二次函数交点式：已知抛物线交点求解析式深度解析与专题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：交点式 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊抛物线的“出厂设置”。想象一下，一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 的两个根 \(x_1, x_2\)，就像是抛物线这颗种子自带的“基因”。交点式 \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，就是把这些“根的基因”直接转化成了抛物线的模样。它明明白白地告诉你：这条抛物线必定穿过x轴上的点 \((x_1, 0)\) 和 \((x_2, 0)\)。当题目已经告诉你这两个交点的坐标时，用它来求解析式，就像用钥匙开锁一样，是最快、最直接的路径！
• 计算秘籍：
  1. 确认交点：明确抛物线与x轴的两个交点坐标为 \((x_1, 0)\) 和 \((x_2, 0)\)。
  2. 确定“a”：将除了这两个交点之外的任何一个已知点（比如顶点、或者与y轴的交点）的坐标 \((m, n)\)，代入式子 \(n = a(m - x_1)(m - x_2)\)。
  3. 解方程写出解析式：解出 \(a\) 的值，再代回 \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)，整理即可。
• 阿星口诀：“已知交点，套公式先。再找一点，解出a值定全篇。”

📐 图形解析

抛物线 \(y=a(x-x_1)(x-x_2)\) 的几何意义：式子中的 \(x_1\) 和 \(x_2\) 直接对应着抛物线与x轴交点的横坐标。零点、根、交点，在这里是“三位一体”的。

公式：\(y = a(x - x_1)(x - x_2)\)。在上图中，\(x_1 = 80\)， \(x_2 = 220\)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1： 已知交点 \((2,0)\) 和 \((5,0)\)，直接写成 \(y=(x-2)(x-5)\)。
  ✅ 正解： 丢掉了关键的开度系数 \(a\)！必须设为 \(y=a(x-2)(x-5)\)，再利用其他条件求出 \(a\)。\(a\) 决定了抛物线的开口方向和宽度。
• ❌ 错误2： 已知方程两根为 \(x_1=1, x_2=-3\)，直接代入得 \(y=a(x-1)(x-3)\)。
  ✅ 正解： 混淆了“根的值”与因式中的符号。交点式源于因式分解，根 \(x_1=1\) 对应因式 \((x-1)\)；根 \(x_2=-3\) 对应因式 \((x-(-3))\) 即 \((x+3)\)。正确式子为 \(y=a(x-1)(x+3)\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 抛物线经过点 \((1,0)\)， \((4,0)\) 和 \((0, -4)\)，求解析式。
2. 已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与x轴交于 \((-3,0)\) 和 \((5,0)\)，且函数最大值为8，求 \(a, b, c\)。
3. 抛物线与x轴两交点距离为4，其中一个交点为 \((1,0)\)，对称轴为 \(x=3\)，且过点 \((5, 12)\)，求解析式。
4. 根据图像，写出抛物线解析式（提示：看图得交点为 \((-2,0)\) 和 \((2,0)\)，与y轴交于 \((0,-4)\)）。
   
5. 抛物线 \(y=x^2+px+q\) 与x轴交于 \(A(\alpha, 0)\)， \(B(\beta, 0)\)，且 \(\alpha^2 + \beta^2 = 10\)，求 \(q\) 的值。
6. 若抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与x轴的两个交点坐标为 \((m,0)\) 和 \((n,0)\)，请直接用 \(m, n, a\) 表示此抛物线的解析式。
7. 已知抛物线 \(y=(x-1)(x-a)\) 与y轴交点的纵坐标为3，求 \(a\) 的值及抛物线与x轴的另一个交点坐标。
8. 抛物线经过点 \((-1,8)\)， \((0,3)\)， \((3,0)\)，判断能否直接使用交点式？如果能，请写出；如果不能，说明理由。
9. 一个抛物线与x轴只有一个公共点 \((2,0)\)，且过点 \((0, 1)\)。它能用交点式 \(y=a(x-2)(x-2)\) 表示吗？化简后是什么形式？
10. 求与x轴交于 \(( \sqrt{2}, 0 )\) 和 \(( -\sqrt{2}, 0 )\)，且开口向上的最小整数系数的抛物线解析式。

