角平分线性质定理全解析：原理、例题与中考真题突破专项练习题库

💡 阿星精讲：性质定理 原理

• 核心概念：嘿，同学！想象一下，角平分线就像一个绝对公平的裁判。它把一个大角分成两个完全相等的小角。那么，这个裁判有一个铁律：任何一个站在它（角平分线）上的点，到角的两条边（比赛双方）的距离必须绝对相等！ 这就是阿星说的：“角平分线上的点到角两边的距离相等。不用再证全等了，直接用。” 记住，一旦你看到一个点在角平分线上，它到两边的那两条垂线段（距离）天然就是相等的。这不再是需要你辛苦证明的“结论”，而是可以直接拿来用的“武器”！
• 计算秘籍：
  1. 识别条件：题目中出现“点在角平分线上”或“\( OP \) 平分 \(\angle AOB\)”。
  2. 作垂线：由该点 \( P \) 向角的两边 \( OA, OB \) 作垂线，垂足为 \( M, N \)。
  3. 直接应用：立刻得到关键等式：\( PM = PN \)。这个过程可以跳过证明 \( \triangle OPM \cong \triangle OPN \) 的全等步骤。
  4. 构建方程：将 \( PM = PN \) 代入几何关系或坐标中，建立方程求解。
• 阿星口诀：角平分线是裁判，站上线，就公平；到两边，等距离，直接拿来就能行！

📐 图形解析

定理的几何表达：若 \( OP \) 平分 \(\angle AOB\)，\( PM \perp OA \) 于 \( M \)，\( PN \perp OB \) 于 \( N \)，则 \( PM = PN \)。

