将军饮马问题全解析：最短路径的对称法秘籍与中考必会题型专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：将军饮马 原理
- 核心概念：你好呀，我是阿星！想象一下，你是古代一位威风凛凛的将军，你的军营在A点，河边（直线 \( l \) ）的对岸有一片美丽的马场B点。你每天都要去河边饮马，然后去马场。可是你太忙了，想找一条从军营到河边再到马场的 最短路线。河边任何一点P都可能是你的饮水点，问题就变成了：在直线 \( l \) 上找一点 \( P \)，使得 \( PA + PB \) 最小。怎么办？用“镜子”呀！把河对岸的马场B“镜像”到河的这一边来，得到它的对称点 \( B' \)。连接军营A和镜像 \( B' \)，这条线段穿过河边的那个点，就是你最佳的饮水点 \( P \)！因为这时 \( AP + PB = AP + PB' \)，而两点之间，线段最短。
- 计算秘籍：
- 定直线与定点： 明确哪条线是“河”（对称轴 \( l \) ），以及两个定点 \( A \) 和 \( B \)。
- 作对称点： 选取其中一个定点（通常选在直线异侧的那个，或者任意一个），作出它关于直线 \( l \) 的对称点 \( A' \) 或 \( B' \)。作对称点的方法是：过点作直线的垂线，并延长等距。计算公式：若直线 \( l \) 是 \( y = kx + b \)，点 \( B(x_0, y_0) \)，其对称点 \( B'(x_1, y_1) \) 满足：
- 中点在对线上：\( \frac{y_0 + y_1}{2} = k \cdot \frac{x_0 + x_1}{2} + b \)
- 连线垂直对称轴：\( \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} \times k = -1 \) (当 \( k \) 存在时)。
- 连线找交点： 连接未作对称的点（如 \( A \) ）与对称点（如 \( B' \) ），所得线段 \( AB' \) 与直线 \( l \) 的交点即为所求点 \( P \)。
- 求最小值： 最小值即为线段 \( AB' \) 的长度，可用两点间距离公式计算：\( \sqrt{(x_A - x_{B‘})^2 + (y_A - y_{B’})^2} \)。
- 阿星口诀： 将军饮马求最短，定河定点莫看偏。任取一点作镜像，连接另点交河上。交点即为饮马处，线段长度是最短。
📐 图形解析
下面这个图完美展示了“将军饮马”的核心操作：通过对称，将折线路径和问题转化为直线距离问题。
关键几何关系：\( PB = PB‘ \)，因此 \( PA + PB = PA + PB’ \geq AB‘ \)（当且仅当 \( A, P, B’ \) 三点共线时取等号）。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：找错对称轴。 把不是“河”（所求点所在的定直线）的线当成了对称轴。 → ✅ 正解：明确“在哪里找点”，那条线就是对称轴。 点 \( P \) 必须在直线 \( l \) 上，所以才是作关于 \( l \) 的对称。
- ❌ 错误2：对称点作错。 没有保证对称点与原始点的连线垂直于对称轴，且中点在对称轴上。 → ✅ 正解：严格按几何步骤操作。 先过点作对称轴的垂线，再截取等长。在坐标系中则用垂直和中点公式联立计算。
🔥 三例题精讲
例题1：基础对称 如图，点 \( A(-1, 2) \)，点 \( B(3, 4) \)，直线 \( l \) 是 \( x \) 轴。在 \( x \) 轴上找一点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小，求点 \( P \) 坐标和最小值。
📌 解析：
- 定点 \( A(-1,2) \)，\( B(3,4) \)，对称轴为 \( x \) 轴（直线 \( y=0 \)）。
- 作 \( A \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( A‘ \)。因为关于 \( x \) 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以 \( A’(-1, -2) \)。
- 连接 \( A‘B \)，与 \( x \) 轴交点即为 \( P \)。设直线 \( A’B \) 解析式为 \( y = kx + b \)。代入 \( A‘(-1,-2) \) 和 \( B(3,4) \)：
\( \begin{cases} -2 = -k + b \\ 4 = 3k + b \end{cases} \)，解得 \( k = \frac{3}{2} \)，\( b = -\frac{1}{2} \)。所以直线为 \( y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \)。 - 求此直线与 \( x \) 轴 (\( y=0 \)) 交点：令 \( 0 = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \)，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。所以 \( P(\frac{1}{3}, 0) \)。
