加权平均数怎么算？掌握偏心眼原理与易错题解析专项练习题库

💡 阿星精讲：加权平均数 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！想象一下，你在评选“班级之星”，投票时，老师的票和同学的票分量一样吗？当然不！老师可能一票顶五票。这就是“偏心眼”——对不同来源的数据（或人）给予不同的重视程度。在数学里，这个“重视程度”就叫权重。加权平均数就是这样一个“偏心”的平均数，它承认：各项的重要性不一样！权重越大，就像说话更有分量的人，对最终结果的影响就越大。
• 计算秘籍：
  1. 找到每个数据 \( x_i \) 和它对应的“偏心”系数（权重）\( f_i \)。
  2. 把每个数据和它的权重相乘 \( x_i \times f_i \)，这相当于给重要数据“放大音量”。
  3. 把所有“放大音量”后的结果加起来。
  4. 最后，除以所有权重的总和（就像把总“音量”归一化）。

  公式就是：
  \( \overline{x} = \frac{x_1 f_1 + x_2 f_2 + ... + x_n f_n}{f_1 + f_2 + ... + f_n} \)

• 阿星口诀：数据重要各不同，偏心眼看权重中。先乘后加再除总，加权平均显神通。

📐 图形解析

我们可以把一个加权平均数想象成一个“偏心”的天平。权重大的数据，在秤盘上占的“体积”或“力臂”就更长，会把平均值的“支点”更拉向自己。

以两个数 \( A=5 \)，\( B=15 \) 为例，权重分别为 1 和 4。

加权平均数：\( \overline{x} = \frac{5 \times 1 + 15 \times 4}{1 + 4} = \frac{5 + 60}{5} = 13 \)

看！因为数据 B 的“权重块”更大更重（权重为4），它把天平的支点（加权平均数）从普通平均数的 \( 10 \) 拉到了更靠近自己的 \( 13 \)。这就是“偏心眼”的直观体现！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：把权重直接当作数据相加。 → ✅ 正解：权重是重要性系数，必须与对应的数据相乘后，再参与计算。口诀：“权乘数，再相加”。
• ❌ 错误2：计算最后忘记除以权重的总和。 → ✅ 正解：加权平均的公式是一个整体，分子是“加权和”，分母是“权和”。忘记除以权和，得到的只是总量的概念，而不是平均水平。牢记公式结构：\( \frac{\sum (数 \times 权)}{\sum 权} \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算加权平均数：数据：10, 20；权重：3, 7。
2. 计算加权平均数：数据：5, 6, 7；权重：1, 2, 2。
3. 小明平时成绩90分（占30%），期中考试85分（占30%），期末考试92分（占40%），求学期总评。
4. 一组数 4, 5, 6 出现的次数分别为 2次, 3次, 5次，求这组数据的平均数。（提示：“次数”就是权重）
5. 买水果，苹果5元/斤买了3斤，香蕉4元/斤买了2斤，求平均每斤的价格。
6. 权重为 0.2, 0.3, 0.5，数据为 a, b, c，写出加权平均公式。
7. 若所有数据权重相等，加权平均数会变成什么平均数？
8. 判断题：加权平均数的结果一定大于最小值且小于最大值。（ ）
9. 已知加权平均数为 15，两个数据是10和20，权重比为1:1，这可能吗？如果权重比是1:4呢？
10. 根据“阿星口诀”，复述计算加权平均数的三个步骤。

第二关：中考挑战（10道）

1. （频数分布表）某班级学生每周体育锻炼时间的频数分布如下表，求平均锻炼时间。
   
   时间(小时): 5, 6, 7, 8
   
   人数: 4, 12, 18, 6
2. （混合成本）商店将单价25元/千克的甲糖果和单价30元/千克的乙糖果混合成什锦糖。若混合后单价为27元/千克，且甲、乙糖果的质量比为2:3，验证这个结果。
3. （成绩计算）某校规定：综合成绩 = 笔试成绩 × 60% + 面试成绩 × 40%。小华笔试比小明高10分，但综合成绩却比小明低2分。求小华的面试成绩比小明低多少分？
4. （分段统计）统计40名员工月收入，得到：收入4000元的有10人，5000元的有16人，6000元的有14人。求平均收入。
5. （权重未知）已知两个数8和12的加权平均数是10.4，求这两个数的权之比。
6. （逆向思维）有A、B两种盐水，A浓度8%，B浓度15%。要配成200克浓度12%的盐水，需A、B各多少克？（用加权平均数思想列方程）
7. （结合方程）如果数据 \( x, 5, 9 \) 的权分别是 \( 1, 2, 3 \)，加权平均数是7，求 \( x \) 的值。
8. （图表题-扇形图）某同学各科成绩及占总评权重如扇形图所示，已知语文80分（权重20%），数学未知分（权重30%），英语90分（权重25%），综合85分（权重25%），总评为84.5分，求数学成绩。
9. （误差分析）小强计算加权平均时，误将其中一个数据的权重看大了，会导致结果怎样变化？
10. （生活实际）贷款平均利率、股票投资组合的平均收益率，其本质都是______平均数。