如上图所示，\( OP \) 是 \(\angle AOB\) 的平分线。点 \( P \) 在 \( OP \) 上，\( PM \perp OA \)，\( PN \perp OB \)。根据性质定理，无需证明，可直接得：红色线段 \( PM = PN = d \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“到一个角两边距离相等的点”一定在角平分线上。
  ✅ 正解：“点在角平分线上”是“点到角两边距离相等”的充分不必要条件。定理只说“在角平分线上 ⇒ 距离相等”，但距离相等的点可能在这个角的平分线或其外角平分线上。使用时务必看清谁是已知条件。
• ❌ 错误2：应用定理时，忽略了“距离”的定义，没有作垂线。
  ✅ 正解：“距离”特指垂直距离。如果题目只给了斜线段，不能直接认为相等。必须构造或证明该线段是“点到直线的垂线段”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 如图，\( OC \) 平分 \(\angle AOB\)，点 \( P \) 在 \( OC \) 上，\( PD \perp OA \) 于 \( D \)，\( PE \perp OB \) 于 \( E \)。若 \( PD = 5 \)，则 \( PE = \) ______。
2. \(\triangle ABC\) 中，\( AD \) 平分 \(\angle BAC\)，\( \angle B = 70^{\circ} \)，\( \angle C = 30^{\circ} \)，则 \(\angle ADB = \) ______。
3. 点 \( P \) 在 \(\angle AOB\) 的平分线上，且 \( OP = 10 \)。点 \( P \) 到 \( OA \) 的距离是 6，则点 \( P \) 到 \( OB \) 的距离是 ______。
4. 判断题：角平分线上的点到角两边的线段长度相等。 （ ）
5. 如图，\( AP \) 平分 \(\angle BAC\)，\( PB \perp AB \)，\( PC \perp AC \)，垂足分别为 \( B, C \)。下列结论错误的是（ ） A. \( PB = PC \) B. \( PA = PB \) C. \( \angle APB = \angle APC \) D. \( AB = AC \)
6. 已知 \( AD \) 是 \(\triangle ABC\) 的角平分线，\( DE \perp AB \) 于 \( E \)，\( S_{\triangle ABC} = 24 \)，\( AB = 8 \)，\( AC = 4 \)，则 \( DE = \) ______。
7. 在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C = 90^{\circ} \)，\( AD \) 平分 \(\angle CAB\)，\( CD = 2 \)，\( BD = 3 \)，则点 \( D \) 到 \( AB \) 的距离是 ______。
8. 如图，三条公路两两相交，现要修建一个加油站，使其到三条公路的距离相等，则加油站可选的位置共有 ______ 个。
9. 已知点 \( O \) 是 \(\triangle ABC\) 内一点，且点 \( O \) 到三边 \( AB, BC, CA \) 的距离相等，则点 \( O \) 是 \(\triangle ABC\) ______ 的交点。
10. 用尺规作图：作一个已知角 \(\angle AOB\) 的平分线。（不写作法，保留作图痕迹）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\( \angle ABC = 90^{\circ} \)，\( BD \) 平分 \(\angle ABC\) 交 \( AC \) 于点 \( D \)，过点 \( D \) 作 \( DE \perp BC \) 于 \( E \)。若 \( AB = 6 \)，\( BC = 8 \)，求 \( DE \) 的长。
2. （中考真题）如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\( \angle C = 90^{\circ} \)，以顶点 \( A \) 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 \( AC, AB \) 于点 \( M, N \)，再分别以 \( M, N \) 为圆心，大于 \(\frac{1}{2} MN\) 的长为半径画弧，两弧交于点 \( P \)，作射线 \( AP \) 交边 \( BC \) 于点 \( D \)。若 \( CD = 4 \)，\( AB = 15 \)，则 \(\triangle ABD\) 的面积是 ______。
3. （综合）在 \(\triangle ABC\) 中，\( AD \) 是 \(\angle BAC\) 的平分线，\( \angle B = 2\angle C \)。求证：\( AB + BD = AC \)。
4. （坐标几何）如图，在平面直角坐标系中，点 \( A(0, 3) \)，\( B(4, 0) \)，\(\angle BAO\) 的平分线交 \( y \) 轴于点 \( C \)，求点 \( C \) 的坐标。
5. （最值问题）如图，\(\angle MON = 60^{\circ}\)，点 \( A \) 是 \( OM \) 上一定点，\( OA = 4 \)，点 \( P \) 在 \( ON \) 上运动。求当 \( AP \) 平分 \(\angle OAM\) 时，点 \( P \) 到 \( OA \) 的距离。
6. （网格作图）如图，在 \( 5 \times 5 \) 的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点。请用无刻度的直尺，借助网格，完成以下作图：作 \(\angle AOB\) 的平分线。（保留作图痕迹）
7. （翻折与角平分线）将矩形 \( ABCD \) 沿 \( BD \) 折叠，使点 \( C \) 落在点 \( C' \) 处，\( BC' \) 交 \( AD \) 于 \( E \)。求证：\( BE \) 平分 \(\angle ABD\)。
8. （圆的背景）如图，\( AB \) 是 \( \odot O \) 的直径，点 \( C \) 在 \( \odot O \) 上，\( AD \) 平分 \(\angle CAB\) 交 \( BC \) 于点 \( D \)，过点 \( D \) 作 \( DE \perp AC \) 于 \( E \)。求证：\( DE \) 是 \( \odot O \) 的切线。
9. （阅读理解）我们定义：到三角形两边距离相等的点，叫做此三角形的“雅点”。例如，角平分线上的点就是“雅点”。请探究：一个三角形有多少个“雅点”？并说明理由。
10. （探究规律）如图，\( \triangle A_1B_1C_1 \) 的角平分线交于点 \( O_1 \)，过 \( O_1 \) 作 \( B_1C_1 \) 的平行线交 \( A_1B_1 \)、\( A_1C_1 \) 于 \( B_2, C_2 \)，形成 \( \triangle A_2B_2C_2 \)，其角平分线交于点 \( O_2 \)，如此无限继续……若 \( \triangle A_1B_1C_1 \) 的面积为 \( S \)，求所有三角形 \( \triangle A_nB_nC_n \) 的面积之和。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量问题）小明想测量一个池塘两岸相对两点 \( A, B \) 的距离（无法直接测量）。他在池塘边找到一点 \( C \)，连接 \( AC, BC \)，并作出 \(\angle ACB\) 的平分线 \( CD \)。在 \( CD \) 上找一点 \( P \)，使得从 \( P \) 看 \( A, B \) 的视角（即 \(\angle APB\)）是直角。测得 \( PC = 30 \) 米。你能帮小明算出 \( AB \) 的距离吗？请说明原理。
2. （选址问题）某开发区计划在三条主干道围成的三角形区域内修建一个大型公园。为了公平，要求公园入口到三条主干道的距离都相等。请你用尺规作图的方法，在规划图上确定这个入口的可能位置。
3. （光学反射）根据光的反射定律，入射角等于反射角。如图所示，一束光线从点 \( A \) 射出，经过 \( x \) 轴上的点 \( P \) 反射后，通过点 \( B(6, 2) \)。已知 \( A(0, 4) \)。根据“角平分线上的点到角两边距离相等”的原理，求点 \( P \) 的坐标。
4. （结构力学）在一个简易的三角形屋架 \( ABC \) 中，\( AB = AC \)，\( AD \) 是支撑杆，同时也是 \(\angle BAC\) 的平分线。已知屋架跨度 \( BC = 10 \) 米，屋顶高度（从 \( A \) 到 \( BC \) 的垂直距离）为 3 米。求支撑杆 \( AD \) 的长度。
5. （路径规划）如图，\( OM, ON \) 是两条相交的公路，\(\angle MON = 45^{\circ}\)。在 \( OM \) 上距点 \( O \) 5km 处有一加油站 \( A \)，在 \( ON \) 上距点 \( O \) 10km 处有一仓库 \( B \)。现计划在 \(\angle MON\) 内部修建一条笔直的物流通道连接 \( A \) 和 \( B \)。为了节约成本，希望通道上某点 \( P \) 到两条公路的距离相等，作为临时停车点。请你求出这个点 \( P \) 的位置（即求出 \( AP \) 与 \( PB \) 的长度之比）。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 5 \)（直接应用定理）。
2. \( 110^{\circ} \)（\( \angle BAC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ} \)，\( \angle BAD = 40^{\circ} \)，\( \angle ADB = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 40^{\circ} = 70^{\circ} \)？仔细算：\( \angle ADB = \angle DAC + \angle C = 40^{\circ} + 30^{\circ} = 70^{\circ} \) 实际上是外角，内角 \( \angle ADB = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \)）。
3. \( 6 \)（直接应用定理）。
4. 错误（必须是“垂线段”长度）。
5. B（只有 \( PB=PC \) 一定成立，\( PA=PB \) 不一定）。
6. \( 4 \)（\( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \times AB \times DE + \frac{1}{2} \times AC \times DE = \frac{1}{2} \times (8+4) \times DE = 6DE = 24 \)，∴ \( DE=4 \)）。
7. \( 2 \)（直接应用定理）。
8. \( 4 \)（三角形内角平分线交点1个，外角平分线交点3个）。
9. 内心（三条角平分线的交点）。
10. （略，尺规作图基本步骤）。

（第二关、第三关的详细解析因篇幅所限，此处从略，但可按上述模式进行详细解答。）