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小学数学结合律：概念、易错题深度解析与简便计算技巧大全专项练习题库

适用年级

初一

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：结合律 原理

  • 核心概念：想象一下，你正在组织一场数学运动会！加法（或乘法）运算就像是一支队伍。结合律告诉你，在只有加法（或只有乘法）的连续比赛中，谁和谁先“组队”跑第一棒，不影响最终的团队总成绩。阿星：这就是“谁好算谁先结合，比如凑整十整百。”的精髓！你不是在改变队员（数字），你只是在调整他们合作的顺序，目标是让整个计算过程更顺畅、更快。
  • 计算秘籍：
    1. 锁定目标：观察一串连续的加法或乘法，例如 \( 23 + 59 + 41 \)。
    2. 寻找“最佳搭档”：找出那些相加（或相乘）能得到整十、整百、整千等“好算”结果的数字组合。在这里，\( 59 \) 和 \( 41 \) 是好朋友，因为它们能凑成 \( 100 \)。
    3. 合法“组队”：运用结合律，给他们加上“优先结合”的小括号。即：\( 23 + 59 + 41 = 23 + (59 + 41) \)。
    4. 轻松计算：先计算括号内的“最佳搭档”：\( 23 + (59 + 41) = 23 + 100 = 123 \)。
  • 阿星口诀：连续加或乘，顺序可变更。括号来组队，凑整跑先行！

📐 图形解析

虽然结合律是代数性质，但我们可以用图形拼接来直观理解“组队”后总量不变。

矩形总面积（求和）公式：\( S_{总} = S_1 + S_2 + S_3 \)

S1 S2 S3 先结合 原顺序：(S1 + S2) + S3 S1 S2 S3 先结合 新顺序：S1 + (S2 + S3)

上图展示了将三个矩形面积 \( S_1 \)、\( S_2 \)、\( S_3 \) 相加。无论你是先把 \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 拼起来再加 \( S_3 \)，还是先把 \( S_2 \) 和 \( S_3 \) 拼起来再加 \( S_1 \)，最终拼成的大图形的总面积 \( S_{总} \) 始终不变。这就是结合律（加法）的几何意义：改变部分之间的组合方式，不改变整体。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：把结合律和交换律（换位置）搞混了。认为 \( (8+5)+2 = 8+(2+5) \) 只是用了结合律。
    ✅ 正解：这个等式中，既用了结合律（改括号），也用了交换律（把5和2换了位置）。纯结合律的例子是 \( (8+5)+2 = 8+(5+2) \)，括号里的数字顺序不变。
  • ❌ 错误2：在减法或除法中滥用结合律。认为 \( 10 - (5-2) = (10-5)-2 \) 或 \( 24 \div (6 \div 2) = (24 \div 6) \div 2 \)。
    ✅ 正解：结合律只对加法和乘法成立！减法和除法没有结合律。上面两个式子左边算得 \( 7 \)，右边算得 \( 3 \); 左边算得 \( 8 \)，右边算得 \( 2 \)，结果都不相等。

🔥 三例题精讲

例题1：计算 \( 47 + 68 + 32 \)

📌 解析：

  1. 观察组队：一眼发现 \( 68 \) 和 \( 32 \) 是“黄金搭档”，能凑成 \( 100 \)。
  2. 运用结合律组队： \( 47 + 68 + 32 = 47 + (68 + 32) \)。
  3. 轻松计算： \( 47 + (100) = 147 \)。

✅ 总结：心算的关键就是“扫描全场”，为能凑整的数字“优先组队”。

例题2：计算 \( 4 \times 17 \times 25 \)

📌 解析：

  1. 观察组队：在乘法里，\( 4 \) 和 \( 25 \) 是“王牌组合”，相乘得 \( 100 \)。
  2. 运用结合律组队： \( 4 \times 17 \times 25 = (4 \times 25) \times 17 \)。（注意这里也用了交换律调整了位置）
  3. 轻松计算： \( (100) \times 17 = 1700 \)。

✅ 总结：乘法凑整（如 \( 4 \times 25=100 \), \( 8 \times 125=1000 \)）是简化计算的利器。

例题3：计算 \( 7.6 + 5\frac{2}{5} + 2.4 - 1\frac{2}{5} \)

📌 解析：

  1. 统一与观察：将分数化为小数：\( 5\frac{2}{5} = 5.4 \)，\( 1\frac{2}{5} = 1.4 \)。原式变为 \( 7.6 + 5.4 + 2.4 - 1.4 \)。
  2. 策略性组队：加法和减法混合时，我们可以把减法看作加上一个负数，然后灵活地为加法部分组队。即 \( 7.6 + 5.4 + 2.4 + (-1.4) \)。让 \( 7.6 \) 和 \( 2.4 \) 组队，\( 5.4 \) 和 \( -1.4 \) 组队。
  3. 分组计算： \( (7.6 + 2.4) + (5.4 - 1.4) = 10 + 4 = 14 \)。

