角平分线的判定怎么证明？到两边距离相等一定在平分线上吗？深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：角平分线的判定 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来玩一个数学版的“逆向定位”游戏。我们都知道，在角的平分线上的点，到角两边的距离相等。这就像国王的宝座（平分线）到两个边境（角的两边）一样远。那么，如果我告诉你，我在茫茫大地上找到一个点，它到两边边境的距离恰好相等，你猜我在哪？没错！我一定是端坐在国王的宝座——也就是角的平分线上！这就是我们的判定定理：到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。它是性质定理的完美逆袭，让我们可以从“距离相等”这个线索，反向锁定“角平分线”这条隐藏路径！
• 计算秘籍：
  1. 明确目标：已知点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 内部，且 \( PC \perp OA \) 于 \( C \)，\( PD \perp OB \) 于 \( D \)。
  2. 关键条件：测得（或已知）\( PC = PD \)。
  3. 连接定位：连接 \( OP \)。
  4. 推理判定：在直角三角形 \( \triangle OPC \) 与 \( \triangle OPD \) 中，∵ \( PC = PD \) (已知)，\( OP = OP \) (公共边)，∴ \( Rt\triangle OPC \cong Rt\triangle OPD \) (HL 定理)。
  5. 得出结论：∴ \( \angle COP = \angle DOP \)，即 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)。
• 阿星口诀：两边垂线等长，连线必是分角枪！距离相等定位置，平分线上把家安。

📐 图形解析

核心图形：点 \( P \) 到角 \( \angle AOB \) 两边距离相等，则 \( OP \) 为角平分线。

如图所示：已知 \( PC \perp OA \)，\( PD \perp OB \)，且 \( PC = PD \)。连接 \( OP \)，即可判定 \( OP \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线，即 \( \angle AOP = \angle BOP \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“点P在角的内部，且到顶点O的距离相等，则OP是角平分线。”
  → ✅ 正解：判定定理的核心是到角的两边（即两条射线OA, OB）的垂直距离相等，而不是到顶点O的距离。到顶点距离相等的点，在以O为圆心的圆上，不一定是角平分线。
• ❌ 错误2：在使用判定定理时，直接写“∵ PA = PB，∴ OP平分∠AOB”，忽略“垂直”条件。
  → ✅ 正解：必须严格说明或证明 \( PA \perp OA \) 且 \( PB \perp OB \)，此时 \( PA \) 和 \( PB \) 才是“距离”。没有垂直，相等的只是两条线段的长度，不能作为判定依据。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：在 \( \angle AOB \) 的内部有一点 \( P \)，若 \( P \) 到 \( OA \) 的距离为 3 cm，到 \( OB \) 的距离也为 3 cm，则 \( OP \) 一定平分 \( \angle AOB \)。 ( )
2. 如图，\( PD \perp OA \)，\( PE \perp OB \)，且 \( PD = PE \)。若 \( \angle 1 = 25^{\circ} \)，则 \( \angle 2 = \) ______ \( ^{\circ} \)。
   
3. 填空题：角平分线的判定定理是：角的内部到角的两边______相等的点，在这个角的______上。
4. 已知点 \( P \) 在 \( \angle MON \) 的平分线上，\( PA \perp OM \)，\( PB \perp ON \)，垂足分别为 \( A \)、\( B \)。若 \( PA = 5 \)，则 \( PB = \) ______。
5. 如图，在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^{\circ} \)，\( BC = 6 \)，\( AC = 8 \)，\( BD \) 平分 \( \angle ABC \) 交 \( AC \) 于点 \( D \)。则点 \( D \) 到 \( AB \) 的距离是 ______。
6. （生活）为了测量一个大型零件上 \( \angle AOB \) 的角平分线，工人师傅在角内找了一点 \( P \)，使得 \( P \) 到两边 \( OA \)、\( OB \) 的铅垂距离（即垂直距离）都等于 15.0 mm。他判断 \( OP \) 就是角平分线。他的依据是 ______。
7. 判断题：三角形三条角平分线的交点到三边的距离都相等。 ( )
8. 如图，直线 \( l_1 \)、\( l_2 \)、\( l_3 \) 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ______ 处。
9. 已知：\( AD \) 是 \( \triangle ABC \) 的角平分线，\( DE \perp AB \)，\( DF \perp AC \)，\( E \)、\( F \) 为垂足。若 \( AB = 10 \)，\( AC = 8 \)，且 \( \triangle ABC \) 的面积为 36，则 \( DE = \) ______。
10. 如图，已知 \( \angle AOB = 60^{\circ} \)，点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的平分线上，\( PC \perp OA \) 于 \( C \)，\( PD \perp OB \) 于 \( D \)。若 \( OC = 2 \)，则 \( OP = \) ______。