- 最小值 \( = A‘B = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \)。
✅ 总结： 当两点在定直线同侧时，直接作其中一点的对称点，化折为直。
例题2：菱形中的最值 如图，菱形 \( ABCD \) 边长为 \( 4 \)，\( \angle BAD = 60^\circ \)，\( E \)、\( F \) 分别是 \( AB \)、\( BC \) 边上的动点，且 \( AE = BF \)。求 \( DE + DF \) 的最小值。
📌 解析：
- 分析：\( DE + DF \) 中，\( D \) 是定点，\( E \)、\( F \) 是动点，但满足 \( AE = BF \)。目标是求这个和的最小值。注意到 \( E \) 在 \( AB \) 上运动，\( F \) 在 \( BC \) 上运动。我们可以尝试固定 \( E \)，那么 \( F \) 就由 \( AE=BF \) 唯一确定。问题转化为：在 \( AB \) 上找一个点 \( E \)，使得 \( DE + DF \) 最小，其中 \( F \) 是 \( BC \) 上满足 \( BF = AE \) 的点。
- 转化：观察发现，当 \( E \) 运动时，\( F \) 随之运动。我们可以利用对称，将 \( D \) 点关于 \( BC \) 对称到 \( D‘ \)（因为 \( F \) 在 \( BC \) 上）。这样，\( DF = D’F \)。那么 \( DE + DF = DE + D‘F \)。
- 关键：由于 \( AE = BF \)，且菱形边长相等，可以推导出 \( BE = CF \)。进一步可以证明 \( \triangle D‘CF \cong \triangle DAE \)（利用对称和菱形性质）。因此，\( D’F = DE \)！所以 \( DE + DF = DE + D‘F = 2DE \)。问题神奇地转化为：求 \( DE \) 的最小值，即定点 \( D \) 到线段 \( AB \) 上动点 \( E \) 距离的最小值。
- 求解：当 \( DE \perp AB \) 时，\( DE \) 最小。在菱形中，\( \angle BAD = 60^\circ \)，边长为 \( 4 \)，易求 \( D \) 到 \( AB \) 的距离为 \( 4 \times \sin 60^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \)。
- 答案：因此，\( (DE+DF)_{min} = 2 \times (DE)_{min} = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)。
✅ 总结： 在复杂动点问题中，将军饮马模型（对称）可能隐藏得很深。需要先分析动点关系，找到“定直线”（如本例中 \( F \) 所在的 \( BC \) 边），然后作对称转化，有时会产生意想不到的简化效果。
例题3：二次函数中的最值 如图，抛物线 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 与 \( x \) 轴交于 \( A(1,0) \)、\( B(3,0) \)，与 \( y \) 轴交于 \( C(0,3) \)。在抛物线对称轴上找一点 \( P \)，使得 \( |PA - PC| \) 最大，求点 \( P \) 坐标及最大值。
📌 解析：
- 分析：求 \( |PA - PC| \) 的最大值，是“差”的最大值，不同于“和”的最小值。根据三角形三边关系 \( |PA - PC| \leq AC \)（当 \( P, A, C \) 三点共线时取等号），但 \( P \) 被限制在对称轴上。直接共线可能无法实现。
- 转化：利用对称，将“差”转化为“和”的视角。作点 \( C \) 关于对称轴（直线 \( x=2 \)）的对称点 \( C‘ \)。易知 \( C(0,3) \) 的对称点 \( C’(4,3) \)。那么对于对称轴上的任意点 \( P \)，都有 \( PC = PC‘ \)。
- 关键：于是 \( |PA - PC| = |PA - PC‘| \)。在 \( \triangle PAC’ \) 中，根据两边之差小于第三边，有 \( |PA - PC‘| \leq AC’ \)（当 \( P, A, C‘ \) 三点共线时取等号）。
- 求解：连接 \( A(1,0) \) 和 \( C‘(4,3) \)，求得直线 \( AC’ \) 解析式：斜率为 \( \frac{3-0}{4-1}=1 \)，过 \( A(1,0) \)，方程为 \( y = x - 1 \)。此直线与对称轴 \( x=2 \) 的交点即为所求点 \( P \)。代入 \( x=2 \)，得 \( y=1 \)。所以 \( P(2, 1) \)。
- 最大值 \( = AC‘ = \sqrt{(4-1)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{3^2+3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)。
