角的度量怎么算？度分秒60进制计算与易错点深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：角的度量 原理

• 核心概念：哈喽！我是你的数学朋友阿星。想象一下，我们平时把一小时分成60分钟，一分钟分成60秒，对不对？角的“时间银行”也是一样的！我们把一个“元”大角叫“度”，记作 \( ^\circ \)。1“元”度，能换成60“角”分（'），1“角”分，又能换成60“秒”（“）。所以，角的度量是一个超级“复古”的60进制系统，千万别用我们熟悉的10进制去算它，不然就乱套啦！
• 计算秘籍：
  1. 加法：度、分、秒分别相加，满60进1。
     
     例：\( 35^\circ 24' 18“ + 22^\circ 47' 56” \)
     
     秒：\( 18+56=74“ = 1'14” \)
     
     分：\( 24+47+1=72' = 1^\circ 12' \)
     
     度：\( 35+22+1=58^\circ \)
     
     结果：\( 58^\circ 12' 14“ \)
  2. 减法：度、分、秒分别相减，不够减时向前借1当60。
     
     例：\( 45^\circ 12' 30“ - 18^\circ 48' 45” \)
     
     秒不够减，向分借1'，得 \( 30+60=90“ \)，\( 90-45=45” \)
     
     分被借走1后剩11‘，11-48不够减，向度借1°，得 \( 11+60=71’ \)， \( 71-48=23' \)
     
     度被借走1后剩44°， \( 44-18=26^\circ \)
     
     结果：\( 26^\circ 23' 45“ \)
• 阿星口诀：度分秒，六十跳；加减法，对齐搞；不够借，六十要；够六十，进一位别忘了！

📐 图形解析

我们用半圆量角器来看一度有多大，以及它如何被细分。下方的放大镜展示了从1度到1分再到1秒的细分过程。

角的度量关系：\( 1^\circ = 60' \)， \( 1' = 60“ \)， \( 1^\circ = 3600” \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算 \( 15^\circ 30' - 10^\circ 45' \) 时，直接写 \( 5^\circ -15' \)。 → ✅ 正解：分位不够减，必须向度借位。\( 15^\circ 30' = 14^\circ 90' \)，然后计算 \( 14^\circ 90' - 10^\circ 45' = 4^\circ 45' \)。
• ❌ 错误2：做乘法 \( 3 \times 20^\circ 50' \) 时，只乘度不乘分。 → ✅ 正解：度、分要分别乘以倍数。\( 3 \times 20^\circ = 60^\circ \)， \( 3 \times 50' = 150' = 2^\circ 30' \)，总和为 \( 62^\circ 30' \)。
• ❌ 错误3：认为 \( 1.5^\circ = 1^\circ 5' \)。 → ✅ 正解：度的小数部分要乘以60转换成分。\( 0.5^\circ = 0.5 \times 60 = 30' \)，所以 \( 1.5^\circ = 1^\circ 30' \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 填空：\( 1^\circ = \)____分，\( 1' = \)____秒。
2. 将 \( 5.25^\circ \) 化成度、分、秒。
3. 将 \( 72^\circ 15' 45“ \) 化成以度为单位的数（保留两位小数）。
4. 计算：\( 18^\circ 32' + 25^\circ 47' \)。
5. 计算：\( 90^\circ - 63^\circ 28' \)。
6. 计算：\( 4 \times 12^\circ 20' \)。
7. 计算：\( 66^\circ 33' \div 3 \)。
8. 比较大小：\( 35.4^\circ \) ____ \( 35^\circ 24' \)。
9. 从 \( 15^\circ 10' \) 里减去 \( 8^\circ 35' \)，结果是？
10. 已知∠1=\( 23^\circ 50' \)，∠2=\( 34^\circ 10' \)，求∠1+∠2。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编）已知∠α=\( 37^\circ 18' \)，则∠α的余角是______。（余角：两角和为 \( 90^\circ \)）
2. （改编）已知∠β=\( 125^\circ 24' \)，则∠β的补角是______。（补角：两角和为 \( 180^\circ \)）
3. 计算：\( 65^\circ 43' 12“ + 24^\circ 17' 58” \)。
4. 计算：\( 180^\circ - 124^\circ 38' 16“ \)。
5. 计算：\( (21^\circ 15' 32“) \times 5 \)。
6. 计算：\( (154^\circ 48' ) \div 4 \)。
7. 如图，O是直线AB上一点，OC是任一条射线，OD平分∠BOC。若∠BOC=\( 78^\circ 20' \)，求∠COD。
8. 若∠A=\( 2 \times (33^\circ 47') \)，∠B=\( 67^\circ 34' \)，判断∠A与∠B的大小关系。
9. 一个角的度数是 \( 58^\circ 30' \)，求它的补角的一半是多少度？
10. 已知∠AOB=\( 135^\circ 15' \)，OC在∠AOB内部，且∠AOC=\( 57^\circ 48' \)，求∠BOC。