✅ 总结：加减混合时，带着符号“搬家”并组队，目标是创造易于抵消或凑整的组合。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. \( 36 + 29 + 14 \)
  2. \( 15 \times 6 \times 5 \)
  3. \( 82 + 47 + 18 + 53 \)
  4. \( 5 \times 9 \times 2 \)
  5. \( 1.8 + 2.7 + 0.2 \)
  6. \( 125 \times 7 \times 8 \)
  7. \( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} \)
  8. \( 50 \times 23 \times 2 \)
  9. \( 91 + 105 + 9 \)
  10. \( 25 \times 36 \times 4 \)

第二关：中考挑战（10道）

  1. 计算：\( 2\frac{1}{7} + 3\frac{1}{4} + 4\frac{6}{7} + 1\frac{3}{4} \)
  2. 计算：\( (-0.8) + 4.3 + (-7.2) + 5.7 \)
  3. 计算：\( \frac{5}{8} \times \frac{2}{15} \times 32 \)
  4. 计算：\( 1.25 \times 3.7 \times 0.8 \)
  5. 计算：\( 999 + 498 + 1 + 502 \)
  6. 计算：\( (-\frac{5}{12}) \times \frac{4}{15} \times (-\frac{3}{2}) \)
  7. 计算：\( 11 \times 13 \times (\frac{7}{11} - \frac{6}{13}) \) （提示：先分配律）
  8. 计算：\( 2.5 \times (0.32 \times 40) \)
  9. 计算：\( (-6.9) + 15.7 + (-3.1) + (-5.7) \)
  10. 计算：\( 0.125 \times 6.4 \times 25 \)

第三关：生活应用（5道）

  1. 【购物清单】小明买书花了 \( 47 \) 元，买文具花了 \( 33 \) 元，又买了一个书包花了 \( 253 \) 元。他付给收银员 \( 400 \) 元，请问收银员如何用结合律的思想快速心算出应找回多少钱？（列出算式思路）
  2. 【土地测量】一块长方形土地被划分为三个小长方形区域种植不同作物（如图）。三个区域的面积分别为 \( 125 \) 平方米、\( 250 \) 平方米、\( 75 \) 平方米。管理员想快速估算总面积用于订购肥料，他如何利用结合律快速口算？

    3. 125 m² 250 m² 75 m² 长方形土地被分割为三个区域

  3. 【工程材料】一个工程需要 \( 25 \) 包水泥，每包水泥重 \( 40 \) 千克；同时需要 \( 75 \) 包沙子，每包沙子同样重 \( 40 \) 千克。运输工人想一次性估算水泥和沙子的总重量，他怎样列式能最快算出来？
  4. 【数据统计】三月份，一个小超市周一至周三销售额共 \( 2340 \) 元，周四至周六销售额共 \( 3660 \) 元，周日销售额为 \( 1400 \) 元。会计计算本月第一周（7天）总销售额时，如何巧妙结合简化计算？
  5. 【营养配比】一份混合坚果由三部分组成：A部分含蛋白质 \( 12.5 \) 克，B部分含蛋白质 \( 7.5 \) 克，C部分含蛋白质 \( 25.5 \) 克。求这份坚果的总蛋白质含量。如何一眼看出简便算法？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：结合律 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在于理解“括号可以改变”这个规则，而在于识别不出何时该用、以及如何用得巧。学生往往按顺序硬算，缺乏“寻找最佳组队”的意识。这需要从看到算式第一步就养成“扫描——寻找凑整组合”的习惯，把结合律从一个被动知识变为主动的计算策略。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：结合律是整个代数运算体系的基石之一。它不仅是速算技巧：

  • 在初中，它是理解整式加减（合并同类项）、乃至多项式运算的基础逻辑。
  • 在高中，向量加法、矩阵加法都满足结合律，这种运算结构的一致性体现了数学的美与力量。
  • 它培养的“化繁为简”、“优先处理局部”的思想，是解决复杂问题的通用思维模式。例如在计算 \( \sum_{k=1}^{100} k \) 时，高斯的 \( (1+100) + (2+99) + ... \) 方法，本质就是结合律的极致应用。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有！可以总结为“一看、二找、三组、四算”八字诀。

  1. 看：看清运算，全是加（乘）法，还是有减有除？
  2. 找：在加/乘法中，快速扫描所有数字，寻找能凑成 \( 10 \)、\( 100 \)、\( 1000 \) 等“整数”的组合，或者能抵消（和为零、积为一）的组合。
  3. 组：在心里或纸上，用小括号将这些“好朋友”优先结合到一起。
  4. 算：先算括号内，再算括号外，轻松得出结果。