第二关：中考挑战（10道）

1. 【中考改编】如图，四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle B = 90^{\circ} \)，\( AC \) 平分 \( \angle BAD \)，\( CB \perp AB \) 于 \( B \)，\( CD \perp AD \) 于 \( D \)。若 \( AB = 4 \)，则四边形 \( ABCD \) 的面积为 ______。
2. 【中考真题类】已知：如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 是 \( \angle BAC \) 的平分线，\( DE \)、\( DF \) 分别是 \( \triangle ABD \) 和 \( \triangle ACD \) 的高。求证：\( AD \) 垂直平分 \( EF \)。
3. 在平面直角坐标系中，点 \( A(4, 0) \)，\( B(0, 3) \)。点 \( P \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线上一点，且 \( PM \perp OA \) 于 \( M \)，\( PN \perp OB \) 于 \( N \)。当 \( PM = 2 \) 时，求点 \( P \) 的坐标。
4. 【动点问题】如图，在长方形 \( ABCD \) 中，\( AB=6 \)，\( BC=8 \)。点 \( P \) 从点 \( B \) 出发，沿 \( BC \) 向点 \( C \) 以每秒 1 个单位的速度运动，同时点 \( Q \) 从点 \( C \) 出发，沿 \( CD \) 向点 \( D \) 以每秒 2 个单位的速度运动。当 \( t \) 为何值时，点 \( P \) 到 \( \angle DQC \) 的两边距离相等？
5. 【综合证明】如图，\( \triangle ABC \) 的外角 \( \angle DAC \) 的平分线交 \( BC \) 的延长线于点 \( E \)，\( BF \) 平分 \( \angle ABC \) 交 \( AC \) 于点 \( F \)，\( BF \) 与 \( AE \) 交于点 \( O \)。求证：点 \( O \) 到 \( AB \)、\( BC \)、\( AC \) 三条边的距离相等。
6. 已知：\( BE \) 和 \( CF \) 是 \( \triangle ABC \) 的两条高，它们相交于点 \( H \)。若 \( BH = AC \)，求证：\( \angle BAC = 45^{\circ} \)。（提示：利用角平分线判定）
7. 【尺规作图与计算】如图，在 \( \triangle ABC \) 中，请用尺规作图法在 \( BC \) 边上找一点 \( P \)，使得点 \( P \) 到 \( AB \) 和 \( AC \) 的距离相等（保留作图痕迹）。连接 \( AP \)，若 \( \angle B = 50^{\circ} \)，\( \angle C = 70^{\circ} \)，求 \( \angle PAC \) 的度数。
8. 【面积法】在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^{\circ} \)，\( AC = 6 \)，\( BC = 8 \)，\( AB = 10 \)。\( I \) 是 \( \triangle ABC \) 的内心（三条角平分线交点）。求 \( I \) 到 \( BC \) 边的距离。
9. 【探究题】我们知道“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”。那么，“到角两边所在直线距离相等的点”是否也在这个角的平分线上？请画出所有可能情况的示意图，并说明理由。
10. 【新定义】对于平面内的一个角 \( \angle AOB \) 和一定点 \( P \)，定义：若 \( P \) 到 \( OA \)、\( OB \) 的距离之比等于定值 \( k \ (k>0) \)，则称点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的一条“k-分角线”上。仿照角平分线的判定，写出“k-分角线”的判定命题。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量）如图所示，要测量一个不能直接到达的建筑物墙角 \( \angle AOB \) 的大小，测量员在 \( OA \) 方向上取点 \( C \)，在 \( OB \) 方向上取点 \( D \)，使得 \( OC = OD \)。然后在 \( \angle AOB \) 内部找一点 \( P \)，使得 \( PC = PD \)。测量员说 \( \angle AOB = 2 \times \angle CPD \)。请解释其测量原理。
