将军饮马模型深度解析：最短路径问题的对称转化法与中考应用专项练习题库

💡 阿星精讲：将军饮马模型 原理

• 核心概念：阿星来啦！想象一下，你是古代的一位将军（点A），你的马在河边（直线l）饮水。喝完水后，你需要以最快速度抵达军营（点B）。你应该在河边的哪个点（P）让马饮水，才能使总路程 \( AP + PB \) 最短呢？这就像你和军营之间隔着一面“镜子”（直线l）。聪明的做法是：先别急着找点，让你的“影子”（点A关于直线l的对称点A'）替你跑一半路。连接你的“影子”和军营（A'B），这条线与河边的交点，就是最佳饮水点P！因为此时 \( AP + PB = A‘P + PB = A’B \)，利用“两点之间，线段最短”的公理，直接找到了最短路径。这就是“对称转化，化折为直”的魔法。
• 计算秘籍：
  1. 定直线与定点：明确“河”（对称轴直线l）和两个定点 \( A \)、\( B \) 的位置。
  2. 作对称点：作出点 \( A \) 关于直线 \( l \) 的对称点 \( A' \)。若直线 \( l \) 是 \( x \) 轴，则 \( A'(x_A, -y_A) \)；若 \( l \) 是 \( y \) 轴，则 \( A'(-x_A, y_A) \)；若是一般直线 \( y = kx + b \)，需用点到直线距离公式和中点坐标公式计算。
  3. 连线求交点：连接 \( A'B \)，与直线 \( l \) 的交点即为所求点 \( P \)。
  4. 算最短距离：最短路径长度 \( L_{min} = \sqrt{(x_{A'} - x_B)^2 + (y_{A'} - y_B)^2} \)。
• 阿星口诀：“将军饮马遇直线，对称转化是关键。定点关于直线翻，连线交点最短现。”

📐 图形解析

我们通过一个基础图形来理解“化折为直”的过程：

几何原理：在直线 \( l \) 同侧有两点 \( A \)、\( B \)，在 \( l \) 上找一点 \( P \)，使 \( PA + PB \) 最小。作 \( A \) 关于 \( l \) 的对称点 \( A' \)，则对于 \( l \) 上任意一点 \( P \)，总有 \( PA = PA' \)。因此，\( PA + PB = PA' + PB \)。当 \( A'、P、B \) 三点共线时，\( PA' + PB \) 最短，即为线段 \( A’B \) 的长度。

图中，蓝色实线 \( A'B \) 是最短路径的“直化”形式，橙色虚线 \( AP + PB \) 是实际行走的折线路径，两者长度相等。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：作对称点时，关于直线对称找错了方向（例如关于x轴对称，只改变了横坐标）。
  ✅ 正解：牢牢记住：关于x轴对称，“横不变，纵相反”；关于y轴对称，“纵不变，横相反”；关于直线 \( y=x \) 对称，“横纵交换”。对于一般直线，严格按垂直、平分两个条件计算。
• ❌ 错误2：连接了对称点 \( A' \) 和另一个点 \( A \) 或原定点 \( B \) 后，忘记找与直线 \( l \) 的交点 \( P \)，直接把 \( A' \) 或 \( A \) 当成了目标点。
  ✅ 正解：对称点 \( A' \) 只是桥梁！最终目标一定是直线 \( l \) 上的点 \( P \)。口诀最后一句“连线交点最短现”，明确指出了要找“交点”。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知点 \( A(1, 2) \) 和点 \( B(4, 5) \)，在 \( x \) 轴上找一点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小，求 \( P \) 点坐标。
2. 如图，直线 \( l \) 同侧有两点 \( A、B \)，在 \( l \) 上求作点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小。（尺规作图题）
3. 点 \( A(-3, 1) \)，点 \( B(5, 7) \)，在 \( y \) 轴上找一点 \( P \)，使 \( |PA - PB| \) 最大，求 \( P \) 点坐标。（提示：绝对值差最大问题也用对称转化）
4. 菱形 \( ABCD \) 中，\( \angle BAD=60^\circ \)，\( AB=4 \)，点 \( E、F \) 分别在边 \( BC、CD \) 上，求 \( \triangle AEF \) 周长的最小值。
5. 已知 \( \angle AOB=30^\circ \)，点 \( P \) 在 \( \angle AOB \) 内部，\( OP=4 \)，在 \( OA、OB \) 上分别找点 \( M、N \)，使 \( \triangle PMN \) 周长最小，并求最小值。
6. 河的两岸成平行线，两岸各有一个村庄 \( A、B \)，现要在河上垂直于河岸建一座桥，使 \( A \) 到 \( B \) 的路程最短，应如何选址？（“造桥选址”问题，是将军饮马模型的变式）
7. 正方形 \( ABCD \) 边长为 \( 4 \)，点 \( E \) 是 \( AB \) 中点，点 \( P \) 在对角线 \( AC \) 上运动，求 \( PE+PB \) 的最小值。
8. 已知直线 \( y=2x+1 \) 和两点 \( A(0,0)、B(2,3) \)，在直线上找一点 \( P \)，使 \( PA+PB \) 最小。
9. 等腰三角形 \( ABC \) 中，\( AB=AC=5 \)，\( BC=6 \)，点 \( D \) 在 \( BC \) 上，求 \( AD+ \frac{1}{2}BD \) 的最小值。（提示：构造系数线段）
10. 证明：运用“将军饮马”模型，说明光线从点 \( A \) 射到镜面（直线）上再反射到点 \( B \)，遵循“入射角等于反射角”的路径，正是光程最短的路径（费马原理）。