第三关：生活应用（5道）

1. 航海应用：在航海中，方向用“方位角”表示，从正北顺时针旋转的角度。某船从A点出发，航向方位角为 \( 065^\circ 30' \)，航行一段时间后，向右转 \( 120^\circ 45' \)，问新的航向方位角是多少？（提示：注意角度相加可能超过360°）
2. 建筑测量：工人用经纬仪测量一个塔顶的仰角（视线与水平线的夹角）为 \( 28^\circ 15' 10“ \)。为了保证精度，需要将这个角度单位全部统一为“秒”，请问是多少秒？
3. 机械加工：一个精密零件需要切割出一个 \( 72^\circ \) 的角。由于机器最小设定单位是分，请问操作员应设定的最接近的角度是多少度多少分？
4. 地理时区：地理学中，经度每相差 \( 15^\circ \)，时间相差1小时。请问经度相差 \( 1^\circ \) 时间相差多少分钟？相差 \( 1' \) 时间相差多少秒？
5. 天文观测：天文学家观测到某行星在一天内位置移动了 \( 0^\circ 45' 36“ \）。如果该行星匀速运动，请问它每小时移动多少角秒？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. \( 60 \)， \( 60 \)
2. \( 5.25^\circ = 5^\circ + 0.25 \times 60' = 5^\circ 15' \)
3. \( 72^\circ 15' 45“ = 72 + \frac{15}{60} + \frac{45}{3600} = 72 + 0.25 + 0.0125 = 72.2625^\circ \approx 72.26^\circ \)
4. \( 18^\circ 32' + 25^\circ 47' = 43^\circ 79' = 44^\circ 19' \)
5. \( 90^\circ - 63^\circ 28' = 89^\circ 60' - 63^\circ 28' = 26^\circ 32' \)
6. \( 4 \times 12^\circ = 48^\circ \)， \( 4 \times 20' = 80' = 1^\circ 20' \)， 总和 \( 49^\circ 20' \)
7. \( 66^\circ \div 3 = 22^\circ \)， \( 33' \div 3 = 11' \)， 结果 \( 22^\circ 11' \)
8. \( 35.4^\circ = 35^\circ 24' \)， 所以填 \( = \)
9. \( 15^\circ 10' - 8^\circ 35' = 14^\circ 70' - 8^\circ 35' = 6^\circ 35' \)
10. \( 23^\circ 50' + 34^\circ 10' = 57^\circ 60' = 58^\circ \)

第二关：

1. 余角： \( 90^\circ - 37^\circ 18' = 89^\circ 60' - 37^\circ 18' = 52^\circ 42' \)
2. 补角： \( 180^\circ - 125^\circ 24' = 179^\circ 60' - 125^\circ 24' = 54^\circ 36' \)
3. \( 65^\circ 43' 12“ + 24^\circ 17' 58” = 89^\circ 60' 70“ = 89^\circ 61' 10” = 90^\circ 1' 10“ \)
4. \( 180^\circ - 124^\circ 38' 16“ = 179^\circ 59' 60” - 124^\circ 38' 16“ = 55^\circ 21' 44” \)
5. \( 21^\circ \times 5 = 105^\circ \)， \( 15' \times 5 = 75' = 1^\circ 15' \)， \( 32“ \times 5 = 160” = 2' 40“ \)，总和 \( 106^\circ 17' 40“ \)
6. \( 154^\circ \div 4 = 38^\circ \)余 \( 2^\circ \)，余下 \( 2^\circ = 120' \)， \( (120' + 48') \div 4 = 168' \div 4 = 42' \)，结果 \( 38^\circ 42' \)
7. 平分线： \( \angle COD = \frac{1}{2} \times \angle BOC = 78^\circ 20' \div 2 = 39^\circ 10' \)
8. ∠A = \( 2 \times 33^\circ 47' = 66^\circ 94' = 67^\circ 34' \)，所以∠A = ∠B
9. 补角为 \( 180^\circ - 58^\circ 30' = 121^\circ 30' \)，一半为 \( 121^\circ 30' \div 2 = 60^\circ 45' \)
10. ∠BOC = ∠AOB - ∠AOC = \( 135^\circ 15' - 57^\circ 48' = 134^\circ 75' - 57^\circ 48' = 77^\circ 27' \)

第三关：

1. 新航向 = \( 065^\circ 30' + 120^\circ 45' = 185^\circ 75' = 186^\circ 15' \)。方位角范围0-360°，所以新的航向是 \( 186^\circ 15' \)。
2. \( 28^\circ = 28 \times 3600 = 100800“ \)， \( 15' = 15 \times 60 = 900” \)，加上 \( 10“ \)，总计 \( 100800 + 900 + 10 = 101710” \)。
3. \( 72^\circ = 72^\circ 0' \)。所以最接近的就是 \( 72^\circ 0' \)。
4. \( 15^\circ \rightarrow 60 \)分钟，所以 \( 1^\circ \rightarrow 60 \div 15 = 4 \)分钟。\( 1^\circ = 60' \)，所以 \( 1' \rightarrow 4 \times 60 \div 60 = 4 \)秒。
5. 一天24小时。总移动 \( 45' 36“ = 45 \times 60 + 36 = 2736” \)。每小时移动 \( 2736 \div 24 = 114“ \)。