✅ 总结： “线段差的最大值”问题，同样是作对称点，但最后是连接两个定点（或其中一个点与另一个点的对称点）并延长，与定直线的交点即为所求点。口诀可以拓展为：“差最大，同样对称，连线交，取延长”。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 已知点 \( A(1, 3) \) 和点 \( B(5, 1) \)，在 \( x \) 轴上找一点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小，求 \( P \) 坐标。
- 如图，直线 \( l \) 同侧有两点 \( A \)、\( B \)，在 \( l \) 上求作点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小（尺规作图，保留作图痕迹）。
- 等边 \( \triangle ABC \) 边长为 \( 4 \)，\( D \)、\( E \) 分别是 \( AB \)、\( AC \) 边上的中点，\( P \) 是 \( BC \) 边上动点，求 \( PD+PE \) 的最小值。
- 已知 \( \angle MON = 45^\circ \)，其内部一定点 \( A \)，在 \( OM \)、\( ON \) 上分别找点 \( P \)、\( Q \)，使 \( \triangle APQ \) 周长最小。简述作图思路。
- 矩形 \( ABCD \) 中，\( AB=3 \)，\( BC=4 \)，\( E \) 是 \( BC \) 中点，\( P \) 是对角线 \( BD \) 上动点，求 \( PC+PE \) 的最小值。
- 计算：点 \( A(0, -2) \) 关于直线 \( y=x \) 的对称点坐标是？
- 在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=AC=5 \)，\( BC=6 \)，\( D \) 是 \( BC \) 中点，\( P \) 是 \( AD \) 上动点，\( Q \) 是 \( AB \) 上动点，求 \( PQ+PC \) 的最小值。
- 直线 \( y=2x+1 \) 上有一点 \( P \)，到点 \( A(2, 3) \) 和点 \( B(4, -1) \) 的距离之和最小，求点 \( P \) 坐标。
- 如图，河两岸平行，两村庄 \( A \)、\( B \) 到河岸的距离分别是 \( 1 \) km 和 \( 2 \) km，\( AB \) 的水平距离为 \( 4 \) km。现要在河上建桥（桥垂直于河岸），使 \( A \) 到 \( B \) 的路程最短，求最短路径长。（提示：桥长固定，为两河岸的垂直距离）
- 正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 6 \)，点 \( E \) 在 \( BC \) 上，且 \( BE=2 \)，点 \( P \) 是对角线 \( BD \) 上动点，求 \( PC+PE \) 的最小值。
第二关：中考挑战（10道）
- （2023·某地模拟）如图，抛物线 \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 6 \) 与 \( x \) 轴交于 \( A \)、\( B \) 两点（点 \( A \) 在左），与 \( y \) 轴交于 \( C \)，抛物线的对称轴为 \( l \)。点 \( D \) 是直线 \( l \) 上一动点，求 \( |AD - CD| \) 的最大值及此时点 \( D \) 坐标。
- （将军饮马变式）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=4 \)，\( AC=6 \)，\( \angle BAC=120^\circ \)，\( D \)、\( E \) 分别是 \( AB \)、\( AC \) 边上的动点，且 \( AD=CE \)，求 \( BE + DE + CD \) 的最小值。
- （胡不归模型）如图，\( \triangle ABC \) 中，\( \angle A=90^\circ \)，\( \angle B=30^\circ \)，\( AC=2 \)，点 \( D \) 是 \( AB \) 中点，点 \( P \) 在 \( BC \) 上运动，求 \( \frac{1}{2}BP + PD \) 的最小值。
- （费马点问题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB=4 \)，\( BC=5 \)，\( CA=6 \)，求平面内一点 \( P \)，使得 \( PA+PB+PC \) 最小，并求该最小值。（提示：当三角形内角均小于 \( 120^\circ \) 时，点 \( P \) 满足 \( \angle APB = \angle BPC = \angle CPA = 120^\circ \)）
- （菱形综合）如图，菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle A=120^\circ \)，\( AB=6 \)，点 \( E \)、\( F \) 分别在 \( AD \)、\( CD \) 上，且 \( AE=DF \)，点 \( G \) 是 \( BD \) 上动点，求 \( GE+GF \) 的最小值。