第二关：中考挑战（10道）

1. （2023·某地中考）如图，抛物线 \( y=-\frac{1}{2}x^2+2x+4 \) 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点。点P是x轴上的动点，求 \( PC+PD \) 的最小值。
2. （2022·某地中考）在平面直角坐标系中，点A(0，3)，点B(6，0)，点C是线段OB上一动点，以AC为边在AC右侧作等边△ACD，连接BD，求BD的最小值。
3. （2021·某地中考）如图，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OC=4，D为OB的中点，点E、F在边OA、AB上运动，且EF=2，求四边形CDEF周长的最小值。
4. （2020·某地中考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AB边上的中点，点E、F分别在AC、BC上运动，且保持AE=CF，连接DE、DF、EF，求△DEF周长的最小值。
5. （2023·某地模拟）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=4，点C是弧AB上的动点，点D、E分别在半径OA、OB上，且四边形CDOE是矩形，求矩形CDOE周长的最大值。
6. 已知点A(1，1)，点B在直线y=-x+5上运动，点C在x轴上运动，求△ABC周长的最小值。
7. （胡不归问题）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=4，点D是BC边上的动点，求 \( AD+\frac{1}{2}DB \) 的最小值。
8. （阿氏圆问题）如图，在⊙O中，半径为2，点A在圆外，OA=4，点P是⊙O上的动点，求 \( \frac{1}{2}AP + BP \) 的最小值，其中B是圆上一定点。
9. 如图，在平面直角坐标系中，点A(-2，0)，点B(0，-4)，点P是直线y=x上的动点，求 \( \frac{\sqrt{2}}{2} PA + PB \) 的最小值。
10. 综合探究：请阐述“将军饮马”（一点两定）、“造桥选址”（平移转化）、“胡不归”（系数不为1的线段和）、“阿氏圆”（圆上的系数线段和）这四个最值模型之间的区别与内在联系。

第三关：生活应用（5道）

1. 管道铺设：两个居民小区A、B位于一条河的两岸，假定河岸是两条平行的直线。现计划在河上垂直于河岸建一座桥，并为两小区铺设供水管道，从A小区经桥再到B小区。请问桥应建在何处，才能使铺设的管道总长度最短？请建立数学模型并求解。
2. 光线设计：一个台灯需要照亮桌面上的A点（书的位置）和墙上的B点（地图位置）。灯罩的开口可以视为一个点光源，位于桌面正上方C点。为使光线最有效地同时照亮A和B（总光程最短），请设计光线经桌面一次反射到B的路径。桌面视为一条直线。

景区规划：如图，一个矩形景区被一条笔直的小路（直线l）分成两部分，景区入口A和出口B分别位于直线l的两侧。现要在小路l上设置一个观光车站点P，并修建从A到P再到B的观光步行道。为节约成本，应如何选择站点P的位置，使步行道总长最短？

3. 物流中转：一个物流中心O需要向位于一条高速公路（视为直线）两侧的客户点A和B送货。送货车辆必须先到高速上的一个中转站P装卸，再分别送往A、B。若要求车辆从O到P，再到A，最后到B的总路程最短，请确定中转站P的最佳位置。
4. 反射卫星天线：某卫星信号接收天线的截面是抛物线形。根据物理原理，平行于抛物线对称轴的光线（信号）经抛物线反射后，会汇聚到焦点F。请利用“将军饮马”模型（光程最短原理）证明：从抛物线准线上任意一点P出发的光线，经抛物线反射后，反射光线所在的直线必经过焦点F。（提示：设抛物线上反射点为M，证明 \( PF = PM + MF \) 某种形式的最短路径）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关部分答案提示：

1. 作 \( A(1,2) \) 关于x轴对称点 \( A'(1,-2) \)，求直线 \( A‘B \) (\( B(4,5) \)) 与x轴交点。直线 \( A’B \) 斜率 \( k=\frac{5-(-2)}{4-1}=\frac{7}{3} \)，方程 \( y+2=\frac{7}{3}(x-1) \)。令 \( y=0 \)，解得 \( x=\frac{13}{7} \)。∴ \( P(\frac{13}{7}, 0) \)。
2. 尺规作图步骤：①以直线 \( l \) 上任意一点为圆心，大于该点到A距离为半径画弧，交 \( l \) 于两点；②分别以这两点为圆心，相同半径画弧，两弧交于另一点，该点与A的连线垂直于 \( l \)，垂足为O；③在AO延长线上截取 \( OA’ = OA \)，则A‘为对称点；④连接A’B交 \( l \) 于P。
3. 求 \( |PA-PB| \) 最大，作B关于y轴对称点 \( B'(-5,7) \)，连接 \( AB' \) 并延长交y轴于P。此时 \( |PA-PB| = |PA-PB’| = AB‘ \) 最大。直线 \( AB’ \) 过 \( A(-3,1) \) 和 \( B‘(-5,7) \)，斜率 \( k=\frac{7-1}{-5-(-3)}=\frac{6}{-2}=-3 \)，方程 \( y-1=-3(x+3) \)。令 \( x=0 \)，得 \( y=1-9=-8 \)。∴ \( P(0, -8) \)。
4. 将 \( \triangle AEF \) 的边 \( AE、AF \) 分别沿 \( AB、AD \) 翻折出去，则周长最小值转化为求点A的两个对称点之间的线段长，结果为 \( 4\sqrt{3} \)。
5. 分别作 \( P \) 关于 \( OA、OB \) 的对称点 \( P_1、P_2 \)，连接 \( P_1P_2 \) 交 \( OA、OB \) 于 \( M、N \)。周长最小值 \( L_{min} = P_1P_2 \)。在 \( \triangle OP_1P_2 \) 中，\( OP_1=OP_2=OP=4 \)，\( \angle P_1OP_2 = 60^\circ \)，∴ \( P_1P_2=4 \)。（等边三角形）

（第二关、第三关题目难度较大，解析从略，重在思路引导和模型识别。）