角平分线与三角形内心全解析：性质、定理、易错题及中考应用专项练习题库

💡 阿星精讲：角平分线 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，一个角就像一个吵架的两兄弟（两条射线），谁也不服谁。这时，需要一位绝对公平的裁判（角平分线）站出来，它从角的顶点出发，不偏不倚地走到中间，把角这个“大蛋糕”完美地分成两个一模一样的小蛋糕。更神奇的是，在一个三角形家庭里，三个角都有自己的公平裁判（三条角平分线）。你猜怎么着？这三位裁判总会在一个点上相遇，这个点就是三角形的“内心”。为什么叫内心？因为它就像是这个三角形家族的“圆心”，它到三边的距离完全相等，像一个圆规的中心点一样，能画出一个紧紧贴在三角形内部的圆（内切圆）。所以，内心是公平的终极体现：到三边，等距离。
• 计算秘籍：角平分线不只是画线，它有着强大的比例性质！在 \(\triangle ABC\) 中，若 \(AD\) 平分 \(\angle BAC\)，交 \(BC\) 于点 \(D\)，则有：\(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)。这个定理是解决很多比例问题的钥匙。
• 阿星口诀：角平分线，分角成等半；三线交内心，等距是关键。

📐 图形解析

下图展示了单条角平分线与三角形内心的关系：

角平分线 \(AD\) 将 \(\angle BAC\) 分成两个相等的角，即 \(\angle BAD = \angle CAD\)。

下图展示三条角平分线交于一点——内心 \(I\)：

三条角平分线 \(AD\)、\(BE\)、\(CF\) 交于一点 \(I\)。点 \(I\) 到三边 \(AB\)、\(BC\)、\(CA\) 的距离相等（图中以一条虚线示意），因此 \(I\) 是内切圆的圆心。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“角平分线上的点到角的两边任意点距离相等”。 → ✅ 正解：角平分线上的点到角的两边的垂线段距离相等。距离必须是垂直距离，不是任意连线。
• ❌ 错误2：在证明题中，看到“到两边距离相等的点”就直接说“它在角平分线上”，却忽略了这个点必须在角的内部。 → ✅ 正解：完整的定理是：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。点在外部时不成立。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. \(\angle AOB = 80^\circ\)，\(OC\) 是它的角平分线，那么 \(\angle AOC =\) ______度。
2. 判断题：三角形中，角平分线也是一条中线。 （ ）
3. 如图，\(AP\) 平分 \(\angle BAC\)，\(PB \perp AB\)，\(PC \perp AC\)，若 \(PB=3\)，则 \(PC=\) ______。
   
4. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A = 90^\circ\)，\(\angle B = 30^\circ\)，\(BD\) 平分 \(\angle B\) 交 \(AC\) 于 \(D\)，则 \(\angle BDC =\) ______度。
5. 角平分线上的点到这个角的两边距离______。
6. 三角形三条角平分线的交点叫做______，它到______的距离相等。
7. 若点 \(P\) 在 \(\angle MON\) 内部，且 \(PA \perp OM\) 于 \(A\)，\(PB \perp ON\) 于 \(B\)，且 \(PA=PB\)，则射线 \(OP\) 是______。
8. 已知 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\) 交 \(BC\) 于 \(D\)，则 \(AD\) 与 \(BC\) 的位置关系是______。
9. \(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 是角平分线，\(\angle B=50^\circ\)，\(\angle ADC=80^\circ\)，则 \(\angle C=\) ______度。
10. 画一个钝角三角形，并画出它所有的角平分线（尺规作图，保留痕迹）。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 是角平分线，\(DE \parallel AB\) 交 \(AC\) 于 \(E\)。若 \(AB=10\)，\(AC=8\)，则 \(EC\) 的长为______。
2. \(\triangle ABC\) 中，\(AB=6\)，\(BC=5\)，\(AC=4\)，\(AD\) 平分 \(\angle BAC\) 交 \(BC\) 于 \(D\)，则 \(\triangle ABD\) 与 \(\triangle ADC\) 的面积比为______。
3. 已知 \(I\) 是 \(\triangle ABC\) 的内心，\(\angle BIC = 130^\circ\)，则 \(\angle A =\) ______度。
4. 求证：三角形两个外角的平分线和第三个内角的平分线交于一点（旁心）。
5. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AD\)、\(BE\) 是角平分线，交于点 \(O\)。若 \(\angle AOB = 120^\circ\)，求 \(\angle C\) 的度数。
6. （综合题）\(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle A=100^\circ\)，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\) 交 \(AC\) 于 \(D\)。求证：\(AD+BD=BC\)。
7. 利用角平分线性质定理，证明：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
8. 已知直角三角形 \(ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，求其内心到斜边 \(AB\) 的距离。
9. \(\triangle ABC\) 的三边长 \(a, b, c\) 满足 \(b+c=2a\)，\(AD\) 是角平分线。求 \(BD:DC\) 的值（用 \(a, b, c\) 表示）。
10. 在四边形 \(ABCD\) 中，\(BE\) 平分 \(\angle ABC\)，\(DF\) 平分 \(\angle ADC\)，且 \(BE \parallel DF\)。探究 \(AB\) 与 \(CD\)、\(AD\) 与 \(BC\) 的位置关系。

