角平分线定义性质全解析：从基础概念到中考压轴题应用专项练习题库

💡 阿星精讲：角平分线 原理

• 核心概念：想象一个角是一块美味的蛋糕。角平分线，就是那位最公正的裁判，它从角的顶点出发，画出一条精准的“切割线”，把这块“角蛋糕”完美平分成大小、形状完全相同的两块。阿星说：一条射线把角一分为二，左右两边一般大。这条神奇的射线，就是角平分线。它保证被分成的两个小角，度数完全相等，不多不少，绝对公平。
• 计算秘籍：要找到一个角的平分线，关键是“平分”二字。
  1. 首先，明确你要平分的这个角的大小，比如是 \( \angle AOB = 80^{\circ} \)。
  2. 然后，将原角的度数除以 2：\( 80^{\circ} \div 2 = 40^{\circ} \)。
  3. 最后，从顶点 \( O \) 出发，画一条射线 \( OC \)，使得 \( \angle AOC = 40^{\circ} \) 且 \( \angle COB = 40^{\circ} \)。那么，射线 \( OC \) 就是 \( \angle AOB \) 的角平分线。

  公式表达：若 \( OC \) 平分 \( \angle AOB \)，则 \( \angle AOC = \angle COB = \frac{1}{2} \angle AOB \)。

• 阿星口诀：一条射线，分角两半，度数相等，天下太平。

📐 图形解析

下面这个图展示了角平分线是如何“完美平分”一个角的。注意看，被分开的两个角 \( \angle AOC \) 和 \( \angle COB \) 是完全相等的。

从图中可以清晰地看到：射线 \( OC \) 是 \( \angle AOB \) 的角平分线，因此 \( \angle AOC = \angle COB \)。

角平分线还有一个非常重要的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。我们用一个图来理解：

如图所示，\( PD \) 是 \( \angle APB \) 的平分线，\( D \) 是平分线上任意一点。\( DE \perp PA \)，\( DF \perp PB \)，那么根据定理，必有 \( DE = DF \)。这个性质是证明线段相等的利器！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为“在角的内部，连接顶点和边上任意一点的线段就是角平分线”。 → ✅ 正解：角平分线必须是一条射线，它始于角的顶点，无限延伸。更重要的是，它必须将原角分成两个度数相等的角，而不仅仅是连接顶点和边上某个点。
• ❌ 错误2：在应用“角平分线上的点到角两边距离相等”时，忽略“垂直”条件。 → ✅ 正解：定理中提到的“距离”特指“垂直距离”。如图中的 \( DE \) 和 \( DF \)，必须分别是点 \( D \) 到边 \( PA \) 和 \( PB \) 的垂线段。如果只是斜着连接到边上的某点，长度是不一定相等的。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 一个 \( 90^{\circ} \) 的角被平分后，每个小角是____度。
2. 判断：角平分线是一条线段。（ ）
3. 如图，\( OC \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线，\( \angle AOC = 28^{\circ} \)，则 \( \angle AOB = \) ____。
   
   
4. 用量角器画出一个 \( 48^{\circ} \) 角的角平分线。
5. “角平分线上的点到角两边的距离相等”，这里的“距离”是指____距离。
6. 已知 \( \angle 1 = \angle 2 \)，则 ____ 是 ____ 的角平分线。
7. 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AD \) 平分 \( \angle BAC \)，若 \( \angle BAC = 80^{\circ} \)，则 \( \angle BAD = \) ____。
8. 一个平角（ \( 180^{\circ} \) ）的角平分线，会把平角分成两个____角。
9. 角平分线有____条。（填数量）
10. 如图，\( OP \) 是 \( \angle MON \) 的平分线，点 \( A \) 在 \( OP \) 上，\( AB \perp OM \)，\( AC \perp ON \)，垂足分别为 \( B, C \)。若 \( AB = 3cm \)，则 \( AC = \) ____ cm。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( AD \) 平分 \( \angle CAB \)，交 \( BC \) 于点 \( D \)。若 \( CD=3 \)，\( AB=10 \)，求 \( \triangle ABD \) 的面积。
2. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=8 \)，\( AC=6 \)，\( BC=9 \)，\( AD \) 是 \( \angle BAC \) 的平分线，求 \( BD \) 和 \( DC \) 的长。
3. 如图，\( \triangle ABC \) 的两条角平分线 \( BD \) 和 \( CE \) 相交于点 \( O \)，若 \( \angle A = 60^{\circ} \)，求 \( \angle BOC \) 的度数。
4. 求证：三角形两个外角的平分线和第三个内角的平分线相交于一点。
5. 在四边形 \( ABCD \) 中，\( AE \) 平分 \( \angle BAD \)，\( CF \) 平分 \( \angle BCD \)，且 \( AE \) 与 \( CF \) 交于点 \( O \)。若 \( \angle B=100^{\circ} \)，\( \angle D=70^{\circ} \)，求 \( \angle AOC \) 的度数。
6. 已知点 \( P \) 是 \( \angle AOB \) 的平分线上一点，\( PC \parallel OA \)，交 \( OB \) 于点 \( C \)。若 \( \angle AOB = 60^{\circ} \)，\( OC=4 \)，求 \( PC \) 的长。
7. 用尺规作图法（无刻度直尺和圆规）作出一个已知角的角平分线，并写出作图依据。
8. (动点问题) 在矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=6 \)，\( BC=8 \)。点 \( P \) 从点 \( A \) 出发沿 \( AD \) 向终点 \( D \) 运动，同时点 \( Q \) 从点 \( C \) 出发沿 \( CB \) 向终点 \( B \) 运动。它们的速度都是每秒1个单位。连接 \( BP \)、\( DQ \)，当 \( BP \) 平分 \( \angle ABD \) 时，求运动时间 \( t \)。
9. 已知 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle B=2\angle C \)，\( AD \) 是 \( \angle BAC \) 的平分线。求证：\( AB + BD = AC \)。
10. 在平面直角坐标系中，已知点 \( A(0, 4) \)，\( B(3, 0) \)，求 \( \angle AOB \) 的角平分线所在直线的函数表达式。