- （坐标系综合）平面直角坐标系中，点 \( A(1, 2) \)，点 \( B(4, 5) \)，点 \( C \) 在直线 \( y=x \) 上运动，点 \( D \) 在 \( x \) 轴上运动，求四边形 \( ABCD \) 周长的最小值。
- （圆中最值）如图，\( \odot O \) 的半径为 \( 2 \)，点 \( A \) 在 \( \odot O \) 外，\( OA=5 \)，点 \( B \) 在 \( \odot O \) 上运动，点 \( P \) 是线段 \( OB \) 的中点。求 \( AP \) 的最小值。
- （面积最值）已知矩形 \( ABCD \)，\( AB=8 \)，\( BC=6 \)，点 \( P \) 是矩形内部一点，连接 \( PA, PB, PC \)。求 \( \triangle PAB \) 与 \( \triangle PBC \) 面积之和的最小值。
- （双动点）如图，正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 4 \)，点 \( E \) 在边 \( AB \) 上，\( AE=1 \)，点 \( F \) 在边 \( BC \) 上，且 \( BF=2 \)，点 \( P \)、\( Q \) 分别是 \( DE \)、\( DF \) 上的动点，求 \( PQ+QE+QF \) 的最小值。（提示：两次对称）
- （阅读理解）定义：对于平面内的点 \( P \) 和直线 \( l \)，称点 \( P' \) 为点 \( P \) 关于直线 \( l \) 的“等距镜像点”，如果 \( P' \) 在 \( l \) 上且 \( l \) 垂直平分 \( PP' \)。现有点 \( A(0,2) \) 和点 \( B(4,6) \)，直线 \( l: y=x \)。点 \( P \) 是 \( l \) 上一动点，求 \( AP + BP' \) 的最小值，其中 \( P' \) 是 \( P \) 关于 \( y \) 轴的“等距镜像点”。
第三关：生活应用（5道）
- （输水管道） 如图，两个村庄 \( A \) 和 \( B \) 位于一条笔直河流 \( l \) 的同侧。现计划在河边建一个供水站 \( P \)，并分别铺设管道 \( PA \) 和 \( PB \) 到两个村庄。已知 \( A \) 到河岸的垂直距离为 \( 2 \) km，\( B \) 到河岸的垂直距离为 \( 3 \) km，且 \( A \)、\( B \) 沿河岸方向的水平距离为 \( 6 \) km。要使总管道长度最短，供水站 \( P \) 应建在离 \( A \) 点正对河岸处多远的位置？并求出最短管道总长度。
- （光路反射） 物理中，光在平滑表面上反射时，入射角等于反射角，这使得光在两点间经镜面反射的路径是最短的（费马原理）。设一束光从点 \( A(1, 5) \) 出发，射向 \( x \) 轴（视为镜面），要求反射光经过点 \( B(7, 3) \)。求光在 \( x \) 轴上的反射点 \( P \) 的坐标。这与将军饮马模型有何联系？
- （台球走位） 标准矩形台球桌 \( ABCD \)，长 \( AB=CD=2m \)，宽 \( AD=BC=1m \)。白球在点 \( E \) (\( E \) 在 \( AB \) 边上，距 \( A \) 点 \( 0.5m \))，目标球在点 \( F \) (\( F \) 在桌面中心附近)。若想通过击打白球，使其先撞击 \( CD \) 边，再撞击 \( BC \) 边，最后击中目标球 \( F \)，请利用对称法，画出白球在 \( CD \) 边上的撞击点的大致位置（作图思路）。
- （探险寻宝） 一张藏宝图显示，宝藏点 \( T \) 位于一个圆形湖泊的中心岛上。你站在湖岸的 \( S \) 点。你有一艘小船，但划船速度是在陆地上步行速度的一半。为了最快到达宝藏点，你应该在湖岸的哪个点 \( P \) 上岸，然后步行至湖心（假设湖心岛有桥连接）？请建立数学模型并说明求解思路。
（物流中心选址） 某物流公司有三个大型仓库 \( A \)、\( B \)、\( C \)，位置如图构成一个三角形。现计划修建一个物流中心 \( P \)，需要铺设三条直路连接三个仓库。为节约成本，希望总路长 \( PA+PB+PC \) 最短。请问这个 \( P \) 点应满足什么几何条件？（这就是著名的“费马点”问题，无需计算，描述结论）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：将军饮马 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在三个“转化”不到位。一是问题转化：认不出题目本质是求“两线段和的最小值”。题目经常伪装成周长最小、路径最短等。二是空间转化：想不到或画不出正确的对称图形，缺乏几何想象力。三是模型转化：将军饮马有基本型（一个动点在定直线上），也有拓展型（如两个动点、差的最大值、造桥选址等），学生难以从复杂情境中抽象出基本模型。核心是“化折为直”的思想没吃透。比如，看到 \( PA + PB \)，就要条件反射：如果 \( A \)、\( B \) 在直线同侧，马上想作对称点；如果在异侧，直接连线交点即为所求。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大，它是数学“最优化思想”的启蒙。① 几何上，它是解决众多几何最值问题（如胡不归、阿氏圆、费马点）的基石。它训练的“对称变换”是几何三大变换之一，贯穿整个中学几何。② 代数上，它对应着求函数最值问题。例如，问题最终常归结为求二次函数的最值，或者利用两点间距离公式 \( \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \) 求极值，这为后续学习导数求最值打下了直观基础。③ 思想方法上，它教会我们通过“变换”（这里是对称）将条件重新组合，将复杂问题转化为简单问题（两点之间，线段最短）。这是解决数学乃至科学问题的通用高阶思维。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有。可以遵循以下“四步法”流程，它适用于绝大多数将军饮马及其变式问题：