第三关：生活应用（5道）

1. 木工师傅：有一块三角形的木板（\(\triangle ABC\)），想在其中挖出一个最大的圆形垫片（与三边都相切）。请你告诉他这个圆的圆心（内心）应该如何定位？
2. 土地划分：一块形状为 \(\triangle ABC\) 的土地，要在其中打一口井（点 \(P\)），使得井到三条边界的距离都相等，以便灌溉。这个点 \(P\) 应该选在何处？
3. 光学反射：一束光线从空气射向一面平面镜，入射角为 \(40^\circ\)。根据“入射角等于反射角”的定律，请说明法线（垂直于镜面的线）其实就是入射光线与反射光线夹角的______线。
4. 机械加工：一个 \(120^\circ\) 的 V 型槽铁用来固定圆柱形工件。为了确保工件中心位置准确，需要找到 V 型槽的角平分线。请简述一种利用角平分线性质在实物上画出这条线的方法。
5. 城市规划：三条道路两两相交形成一个三角形街区。现计划在这个街区中心修建一个圆形花坛，要求花坛边缘与三条道路的直线距离都相等。这个圆形花坛的圆心如何确定？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关： 1. \(40\) 2. 错（只有等腰三角形底角的平分线才是中线） 3. \(3\)（角平分线性质） 4. \(75\) 5. 相等 6. 内心，三边 7. \(\angle MON\) 的平分线 8. \(AD \perp BC\)（三线合一） 9. \(30\)（由外角可求 \(\angle BAD=30^\circ\)，平分得 \(\angle BAC=60^\circ\)，故 \(\angle C=70^\circ\)？解析：\(\angle ADC = \angle B + \angle BAD\) ⇒ \(80^\circ = 50^\circ + \angle BAD\) ⇒ \(\angle BAD=30^\circ\)，则 \(\angle BAC=60^\circ\)，\(\angle C=180^\circ-50^\circ-60^\circ=70^\circ\)。本题答案 \(70^\circ\)）10. 略

第二关： 1. \(\frac{40}{9}\)（由 \(DE \parallel AB\) 和角平分线得 \(AE=DE\)，设 \(EC=x\)，则 \(AE=8-x\)，由相似 \(\frac{8-x}{x}=\frac{10}{8}\) 解得 \(x=\frac{32}{9}\)，注意 \(EC\) 是 \(x\)，题目问 \(EC\)，答案应为 \(\frac{32}{9}\)？解析：需仔细计算。\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}\)，又 \(DE \parallel AB\)，则 \(\frac{EC}{AC}=\frac{DC}{BC}\)。设 \(DC=4k, BD=5k\)，则 \(BC=9k\)。\(\frac{EC}{8}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}\)，所以 \(EC=8\times\frac{4}{9}=\frac{32}{9}\)。） 2. \(3:2\)（面积比等于 \(AB:AC\)，因为高相同） 3. \(80\)（\(\angle BIC = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle A\)） 4. 证明略（利用到两外角两边距离相等） 5. \(\angle C = 60^\circ\)（\(\angle AOB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle C\)） 6. 证明略（在 \(BC\) 上截取 \(BE=BD\)，连接 \(DE\)，证明 \(\triangle ABD \cong \triangle EBD\)，再证 \(EC=ED=AD\)） 7. 证明略（过 \(C\) 作 \(CE \parallel AD\) 交 \(BA\) 延长线于 \(E\)，利用相似） 8. \(2\)（面积法：\(S=\frac{1}{2}\times6\times8=24\)，周长=24，\(r=2S/C=48/24=2\)） 9. \(BD:DC = c:b\)（角平分线定理） 10. \(AB \parallel CD\)， \(AD\) 与 \(BC\) 关系需具体分析（由角平分和平行可得同旁内角互补，从而另一组对边也可能平行或等，需分类讨论）。

第三关： 1. 作任意两个内角的角平分线，它们的交点即为圆心。 2. 选在三角形三条角平分线的交点（内心）上。 3. 角平分。 4. 在角的两边上量取相同长度的点，作这两点连线的中垂线，该中垂线即为角平分线（利用“到角两边距离相等的点在角平分线上”的逆定理）。 5. 作三角形街区（三条道路围成）的任意两条内角的角平分线，其交点即为圆心。