角平分线判定定理深度解析：从性质逆转到解题套路，彻底掌握几何逆向思维专项练习题库

💡 阿星精讲：判定定理 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊数学中的“逆向思维”。你看，我们都知道“角的平分线上的点到角的两边距离相等”。这就像一个善良的国王（平分线）规定：凡是我领土上（平分线上）的臣民（点），到两条国境线（角的两边）的距离必须一样远，这叫性质定理。

  现在，我们玩个“侦探游戏”：假如我们发现一个神秘的点P，它到两条国境线的距离竟然相等！那我们能判定它的身份吗？逆向。阿星：到角两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上。 这就是判定定理！它让我们通过“结果”（距离相等）反向锁定“原因”（在平分线上）。这个点P，就像角的“公平见证人”，因为它到两边一样“亲近”，所以它一定坐在了那把象征公平的“平分线”椅子上。

• 计算秘籍：
  1. 已知：点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 内部，\( PC \perp OA \) 于 \( C \)，\( PD \perp OB \) 于 \( D \)，且 \( PC = PD \)。
  2. 求证：点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的平分线上（即 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)）。
  3. 证明：连接 \( OP \)。在 \( Rt\Delta OPC \) 和 \( Rt\Delta OPD \) 中，∵ \( PC = PD \)（已知），\( OP = OP \)（公共边），∴ \( Rt\Delta OPC \cong Rt\Delta OPD \)（HL 定理）。∴ \( \angle POC = \angle POD \)（全等三角形对应角相等）。即 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)。
• 阿星口诀：性质是“线上点，等距离”，判定是“等距离，必上线”。简记：等距点在角两边，必在平分线上边。

📐 图形解析

性质定理与判定定理的图形关系对比如下：

性质定理：已知 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，\( PC \perp OA \)，\( PD \perp OB \)，则 \( PC = PD \)。

判定定理：已知 \( PC = PD \)，\( PC \perp OA \)，\( PD \perp OB \)，则 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)。

