角平分线的性质定理与逆定理 全解：从原理到中考压轴题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：角平分线的性质 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊角平分线的“神结论”。想象一下，你是一个站在角平分线上的“公平裁判”，你的任务是保证自己到角的两条边“距离完全相等”。这可不是目测，而是有铁证的！从你（点）出发，向两边作垂直的“测量线”（垂线段），这两条“测量线”的长度一定会相等。为什么？因为你可以通过构造两个直角三角形，证明它们全等（AAS或HL），从而得出这个“神结论”：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。记住，这个“距离”一定是垂直距离哦！
• 计算秘籍：当已知角平分线和点到一边的距离时，可以直接得到点到另一边的距离。反之，如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点一定在这个角的平分线上。这是证明点在角平分线上的关键判据。数学表达为：若 \( OC \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线，\( P \) 是 \( OC \) 上一点，且 \( PD \perp OA \)，\( PE \perp OB \)，则 \( PD = PE \)。
• 阿星口诀：角平分线是裁判，两边距离它来断。作下垂直得等长，全等证明是铁案。

📐 图形解析

让我们通过图形直观感受“公平裁判”的威力：

如图，\( OC \) 是 \( \angle AOB \) 的角平分线，点 \( P \) 在 \( OC \) 上。\( PD \perp OA \)，\( PE \perp OB \)，则根据角平分线性质，必有 \( PD = PE \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“角平分线上的点到角两边的线段相等”。
  ✅ 正解：必须是“点到边的距离”相等，即“垂线段”的长度相等。随意连接点与边上任意点得到的线段不一定相等。
• ❌ 错误2：用“边边角(SSA)”去证明两个直角三角形全等，从而得到距离相等。
  ✅ 正解：证明这两个直角三角形全等的正确条件是：① 两个直角（对应相等）；② 公共斜边 \( OP \)（斜边相等）；③ 平分角得到的两个小角 \( \angle POD = \angle POE \)（锐角相等）。这属于“斜边、锐角(HL)”或“角角边(AAS)”的全等判定。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知 \( OC \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线，点 \( P \) 在 \( OC \) 上，\( PD \perp OA \)，垂足为 \( D \)。若 \( PD=5 \)，则点 \( P \) 到 \( OB \) 的距离是 \_\_\_\_。
2. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，交 \( BC \) 于点 \( D \)。若 \( CD=3 \)，\( AB=10 \)，则 \( \triangle ABD \) 的面积是 \_\_\_\_。
   
3. 判断题：角平分线上的点到角两边的垂线段长度相等。（ ）
4. 到 \( \angle AOB \) 两边距离相等的点，一定在 \_\_\_\_ 上。
5. 如图，\( OP \) 平分 \( \angle MON \)，\( PA \perp OM \)，\( PB \perp ON \)，垂足分别为 \( A, B \)。若 \( \angle MON = 60^{\circ} \)，\( OP=8 \)，则 \( PB = \) \_\_\_\_。
6. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( \angle A=30^{\circ} \)，\( \angle A \) 的平分线交 \( BC \) 于 \( D \)。若 \( BD=4 \)，则 \( CD = \) \_\_\_\_。
7. 用尺规作图作一个角的平分线，其依据是（ ）。
   1. SAS
   2. ASA
   3. AAS
   4. SSS
8. 点 \( P \) 在 \( \angle ABC \) 内部，且到边 \( BA \) 和 \( BC \) 的距离相等。连接 \( BP \)，则 \( BP \) 是 \_\_\_\_。
9. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AC=BC \)，\( AD \) 平分 \( \angle CAB \) 交 \( BC \) 于 \( D \)，\( DE \perp AB \) 于 \( E \)。若 \( AB=10\text{cm} \)，则 \( \triangle DEB \) 的周长为 \_\_\_\_ cm。
10. 如图，三条公路两两相交，现要修建一个加油站，使其到三条公路的距离都相等。这个加油站应建在（ ）。
    1. 三条高线的交点
    2. 三条中线的交点
    3. 三条角平分线的交点
    4. 三边垂直平分线的交点