- 判：判断问题是否为“线段和最短”或“线段差最长”型。目标式是否为 \( PA + PB \) 或 \( |PA - PB| \) 的形式（\( P \) 是动点）。
- 找：找到动点 \( P \) 所在的定直线 \( l \)（对称轴），以及两个定点 \( A \)、\( B \)。
- 变：进行对称变换。
- 求和最小： 如果 \( A \)、\( B \) 在 \( l \) 同侧，作其中一个点（如 \( B \)）关于 \( l \) 的对称点 \( B‘ \)。如果 \( A \)、\( B \) 在 \( l \) 异侧，直接进入第4步。
- 求差最大： 作其中一个点（如 \( B \)）关于 \( l \) 的对称点 \( B’ \)。
- 连：
- 求和最小： 连接 \( AB‘ \)（或 \( A’B \)），与直线 \( l \) 的交点即为所求点 \( P \)。最小值即为 \( AB‘ \) 的长度。
- 求差最大： 连接 \( AB‘ \) 并延长，与直线 \( l \) 的交点即为所求点 \( P \)。最大值即为 \( AB’ \) 的长度。
记住这个核心等式：\( PA + PB = PA + PB‘ \geq AB’ \)（“和”最小），\( |PA - PB| = |PA - PB‘| \leq AB’ \)（“差”最大）。
答案与解析
第一关 基础热身 部分答案：
- 解析：作 \( A(1,3) \) 关于 \( x \) 轴的对称点 \( A'(1, -3) \)。连接 \( A'B \)，求直线 \( A‘B: y = \frac{-1-(-3)}{5-1}(x-1) - 3 = \frac{1}{2}x - \frac{7}{2} \)。与 \( x \) 轴交点 \( P \)：令 \( y=0 \)，得 \( x=7 \)。故 \( P(7, 0) \)。最小值 \( A’B = \sqrt{(5-1)^2+(-1+3)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \)。
- 解析：尺规作图步骤：① 作点 \( B \)（或 \( A \)）关于直线 \( l \) 的对称点 \( B‘ \)。② 连接 \( AB’ \) 与 \( l \) 交于点 \( P \)。点 \( P \) 即为所求。
- 解析：作点 \( E \) 关于 \( BC \) 的对称点 \( E‘ \)（由于 \( \triangle ABC \) 是等边的，\( E’ \) 在 \( AC \) 延长线上或 \( AB \) 上？更简单的方法是：\( D \)、\( E \) 是中点，\( P \) 在 \( BC \) 上，这是典型的“过定直线找一点到两定点距离和最小”问题，但 \( D \)、\( E \) 在 \( BC \) 同侧）。作 \( E \) 关于 \( BC \) 的对称点 \( E‘ \)，易知 \( E‘ \) 是 \( AB \) 的中点（根据等边三角形对称性）。连接 \( DE’ \) 交 \( BC \) 于 \( P \)。此时 \( DE‘ \) 即 \( PD+PE \) 的最小值。\( DE’ \) 是底边 \( AB \) 上两中点的连线，等于边长的一半，即 \( 2 \)。所以最小值为 \( 2 \)。
- 解析：分别作点 \( A \) 关于 \( OM \) 和 \( ON \) 的对称点 \( A_1 \) 和 \( A_2 \)。连接 \( A_1A_2 \) 分别交 \( OM \)、\( ON \) 于点 \( P \)、\( Q \)。则 \( \triangle APQ \) 周长 \( = AP+PQ+QA = A_1P+PQ+QA_2 = A_1A_2 \)，此时周长最小。
- 解析：点 \( C \) 关于 \( BD \) 的对称点即为 \( A \)。所以 \( PC = PA \)。问题转化为在 \( BD \) 上找点 \( P \) 使 \( PA+PE \) 最小。连接 \( AE \) 交 \( BD \) 于 \( P \)。最小值 \( = AE \)。在矩形中，\( AB=3 \)，\( BE=2 \)（因为 \( E \) 是 \( BC \) 中点，\( BC=4 \)，所以 \( BE=2 \)）。所以 \( AE = \sqrt{AB^2+BE^2} = \sqrt{3^2+2^2} = \sqrt{13} \)。
（由于篇幅限制，此处仅提供部分答案，其余题目可在老师指导下完成或参考相关资料。）
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