关键：判定定理的证明核心是构造两个直角三角形（\( Rt\Delta OPC \) 和 \( Rt\Delta OPD \) ），利用 \( HL \) 定理证明全等，从而得到角相等。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把“距离相等”理解为“线段相等”，而不作垂线。 → ✅ 正解：“点到直线的距离”特指“垂线段的长度”，必须首先保证 \( PC \perp OA \)，\( PD \perp OB \)，否则 \( PC \) 和 \( PD \) 不是距离，无法使用定理。
• ❌ 错误2：在证明全等时，直接使用“\( \angle OCP = \angle ODP = 90^\circ \)”、“\( PC=PD \)”、“\( OP=OP \)”就判定为 \( HL \)，忽略了直角边的对应关系。 → ✅ 正解：\( HL \) 定理要求“斜边和一条直角边”对应相等。必须明确：斜边是 \( OP \)（公共边），一对相等的直角边是 \( PC \) 和 \( PD \)。书写应为：在 \( Rt\Delta OPC \) 和 \( Rt\Delta OPD \) 中，∵ \( OP=OP \)，\( PC=PD \)，∴ \( Rt\Delta OPC \cong Rt\Delta OPD (HL) \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断题：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。（ ）
2. 如图，\( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，\( PC \perp OA \)，垂足为 \( C \)，\( PD \perp OB \)，垂足为 \( D \)，则 \( PC \) 与 \( PD \) 的大小关系是______。
3. 填空题：角平分线上的点到这个角的两边的距离______。
4. 如图，\( \angle AOB = 70^\circ \)，\( PC \perp OA \) 于 \( C \)，\( PD \perp OB \) 于 \( D \)，且 \( PC=PD \)，则 \( \angle AOP = \) ______ 度。
5. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AD \) 平分 \( \angle CAB \)，且 \( BC=8, BD=5 \)，则点 \( D \) 到 \( AB \) 的距离是______。
6. 下列命题中，逆命题是真命题的是（ ）A.对顶角相等 B.全等三角形的对应角相等 C.到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 D.如果 \( a=b \)，那么 \( |a|=|b| \)
7. 点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 内部，下列条件中不能确定 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \) 的是（ ）A. \( \angle AOP = \angle BOP \) B. \( \angle AOP + \angle BOP = \angle AOB \) C.点 \( P \) 到 \( OA、OB \) 的距离相等 D.点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的对称轴上
8. 已知 \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，点 \( C \) 在 \( OP \) 上，\( CD \perp OA \) 于 \( D \)，\( CE \perp OB \) 于 \( E \)。若 \( CD=3 \)，则 \( CE=\) ______。
9. 如图，直线 \( l_1、l_2、l_3 \) 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有______处。
10. 用尺规作一个角的平分线，其理论依据是______。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，以顶点 \( A \) 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 \( AC、AB \) 于点 \( M、N \)，再分别以 \( M、N \) 为圆心，大于 \( \frac{1}{2}MN \) 的长为半径画弧，两弧交于点 \( P \)，作射线 \( AP \) 交 \( BC \) 于点 \( D \)。若 \( CD=2 \)，\( AB=7 \)，则 \( \triangle ABD \) 的面积是______。
2. 如图，\( \triangle ABC \) 的外角 \( \angle DAC \) 的平分线交 \( BC \) 边的延长线于点 \( E \)，且 \( AB=6, AC=5, BC=4 \)，则 \( CE \) 的长为______。
3. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC \) 和 \( \angle ACB \) 的平分线交于点 \( I \)。若 \( I \) 到 \( BC \) 的距离为 \( 3 \)，\( \triangle ABC \) 的周长为 \( 18 \)，则 \( \triangle ABC \) 的面积为______。
4. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle BAC=90^\circ \)，\( AB=AC \)，\( BD \) 平分 \( \angle ABC \) 交 \( AC \) 于 \( D \)，\( CE \perp BD \) 交其延长线于 \( E \)。求证：\( BD=2CE \)。
5. 已知：如图，\( \angle B=\angle C=90^\circ \)，\( E \) 是 \( BC \) 中点，\( DE \) 平分 \( \angle ADC \)。求证：\( AE \) 平分 \( \angle DAB \)。（提示：过 \( E \) 作 \( EF \perp AD \)）
6. 在平面直角坐标系中，点 \( A(2, 2)、B(6, 2)、C(4, 4) \)。点 \( P \) 为 \( x \) 轴上一动点，当 \( P \) 到 \( A、B \) 两点的距离相等，且到直线 \( AB \) 和 \( AC \) 的距离也相等时，求点 \( P \) 的坐标。
7. 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle B=90^\circ \)，\( AB//CD \)，\( M \) 是 \( BC \) 中点，\( AM \) 平分 \( \angle BAD \)。求证：\( DM \) 平分 \( \angle ADC \)。
8. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 既是 \( \angle BAC \) 的平分线，又是 \( BC \) 边上的中线。求证：\( \triangle ABC \) 是等腰三角形。
9. 如图，\( OP \) 平分 \( \angle AOB \)，\( \angle AOP=15^\circ \)，\( PC//OA \)，\( PD \perp OA \) 于点 \( D \)，\( PC=4 \)，则 \( PD=\) ______。
10. 阅读理解：“角平分线定理”：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，则 \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)。请利用角平分线的性质和判定定理，结合三角形面积公式，证明这个定理。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量应用）为了测量一个不规则湖泊的宽度 \( AB \)（如图，\( A、B \) 两点在陆地上可到达），测量员在岸边选择一点 \( O \)，使得 \( OA \perp OB \)，并准确测量了 \( OA \) 和 \( OB \) 的长度。他又在 \( \angle AOB \) 内部找了一点 \( P \)，使得 \( P \) 到 \( OA \) 和 \( OB \) 的距离相等，并测量了 \( OP \) 的长度。他能据此算出 \( AB \) 的长度吗？如果能，请说明原理并写出公式。
2. （选址问题）某社区计划在三条街道围成的一个三角形区域中心修建一个公园，要求公园到三条街道的距离都相等。这个公园应该修在何处？请描述确定位置的方法。
3. （光学原理）光的反射定律中，入射角等于反射角。证明：一束光线从点 \( A \) 射出，经过平面镜 \( MN \) 上一点 \( O \) 反射后经过点 \( B \)，则光路 \( A-O-B \) 是最短路径。提示：作 \( A \) 关于 \( MN \) 的对称点 \( A' \)，连接 \( A'B \) 交 \( MN \) 于 \( O \)，证明 \( AO、OB \) 满足反射定律，并说明 \( O \) 点使得 \( AO+OB \) 最短。这与角平分线有何关联？
4. （工程制图）工人师傅需要在一块三角形钢板上切割出一个最大的圆形零件，这个圆应该与三角形的三边都相切。这个圆的圆心如何确定？请用角平分线的知识解释。
5. （导航与定位）在古代航海或野外定位中，有时可以通过测量自己到两个已知地标（如灯塔A、B）的视角来判断自己的位置。如果保持视角 \( \angle APB \) 为定值，那么点 \( P \) 的轨迹是什么？如果进一步知道 \( P \) 到直线 \( AB \) 的距离，能否唯一确定 \( P \) 的位置？谈谈这与角平分线思想的联系。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. ✅ 对。
2. \( PC = PD \)。
3. 相等。
4. \( 35^\circ \)。解析：∵ \( PC=PD \) 且 \( PC \perp OA, PD \perp OB \)，∴ \( OP \) 平分 \( \angle AOB \)（判定定理）。∴ \( \angle AOP = \frac{1}{2} \angle AOB = 35^\circ \)。
5. \( 3 \)。解析：作 \( DE \perp AB \) 于 \( E \)。∵ \( AD \) 平分 \( \angle CAB \)，\( \angle C=90^\circ \)，∴ \( DC=DE \)（性质定理）。∵ \( BC=8, BD=5 \)，∴ \( DC=BC-BD=3 \)。∴ \( DE=3 \)。
6. C。解析：A的逆命题“相等的角是对顶角”假；B的逆命题“对应角相等的三角形全等”假；C的逆命题“角平分线上的点到角两边距离相等”真；D的逆命题“如果 \( |a|=|b| \)，那么 \( a=b \)”假。
7. B。解析：B只能说明 \( OP \) 在角内部，不能说明平分。
8. \( 3 \)。解析：角平分线性质定理。
9. \( 4 \)。解析：三角形内角平分线的交点（内心）1个，外角平分线的交点（旁心）3个，共4个。
10. SSS公理（或“到角两边距离相等的点在角的平分线上”）。解析：尺规作图通过构造全等三角形得到角相等。

第二关与第三关解析将单独提供。