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A=90^{\circ} \)，\( AB=AC \)，\( BD \) 平分 \( \angle ABC \)，交 \( AC \) 于点 \( D \)，\( DE \perp BC \) 于点 \( E \)。若 \( BC=10\text{cm} \)，则 \( \triangle DEC \) 的周长是 \_\_\_\_ cm。
2. （中考真题）如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AD \) 平分 \( \angle CAB \)，\( DE \perp AB \) 于点 \( E \)。若 \( AC=6 \)，\( BC=8 \)，\( AB=10 \)，则 \( DE = \) \_\_\_\_。
3. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分线交于点 \( P \)，过 \( P \) 作 \( DE \parallel BC \) 交 \( AB \)、\( AC \) 于 \( D \)、\( E \)。若 \( AB=8 \)，\( AC=6 \)，则 \( \triangle ADE \) 的周长是 \_\_\_\_。
4. 求证：三角形两个外角的平分线和第三个内角的平分线相交于一点。
5. （动点问题）如图，在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=4 \)，\( BC=8 \)，点 \( P \) 是 \( BC \) 边上的一个动点。若 \( \angle APD \) 的角平分线交 \( AD \) 于点 \( Q \)，则 \( AQ \) 的最大值为 \_\_\_\_。
6. 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 是 \( \angle BAC \) 的平分线，\( O \) 是 \( AD \) 上一点，\( OE \perp AB \)，\( OF \perp AC \)。若 \( AB:AC=3:2 \)，\( \triangle ABC \) 的面积为 \( 25 \)，则四边形 \( AEDF \) 的面积为 \_\_\_\_。
7. （综合探究）已知点 \( P \) 是 \( \angle MON \) 内一点，\( PA \perp OM \)，\( PB \perp ON \)，垂足分别为 \( A, B \)，且 \( PA=PB \)。点 \( C \) 在 \( OM \) 上，点 \( D \) 在 \( ON \) 上，若 \( \angle OPC = \angle OPD \)，求证：\( OC = OD \)。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle A=60^{\circ} \)，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分线交于点 \( I \)。若 \( BI=4 \)，\( CI=3 \)，则 \( BC = \) \_\_\_\_。（提示：构造相似）
9. 如图，\( \triangle ABC \) 中，\( AB > AC \)，\( AD \) 是角平分线，\( P \) 是 \( AD \) 上任意一点。求证：\( AB - AC > PB - PC \)。
10. （最值问题）如图，\( \angle AOB=30^{\circ} \)，\( OC \) 是角平分线，点 \( P \)、\( Q \) 分别在 \( OA \)、\( OB \) 上运动，且 \( OP+OQ=10 \)。求四边形 \( PCQO \) 面积的最小值。

