \( 0.5 \)，平均数 \( 140.5 \) cm。

直接求和：\( (501+499+502+498+500) \div 5 = 2500 \div 5 = 500 \)。基准数法（基准 \( 500 \)）：差数和 \( 0 \)，平均数 \( 500 \)。基准数法更简便。

设基准数为 \( 30 \)，则原数差数为 \( -2, +1, -1, +2, (x-30) \)。已知平均数为 \( 30 \)，即差数平均数为 \( 0 \)。所以 \( (-2)+1+(-1)+2+(x-30) = 0 \)，解得 \( x-30 = 0 \)，\( x=30 \)。

基准数 \( 9.0 \)，差数 \( -0.5, 0, -1.0, +0.5 \)，和 \( -1.0 \)，平均差 \( -0.25 \)，平均数 \( 8.75 \) 元。

【奥数挑战答案】

答案： \( 10.5 \) 解析： 等差数列平均数 = (首项+末项) ÷ 2 = \( (1+20) \div 2 = 10.5 \)。也可以用基准数法，选 \( 10 \) 或 \( 11 \) 作基准。

答案： 平均数 \( 20.5 \)，最大数 \( 25 \)。 解析： 平均数 = \( 205 \div 10 = 20.5 \)。对于连续自然数，平均数等于中间两数的平均数，所以这10个数是 \( 16,17,...,25 \)，最大为 \( 25 \)。

答案： \( 94 \) 解析： 甲乙丙和 = \( 82 \times 3 = 246 \)，甲乙丙丁和 = \( 85 \times 4 = 340 \)，所以丁 = \( 340 - 246 = 94 \)。

答案： \( 16 \) 解析： 改动前总和 \( 18 \times 5 = 90 \)，改动后总和 \( 16 \times 5 = 80 \)，总和减少了 \( 10 \)，所以被改动的数原来是 \( 6 + 10 = 16 \)。

答案： \( 115 \) 解析： 错用的基准数是 \( 80 \)，差数平均 \( 5 \)，所以算出的“平均数”是 \( 85 \)。但这个 \( 85 \) 是基于基准 \( 80 \) 的结果。设正确的基准数是 \( 100 \)，真正的差数平均为 \( x \)。有关系：\( 80 + 5 = 100 + x \)，解得 \( x = -15 \)。所以真正平均数 = \( 100 + (-15) = 85 \)？不对。仔细分析：错算时，数列总和 = \( (80 + 5) \times n = 85n \)。这个总和是不变的。那么，以 \( 100 \) 为基准时，总和又等于 \( (100 + d) \times n \) (d为正确的差数平均)。所以 \( 85n = (100+d)n \)，解得 \( d = -15 \)。真正平均数 = \( 100 + (-15) = 85 \)？矛盾了。问题在于“计算出的差数平均数”是基于错误基准 \( 80 \) 的。设原数列为 a_i，正确的差数平均为 \( \bar{d} \)。则 \( \frac{\sum (a_i - 100)}{n} = \bar{d} \)。错误的计算是 \( \frac{\sum (a_i - 80)}{n} = 5 \)。由错误的式子得 \( \frac{\sum a_i}{n} - 80 = 5 \)，所以 \( \frac{\sum a_i}{n} = 85 \)。这才是真正的平均数！所以答案是 \( 85 \)。原解析错误，特此更正。正确答案应为 \( 85 \)。

答案： \( 150 \) 解析： 这是等差数列，平均数 = (首项+末项) ÷ 2 = \( (101+199) \div 2 = 150 \)。基准数法可选 \( 150 \)，每个数与 \( 150 \) 的差对称出现，和为零，平均数就是 \( 150 \)。

答案： \( 16 \) 解析： 原来6个数和 = \( 8 \times 6 = 48 \)。加入两数后，8个数和 = \( 9 \times 8 = 72 \)。所以加入的两数和 = \( 72 - 48 = 24 \)。已知一个为 \( 10 \)，另一个为 \( 24 - 10 = 14 \)。（答案修正为14）

答案： \( 75.5 \) 分 解析： 设甲班平均分为 \( x \)，则乙班为 \( x+5 \)。总分数相等：\( 52x + 48(x+5) = (52+48) \times 78 \)。解得 \( 100x + 240 = 7800 \)，\( 100x = 7560 \)，\( x = 75.6 \)。（计算修正：\( 7800-240=7560 \)，\( 7560 \div 100 = 75.6 \)）

答案： \( 24 \) 解析： 9个数和 \( 72 \times 9 = 648 \)。余下8个数和 \( 78 \times 8 = 624 \)。去掉的数 = \( 648 - 624 = 24 \)。

答案： \( 11 \) 个 解析： 设这些数为 \( a_1 \le a_2 \le ... \le a_n \)，总和 \( S = 10n \)。去掉最大数：\( S - a_n = 9(n-1) \)。去掉最小数：\( S - a_1 = 11(n-1) \)。两式相减得：\( a_n - a_1 = 2(n-1) \)。因为都是自然数，\( a_n \ge a_1 \)，所以 \( n-1 \) 为正整数。又因为平均数 \( 10 \) 固定，n 越大，a_n 与 a_1 的差可以越大。但 a_1 必须 >0。尝试：由 \( S - a_n = 9(n-1) \) 和 \( S=10n \) 得 \( a_n = n+9 \)。同理得 \( a_1 = 11 - n \)。要满足 \( a_1 > 0 \)，则 \( 11-n > 0 \)，\( n < 11 \)。所以 n 最大为 \( 10 \)？检查 n=10: a1=1, an=19。但此时去掉最大数，余下平均数是9，总和=81，S=100，去掉的an=19，符合。去掉最小数，余下平均数是11，总和=99，S=100，去掉的a1=1，符合。所以n最大为10。原答案11有误，应为10。

【生活应用答案】

基准数 \( 300 \)，差数 \( -2, +2, -5, +5 \)，和 \( 0 \)，平均差 \( 0 \)，平均速度 \( 300 \) km/h。

基准数 \( 380.0 \)，差数 \( +0.1, -0.2, +0.5, -0.1, +0.2 \)，和 \( 0.5 \)，平均差 \( 0.1 \)，平均高度 \( 380.1 \) 公里。

基准数 \( 50 \)，差数 \( -2, +2, -1, +1, 0 \)，和 \( 0 \)，平均差 \( 0 \)，平均正确题数 \( 50 \) 道。

基准数 \( 120 \)，差数 \( +3, -1, +5, -2 \)，和 \( 5 \)，平均差 \( 1.25 \)，平均数 \( 121.25 \) 棵。

基准数 \( 253 \)，差数 \( +2, -4, +5, -2, 0 \)，和 \( 1 \)，平均差 \( 0.2 \)，平均价格 \( 253.2 \) 元。平均价反映了这五天价格的总体水平，对于判断是否“划算”有参考价值，但“抄底”需要关注最低价。

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基准数法：找平均

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