2. （建筑设计）一个展览馆的大厅呈扇形 \( OAB \)，圆心角 \( \angle AOB = 120^{\circ} \)。现要在扇形区域内设置一个圆形服务台，要求服务台的边缘与两条边界走廊 \( OA \) 和 \( OB \) 都相切。请你确定这个圆形服务台圆心 \( P \) 的位置（描述作图思路），并说明 \( P \) 点一定在 \( \angle AOB \) 的平分线上。
3. （农业灌溉）一块三角形的农田 \( \triangle ABC \)，需要在内部打一口水井 \( P \)，使得从水井到三条田埂（即三角形的三边）铺设水管的长度（垂直最短距离）都相等，以减少成本。请问这样的水井位置有几个？它们分别是三角形的什么心？
4. （噪声控制）某工厂位于两条公路 \( OA \) 和 \( OB \) 的夹角区域。环保条例规定，工厂的噪声到达公路边不得超过 \( 50 \) 分贝。已知噪声衰减模型为：距离每增加一倍，噪声减少 \( 6 \) 分贝。若工厂本身的噪声为 \( 80 \) 分贝，请你利用角平分线的知识，分析工厂应该建在 \( \angle AOB \) 内怎样的区域，才能同时满足两条公路的噪声要求？（提示：先求所需的最小距离）
5. （机器人路径规划）一个清洁机器人需要清洁一个墙角 \( \angle AOB \) 附近的区域。它的传感器可以检测到与两边墙面的垂直距离。编程人员希望它沿着一条“等距线”行走，即始终保持到两面墙的垂直距离相等。请描述这条“等距线”的形状，并证明你的结论。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅ 正确。符合判定定理。
2. \( 25^{\circ} \)。∵ \( PD=PE \)，∴ \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，∴ \( \angle 2 = \angle 1 = 25^{\circ} \)。
3. 距离，平分线。
4. 5。角平分线上的点到角两边距离相等。
5. 解：作 \( DE \perp AB \) 于 \( E \)。设 \( CD = DE = x \)。∵ \( BD \) 平分 \( \angle ABC \)，\( DC \perp BC \)，∴ \( DE = DC = x \)。\( AC = 8 \)，∴ \( AD = 8 - x \)。在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \)。\( S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD} = S_{\triangle ABC} \)，即 \( \frac{1}{2} \times 10 \times x + \frac{1}{2} \times 6 \times x = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \)，解得 \( x = 3 \)。
6. 角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
7. ✅ 正确。这是三角形内心的性质。
8. 4。分别是三角形两个外角和一个内角平分线的交点。
9. 解：∵ \( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，\( DE \perp AB \)，\( DF \perp AC \)，∴ \( DE = DF \)。\( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AB \cdot DE + \frac{1}{2}AC \cdot DF = \frac{1}{2}DE \cdot (AB+AC) = 36 \)。∴ \( \frac{1}{2}DE \cdot (10+8) = 36 \)，解得 \( DE = 4 \)。
10. 解：∵ \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，∴ \( \angle POC = 30^{\circ} \)。在 \( Rt\triangle POC \) 中，\( \cos 30^{\circ} = \frac{OC}{OP} \)，即 \( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{OP} \)，∴ \( OP = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \)。