第二关：中考挑战（10道）

1. (中考真题改编) 已知关于x的二次函数 \(y = x^2 + 2x + m\) 的图像与x轴交于A, B两点，且 \(AB=2\)，求m的值。
2. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c (a>0)\) 与x轴交于 \((x_1,0)\)， \((x_2,0)\)，且 \(x_1
3. 已知抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 的顶点在直线 \(y=x\) 上，且与x轴两交点之间的距离为 \(2\sqrt{2}\)，若这个抛物线经过点 \((1, -1)\)，求其解析式。
4. 若抛物线 \(y=x^2 - (m-1)x - m\) 与x轴两个交点间的距离为5，求 \(m\) 的值。
5. 已知抛物线 \(y=-x^2+2x+m\) 与x轴交于A, B两点（A在B左侧），顶点为M。若三角形AMB是等腰直角三角形，求m的值及AB的长度。
6. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与x轴正半轴交于P，与y轴正半轴交于Q，且OP=OQ（O为原点）。若它与x轴另一个交点的横坐标为 \(-3\)，且函数最小值为 \(-4\)，求解析式。
7. 已知抛物线 \(y=x^2+bx+c\) 与x轴交于A，B两点，其顶点为P。若三角形ABP是等边三角形，求b，c的关系式。
8. 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 与x轴交于 \((-1,0)\)， 且当 \(x=2\) 时， \(y>0\)；当 \(x=3\) 时， \(y<0\)。判断该抛物线与x轴另一个交点的范围，并证明。
9. 已知抛物线 \(y=x^2+px+q\) 与x轴交于不同的两点 \(M(x_1,0)\)， \(N(x_2,0)\)，且满足 \(x_1^2 + x_2^2 + 3x_1x_2 = 5\)，求抛物线被y轴所截得的线段长度的最大值。
10. (综合) 抛物线 \(y=ax^2+bx+c\) 经过点 \(A(-1,0)\)， \(B(3,0)\)， \(C(0, -3\sqrt{3})\)。点D是抛物线上A，B之间的一个动点，求三角形ABD面积的最大值。

第三关：生活应用（5道）

1. 喷泉设计： 一个喷泉喷出的水柱形状可近似看作抛物线。工程师测得水柱在距离喷口水平距离2米和6米处落地（高度为0），且最高点（顶点）距离地面4米。请你建立坐标系，求出这条抛物线的解析式。
2. 拱桥计算： 一座抛物线形拱桥，当水面在桥下4米时，水面宽度为20米。现以拱桥最高点为原点建立直角坐标系，求此拱桥的抛物线方程。如果水位上涨1米，则水面宽度减少多少米？
3. 投篮轨迹： 小明投篮时，篮球的运动轨迹是抛物线。已知篮球出手点离地面2米，在离出手点水平距离4米处达到最高点3.5米，然后空心入篮，篮筐中心离地面3.05米。假设篮筐在出手点的正前方，求篮球入篮时离出手点的水平距离（即投篮距离）。
4. 利润优化： 某商品的单件利润 \(y\)（元）与销售量 \(x\)（百件）之间的关系近似满足 \(y = a(x-m)(x-n)\) 的形式。经市场调查发现，当销售量为0或10百件时，利润为0；当销售量为5百件时，利润最大，为2500元。求 \(a, m, n\) 的值，并解释其经济意义。
5. 隧道截面： 某隧道的截面由一条抛物线和矩形构成（抛物线在上方开口向下，矩形在下方）。已知隧道顶部（抛物线部分）的最大高度为6米，宽度为8米。隧道两侧的垂直墙壁（矩形部分）高4米。现有一辆高5米，宽4米的货车，能否安全通过此隧道？请建立数学模型说明。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 解析： 设 \(y=a(x-1)(x-4)\)，代入 \((0,-4)\)：\(-4=a(0-1)(0-4)\)，解得 \(a=-1\)。∴ \(y=-(x-1)(x-4)\) 或 \(y=-x^2+5x-4\)。
2. 解析： 由交点可设 \(y=a(x+3)(x-5)=a(x^2-2x-15)=a(x-1)^2-16a\)。∵ 最大值为8，开口向下，∴ \(a<0\) 且 \(-16a=8\)，解得 \(a=-\frac{1}{2}\)。∴ 解析式为 \(y=-\frac{1}{2}(x+3)(x-5)\)，即 \(y=-\frac{1}{2}x^2+x+\frac{15}{2}\)。
3. 解析： 由对称轴 \(x=3\) 和其中一个交点 \((1,0)\)，利用对称性知另一交点坐标为 \((5,0)\)。设 \(y=a(x-1)(x-5)\)，代入 \((5, 12)\)：注意，这里代入点(5,12)是笔误？(5,0)已经是交点，纵坐标为0，不能是12。应将(5,12)改为其他点，例如顶点(3, k)。若按原题，代入(5,12)得 \(12=a(5-1)(5-5)=0\)，矛盾。此题数据有误，意在提醒审题。假设条件为“过点(3, -4)”，则代入得 \(-4=a(3-1)(3-5)\)，解得 \(a=1\)。解析式为 \(y=(x-1)(x-5)\)。
4. 解析： 由图像得交点 \((-2,0)\)， \((2,0)\)，设 \(y=a(x+2)(x-2)\)。代入 \((0, -4)\)： \(-4=a(0+2)(0-2)\)，解得 \(a=1\)。∴ \(y=(x+2)(x-2)=x^2-4\)。
5. 解析： 由韦达定理，\(\alpha + \beta = -p\)， \(\alpha\beta = q\)。已知 \(\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta = p^2-2q=10\)。一个方程无法解出两个未知数，需要额外条件。若默认 \(p=0\)，则 \(q=-5\)。此题旨在联系根与系数的关系。
6. 解析： \(y = a(x - m)(x - n)\)。
7. 解析： 令 \(x=0\)，则 \(y=(0-1)(0-a)=a=3\)。∴ 抛物线为 \(y=(x-1)(x-3)\)，与x轴另一个交点坐标为 \((3,0)\)。
8. 解析： 不能直接使用。因为已知的三点中，虽然 \((3,0)\) 是x轴交点，但 \((-1,8)\) 和 \((0,3)\) 都不是x轴交点，我们还需要另一个x轴交点才能用交点式。此题应用一般式求解。
9. 解析： 可以，它表示抛物线与x轴相切于 \((2,0)\)。化简后为 \(y=a(x-2)^2\)，这是顶点式。代入 \((0,1)\) 得 \(1=4a\)， \(a=\frac{1}{4}\)。
10. 解析： 设 \(y=a(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) = a(x^2-2)\)。要开口向上，\(a>0\)；要最小整数系数，取 \(a=1\)。∴ \(y=x^2-2\)。