第三关：生活应用（5道）

1. 【测量应用】小明想测量一个不规则湖泊（大致呈 \( \angle AOB \) 形）最宽处的宽度。他站在角平分线上一点 \( P \)，分别向两岸作垂线，测得 \( PA = 120 \) 米，\( PB = 120 \) 米。他能断定这个湖泊在此处宽 \( 240 \) 米吗？为什么？如果不能，还需要什么条件？
2. 【建筑规划】一个扇形广场的中心角为 \( 90^{\circ} \)。为方便游客，管理部门想在广场上修建一个公共卫生间，要求它到两条边界道路（即扇形的两条半径）的距离相等，且到圆弧形边界的距离也等于这个值。请用尺规作图标出这个卫生间可能的位置（只需作图，不写作法）。
3. 【工程定位】如图，三条输油管道 \( OA \)、\( OB \)、\( OC \) 两两夹角均为 \( 120^{\circ} \)。为了监控管道安全，需要建立一个监测站 \( P \)，要求 \( P \) 到三条管道的距离都相等。请描述点 \( P \) 的位置特征，并说明理由。
4. 【体育场设计】一个标准足球场的罚球区（禁区）是由球门线、两条禁区线和球门区围成的矩形。国际足联规定，罚点球时，除守门员和罚球队员外，其他队员必须站在罚球区外，且距离罚球点至少 \( 9.15 \) 米。请利用角平分线的知识，在禁区线上标出其他队员可以站立的最近点（假设罚球点在球门正中央）。
5. 【农业灌溉】一块直角三角形的农田 \( \triangle ABC \)（\( \angle C=90^{\circ} \)），农民想在田里打一口井（点 \( P \)），使得从井口到三条田埂（三角形的三边）修水渠的总长度最短。请问这口井应该打在什么位置？请用数学知识解释。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 5 \)。直接应用性质。
2. \( 15 \)。解析：过 \( D \) 作 \( DE \perp AB \) 于 \( E \)。由角平分线性质，\( DE = DC = 3 \)。\( S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times DE = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15 \)。
3. √。
4. \( \angle AOB \) 的平分线。
5. \( 4 \)。解析：\( \angle MON = 60^{\circ} \)，\( OP \) 平分，得 \( \angle BOP = 30^{\circ} \)。在 \( \text{Rt}\triangle OBP \) 中，\( PB = \frac{1}{2} OP = 4 \)。
6. \( 2 \)。解析：由 \( \angle A=30^{\circ} \)，\( \angle C=90^{\circ} \)，得 \( \angle B=60^{\circ} \)。\( AD \) 平分 \( \angle A \)，则 \( \angle CAD = \angle BAD = 15^{\circ} \)。可证 \( \triangle ABD \) 中 \( \angle BAD = \angle B = 60^{\circ} \)? 需重新计算。更简单：过 \( D \) 作 \( DE \perp AB \)，则 \( DE = DC \)。在 \( \text{Rt}\triangle ABC \) 中，\( BC = \frac{1}{2} AB \) (30°对边)? 不对，设 \( AC = x \)，则 \( AB=2x \)，\( BC=\sqrt{3}x \)。由角平分线性质，\( \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{DB} \)，即 \( \frac{x}{2x}=\frac{CD}{4} \)，得 \( CD=2 \)。
7. D（SSS，圆规画弧保证了两条边相等）。
8. \( \angle ABC \) 的平分线。应用逆定理。
9. \( 10\text{cm} \)。解析：易证 \( \triangle ACD \cong \triangle AED \)，\( AC=AE \)，\( CD=ED \)。\( \triangle DEB \) 周长 = \( DE+EB+BD = CD+EB+BD = BC+EB = AC+EB = AE+EB = AB = 10 \text{cm} \)。
10. C。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. \( 10\text{cm} \)。解析：由角平分线性质，\( DA=DE \)，\( AB=EB \)。\( \triangle DEC \) 周长 = \( DC+DE+EC = DC+DA+EC = AC+EC = BC+EC = BE+EC = BC = 10 \)。
2. \( 3 \)。解析：利用面积法。\( S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC} + S_{\triangle ADB} = \frac{1}{2}AC\cdot CD + \frac{1}{2}AB\cdot DE \)。由角平分线性质 \( CD=DE \)，设 \( CD=DE=x \)。则 \( \frac{1}{2}\times6\times8 = \frac{1}{2}\times6\times x + \frac{1}{2}\times10\times x \)，解得 \( x=3 \)。
3. \( 14 \)。解析：由 \( BP \) 平分 \( \angle B \) 且 \( DE \parallel BC \)，得 \( \angle DBP = \angle PBC = \angle DPB \)，所以 \( DB=DP \)。同理 \( EC=EP \)。\( \triangle ADE \) 周长 = \( AD+DP+PE+AE = AD+DB+EC+AE = AB+AC = 14 \)。

第三关：生活应用（思路点拨）

1. 不能。\( PA=PB \) 只能说明点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 的平分线上，但 \( A \)、\( B \) 只是垂足，线段 \( PA \)、\( PB \) 并不是湖面的宽度。要测量湖宽，需要知道 \( OA \) 和 \( OB \) 的长度或其它条件。
2. 作图：①作 \( \angle AOB=90^{\circ} \) 的平分线 \( OC \)；②在 \( OC \) 上取一点 \( P \)，使得 \( P \) 到 \( OA \)（或 \( OB \)）的距离等于 \( P \) 到圆弧 \( AB \) 的距离。实际上，这个点是扇形内切圆的圆心。
3. 点 \( P \) 是 \( \triangle OAB \)（或任意两条管道夹角）的角平分线交点。因为到两条相交直线距离相等的点在角平分线上，同时满足到三条管道等距，则点 \( P \) 是三个角平分线的公共点，即三角形内心。