记住这个流程并反复练习，就能形成条件反射。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( 36 + 29 + 14 = (36+14)+29 = 50+29=79 \)
  2. \( 15 \times 6 \times 5 = 15 \times (6 \times 5) = 15 \times 30 = 450 \) 或 \( (15 \times 2) \times (3 \times 5) = 30 \times 15 = 450 \)
  3. \( 82 + 47 + 18 + 53 = (82+18)+(47+53)=100+100=200 \)
  4. \( 5 \times 9 \times 2 = (5 \times 2) \times 9 = 10 \times 9 = 90 \)
  5. \( 1.8 + 2.7 + 0.2 = (1.8+0.2)+2.7=2+2.7=4.7 \)
  6. \( 125 \times 7 \times 8 = (125 \times 8) \times 7 = 1000 \times 7 = 7000 \)
  7. \( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} = (\frac{1}{4}+\frac{3}{4})+\frac{2}{3}=1+\frac{2}{3}=1\frac{2}{3} \)
  8. \( 50 \times 23 \times 2 = (50 \times 2) \times 23 = 100 \times 23 = 2300 \)
  9. \( 91 + 105 + 9 = (91+9)+105=100+105=205 \)
  10. \( 25 \times 36 \times 4 = (25 \times 4) \times 36 = 100 \times 36 = 3600 \)

第二关：中考挑战

  1. \( (2\frac{1}{7}+4\frac{6}{7})+(3\frac{1}{4}+1\frac{3}{4}) = 7 + 5 = 12 \)
  2. \( [(-0.8)+(-7.2)] + (4.3+5.7) = (-8) + 10 = 2 \)
  3. \( (\frac{5}{8} \times 32) \times \frac{2}{15} = 20 \times \frac{2}{15} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3} \)
  4. \( (1.25 \times 0.8) \times 3.7 = 1 \times 3.7 = 3.7 \)
  5. \( (999+1) + (498+502) = 1000 + 1000 = 2000 \)
  6. \( [(-\frac{5}{12}) \times \frac{4}{15}] \times (-\frac{3}{2}) = (-\frac{1}{9}) \times (-\frac{3}{2}) = \frac{1}{6} \)
  7. \( 11 \times 13 \times \frac{7}{11} - 11 \times 13 \times \frac{6}{13} = 13 \times 7 - 11 \times 6 = 91 - 66 = 25 \) （此题主要考察分配律）
  8. \( [2.5 \times (0.32 \times 40)] = 2.5 \times 12.8 = 32 \) 或 \( (2.5 \times 40) \times 0.32 = 100 \times 0.32 = 32 \)
  9. \( [(-6.9)+(-3.1)] + [15.7+(-5.7)] = (-10) + 10 = 0 \)
  10. \( (0.125 \times 8) \times (0.8 \times 25) = 1 \times 20 = 20 \) 或 \( 0.125 \times (8 \times 0.8 \times 25) = 0.125 \times 160 = 20 \)

第三关：生活应用

  1. 解析：找回的钱 = \( 400 - (47 + 33 + 253) \)。快速心算时，可以先算 \( 47+33=80 \)，再算 \( 80+253=333 \)，最后 \( 400-333=67 \) 元。或者更巧地，先算 \( 253+47=300 \)，再算 \( 300+33=333 \)。核心思想是让加法部分便于凑整。
  2. 解析：总面积 = \( 125 + 250 + 75 \)。他发现 \( 125 \) 和 \( 75 \) 能凑成 \( 200 \)，于是快速口算：\( (125+75) + 250 = 200 + 250 = 450 \) 平方米。
  3. 解析：总重量 = \( 25 \times 40 + 75 \times 40 \)。利用乘法分配律的逆运算（也是基于乘法的意义和结合律）：\( (25 + 75) \times 40 = 100 \times 40 = 4000 \) 千克。他一眼看出“总包数”是 \( 100 \) 包。
  4. 解析：周销售额 = \( 2340 + 3660 + 1400 \)。他发现前两个数 \( 2340 \) 和 \( 3660 \) 的和是整千数 \( 6000 \)，于是快速计算：\( (2340+3660) + 1400 = 6000 + 1400 = 7400 \) 元。
  5. 解析：总蛋白质 = \( 12.5 + 7.5 + 25.5 \)。他一眼看出 \( 12.5 \) 和 \( 7.5 \) 能凑成整数 \( 20 \)，于是快速计算：\( (12.5+7.5) + 25.5 = 20 + 25.5 = 45.5 \) 克。

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