（注：第二关、第三关题目解析较长，此处仅提供关键思路或最终答案，详细过程可另行展开。）

第二关：中考挑战（关键点）

1. 16。利用角平分线性质得 \( CB=CD \)，四边形面积等于两倍 \( \triangle ABC \) 面积。
2. 先证 \( \triangle AED \cong \triangle AFD \) (HL或AAS)，得 \( AE=AF \)，再证 \( \triangle AOE \cong \triangle AOF \) (SAS)，得 \( \angle AOE = \angle AOF = 90^{\circ} \)，且 \( OE=OF \)。
3. \( P(2, 2) \)。由 \( PM=PN=2 \)，且 \( P \) 在直线 \( y=x \) (第一象限角平分线)上可得。
4. \( t = 2 \)。点 \( P \) 到 \( \angle DQC \) 两边距离相等，则 \( P \) 在 \( \angle DQC \) 平分线上。当 \( BP=t \)，\( CQ=2t \) 时，通过构造相似或面积法列方程求解。
5. 证明点 \( O \) 在 \( \angle ABC \)、\( \angle DAC \) 的平分线上（利用两次判定定理），则 \( O \) 是 \( \triangle ABC \) 的旁心（一个旁心），故到三边距离相等。
6. 提示：先证 \( \triangle BDH \cong \triangle ADC \) (AAS)，得 \( BD=AD \)，故 \( \triangle ABD \) 为等腰直角三角形。
7. 作图略。\( \angle PAC = 30^{\circ} \)。先求 \( \angle BAC = 60^{\circ} \)，由 \( AP \) 平分 \( \angle BAC \) 得 \( \angle BAP = 30^{\circ} \)，再根据三角形内角和求 \( \angle BPA \)，最后利用外角或内角和求 \( \angle PAC \)。
8. 距离为 \( 2 \)。设内切圆半径为 \( r \)，利用面积法：\( \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = \frac{1}{2} r \times (6+8+10) \)，解得 \( r = 2 \)。
9. 不一定。点在角的内部时，结论成立。点在角的外部或对顶角区域时，到两边直线距离相等的点在对顶角的平分线上。需要分情况讨论。
10. 角的内部到角的两边距离之比等于定值 \( k \) 的点，在这个角的“k-分角线”上。（注：“k-分角线”实际是一组射线）。

第三关：生活应用（关键点）

1. 原理：∵ \( OC=OD \)，\( PC=PD \)，\( OP=OP \)，∴ \( \triangle OPC \cong \triangle OPD \) (SSS)，∴ \( \angle COP = \angle DOP \)，即 \( OP \) 平分 \( \angle COD \)。在 \( \triangle COD \) 中，\( \angle CPD \) 是外角，∴ \( \angle CPD = \angle COP + \angle DOP = 2 \angle COP \)，又 \( \angle AOB = \angle COD = 2 \angle COP \)，故 \( \angle AOB = \angle CPD \)。
2. 圆心 \( P \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线与一条平行于 \( OA \) (或 \( OB \)) 且距离等于半径的直线的交点。因为与两边相切，所以 \( P \) 到两边的距离都等于圆的半径 \( r \)，根据判定定理，\( P \) 必在角平分线上。
3. 有 4 个。分别是 1 个内心（到三边距离相等）和 3 个旁心（到其中一边及另外两边延长线的距离相等）。
4. 设工厂为点 \( P \)。需要 \( P \) 到 \( OA \) 和 \( OB \) 的距离 \( d \ge D \)，其中 \( D \) 是满足噪声衰减要求的临界距离（通过 \( 80-20\log_{10}(D/d_0) = 50 \) 计算，\( d_0 \) 为参考距离）。工厂应建在以 \( O \) 为顶点、\( \angle AOB \) 的平分线为中心线的一个角形区域内，且该区域边界到两边距离等于 \( D \)。实际上，就是“角平分线附近”的带状区域。
5. 这条“等距线”就是角的平分线（射线）。证明：设机器人在位置 \( P \)，到墙 \( OA \)、\( OB \) 的垂直距离分别为 \( d_1 \)、\( d_2 \)。已知 \( d_1 = d_2 \)，且 \( P \) 在角的内部。根据角平分线的判定定理，点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的平分线上。因此，它必须沿着这条射线行走。