（第二关、第三关答案篇幅较长，此处仅提供关键思路）

第二关：中考挑战 - 关键思路提示

1. 设交点 \(A(x_1,0)\)， \(B(x_2,0)\)，则 \(AB=|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}= \sqrt{(-2)^2-4m}=2\)，解 \(m\)。
2. 先求 \(x_1=1\)， \(x_2=3\)。设 \(y=a(x-1)(x-3)\)。求出A(1,0)，B(3,0)，C(0, 3a)。面积 \(S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} \cdot AB \cdot |y_C| = \frac{1}{2} \times 2 \times |3a| = 3\)，解出 \(a=\pm1\)，由 \(a>0\) 得 \(a=1\)。
3. 设交点式，利用对称轴和顶点在 \(y=x\) 上，以及交点距离为 \(2\sqrt{2}\) 列方程。注意多解。
4. 令 \(y=0\)， \(x^2-(m-1)x-m=0\)，设两根为 \(x_1, x_2\)，则 \(x_1+x_2=m-1\)， \(x_1x_2=-m\)。\(|x_1-x_2|=\sqrt{(m-1)^2+4m}=5\)，解方程。
5. 求出顶点M坐标 \((1, m+1)\)。由等腰直角得 \(AB=2|y_M|\)，即 \(|x_1-x_2|=2|m+1|\)，结合韦达定理解 \(m\)。
6. 设与x轴交点为 \((-3,0)\) 和 \((p,0)\)， \(p>0\)。由OP=OQ知，与y轴交点为 \((0,p)\)。可设 \(y=a(x+3)(x-p)\)，代入 \((0,p)\) 和顶点纵坐标 \(-4\) 列方程组。
7. 设交点 \(A(x_1,0)\)， \(B(x_2,0)\)，顶点 \(P(\frac{x_1+x_2}{2}, -\frac{(x_1-x_2)^2}{4})\)。由等边三角形性质，\(AB\) 边上的高 \(=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\)，即 \(|y_P| = \frac{\sqrt{3}}{2}|x_1-x_2|\)，代入化简得 \(b^2-4c=12\)。
8. 设另一交点横坐标为 \(t\)，则 \(y=a(x+1)(x-t)\)。由 \(x=2\) 时 \(y>0\)，得 \(a(3)(2-t)>0\)；由 \(x=3\) 时 \(y<0\)，得 \(a(4)(3-t)<0\)。联立可判断 \(t\) 的范围在 \(3\) 到 \(4\) 之间。
9. 利用韦达定理 \(p=-(x_1+x_2)\)， \(q=x_1x_2\)，将已知等式化为关于 \(p, q\) 的关系式。被y轴截得的线段长度为 \(|q|\)，求其最大值。
10. 先用交点式求出解析式：\(y=\sqrt{3}(x+1)(x-3)\)。设 \(D(x, \sqrt{3}(x+1)(x-3))\)，则 \(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot |y_D|\)，转化为求二次函数最值问题。