第三关：生活应用（5道）

1. 台球反射：台球撞击桌边时，入射角等于反射角。如果希望白球击中目标球，需要瞄准桌边的一个点，使得白球到该点的连线与桌边夹角，和目标球到该点的连线与桌边夹角相等。这实际上是利用了“角平分线”原理。试描述这个原理。
2. 测量宽度：要测量一条不可直接跨越的小河宽度 \( AB \)，可以在河岸一侧选择一点 \( C \)，测出 \( \angle ACB \) 的大小。然后，分别沿 \( CA \) 和 \( CB \) 方向走相等的距离到点 \( D \) 和 \( E \)，使得 \( CD = CE \)。连接 \( DE \)，并测量其长度。为什么 \( DE \) 的长度就近似等于河宽 \( AB \) ？这用到了角平分线的什么性质？
3. 建筑采光：设计师想让朝南的窗户（假设光线从正南方向来）在冬季获得最大阳光入射量，同时夏季又能有一定遮挡。他设计了一个外挑的屋檐。试分析，当太阳光线与墙面（假设为竖直面）的夹角（即入射角）的平分线，与屋檐的倾斜角度有怎样的关系时，能较好地平衡冬夏需求？

风筝平衡：制作一个对称的风筝时，保证风筝的“骨架”交叉成直角，并且交叉点位于横杆的正中心，这样风筝飞行时才平衡。这个过程可以看作是在作一个平角的角平分线，还是作一个直角的角平分线？请说明。

4. 工艺折纸：许多传统折纸艺术中，通过折叠将一个角的两边重合，留下的折痕就是这个角的角平分线。请用一张纸，实际操作折叠出一个 \( 60^{\circ} \) 角的角平分线。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 45^{\circ} \)
2. 错误。角平分线是射线。
3. \( \angle AOB = 2 \times \angle AOC = 2 \times 28^{\circ} = 56^{\circ} \)
4. （操作题，略）
5. 垂直
6. 射线 \( OC \)；\( \angle AOB \) （假设图形中 \( OC \) 在 \( \angle AOB \) 内部）
7. \( 40^{\circ} \)
8. 直角 (\( 90^{\circ} \))
9. 有且只有1条。
10. \( 3 \)。根据“角平分线上的点到角两边距离相等”。

第二关：中考挑战（精选解析）

1. 解析：过点 \( D \) 作 \( DE \perp AB \) 于 \( E \)。∵ \( AD \) 平分 \( \angle CAB \)，\( \angle C=90^{\circ} \)，\( DE \perp AB \)，∴ \( DE = CD = 3 \)。∴ \( S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times DE = \frac{1}{2} \times 10 \times 3 = 15 \)。
2. 解析：根据角平分线定理：\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)。设 \( BD = 4k \)，\( DC = 3k \)。∵ \( BD + DC = BC = 9 \)，∴ \( 4k+3k=9 \)，\( k=\frac{9}{7} \)。∴ \( BD = 4 \times \frac{9}{7} = \frac{36}{7} \)，\( DC = 3 \times \frac{9}{7} = \frac{27}{7} \)。
3. 解析：∵ \( BD \)、\( CE \) 是角平分线，∴ \( \angle OBC = \frac{1}{2}\angle ABC \)，\( \angle OCB = \frac{1}{2}\angle ACB \)。在 \( \triangle BOC \) 中，\( \angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - \frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ACB) \)。在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} - \angle A = 120^{\circ} \)。∴ \( \angle BOC = 180^{\circ} - \frac{1}{2} \times 120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \)。

（其余题目解析略，遵循相同格式，包含步骤和 \( \) 包裹的算式。）