第三关：生活应用（5道）

1. （GPA计算）大学绩点（GPA）是典型的加权平均。某学生课程成绩与学分如下：数学（4学分）绩点3.0，英语（3学分）绩点3.7，历史（2学分）绩点2.3。计算他的GPA。
2. （比赛评分）歌手大赛，7位评委打分，去掉一个最高分和一个最低分后，其余5个分数的平均分就是选手得分。这本质上是怎样的加权平均？（提示：思考剩下5个分数的权重是多少，被去掉的分数的权重是多少）
3. （投资组合）某人用10万元投资：5万买年化收益4%的理财产品，3万买年化收益6%的基金，2万买年化收益10%的股票。求他整个投资组合的预期年化平均收益率。
4. （工程验收）某工程验收，施工质量评分80分（权重0.5），工期控制评分90分（权重0.3），成本控制评分70分（权重0.2）。验收合格线为加权平均分不低于80分。此工程能否合格？
5. （综合决策）选择租房：A房通勤时间短（评分90）但租金高（评分60）；B房租金便宜（评分85）但通勤长（评分70）。若你认为通勤重要性是租金重要性的1.5倍，请用加权平均为你决策。（自行设定权重）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \frac{10 \times 3 + 20 \times 7}{3+7} = \frac{30+140}{10} = 17 \)
2. \( \frac{5 \times 1 + 6 \times 2 + 7 \times 2}{1+2+2} = \frac{5+12+14}{5} = \frac{31}{5} = 6.2 \)
3. \( 90 \times 0.3 + 85 \times 0.3 + 92 \times 0.4 = 27 + 25.5 + 36.8 = 89.3 \)
4. 平均数 = \( \frac{4 \times 2 + 5 \times 3 + 6 \times 5}{2+3+5} = \frac{8+15+30}{10} = 5.3 \)
5. 平均价格 = \( \frac{5 \times 3 + 4 \times 2}{3+2} = \frac{15+8}{5} = 4.6 \) 元/斤
6. \( \overline{x} = \frac{0.2a + 0.3b + 0.5c}{0.2+0.3+0.5} = 0.2a + 0.3b + 0.5c \)
7. 变成算术平均数。
8. ❌。如果权重有0或极端情况，加权平均数可以等于某个数据值。
9. 权重1:1时，平均数是15，正好是10和20的算术平均，可能。权重1:4时，加权平均数 = \( \frac{10 \times 1 + 20 \times 4}{1+4} = \frac{90}{5}=18 \)，不等于15，所以不可能。
10. 先乘，后加，再除总。

第二关：中考挑战

1. \( \frac{5 \times 4 + 6 \times 12 + 7 \times 18 + 8 \times 6}{4+12+18+6} = \frac{20+72+126+48}{40} = \frac{266}{40} = 6.65 \)小时
2. 设甲质量 \(2k\) kg，乙质量 \(3k\) kg。单价 = \( \frac{25 \times 2k + 30 \times 3k}{2k+3k} = \frac{50k+90k}{5k} = \frac{140k}{5k} = 28 \)元/千克。题目中27元错误，应为28元。
3. 设小华笔试 \(a+10\)，面试 \(b\)；小明笔试 \(a\)，面试 \(c\)。根据题意：\(0.6(a+10)+0.4b = 0.6a+0.4c -2\)。化简得：\(6+0.4b = 0.4c -2\)，所以 \(0.4(c-b) = 8\)，\(c-b=20\)。小华面试比小明低20分。
4. \( \frac{4000 \times 10 + 5000 \times 16 + 6000 \times 14}{10+16+14} = \frac{40000+80000+84000}{40} = \frac{204000}{40} = 5100 \)元
5. 设权为 \(m, n\)，则 \( \frac{8m+12n}{m+n} = 10.4 \)。解得 \(8m+12n=10.4m+10.4n\)，\(1.6n=2.4m\)，\( \frac{m}{n} = \frac{1.6}{2.4} = \frac{2}{3} \)。权之比为 2:3。
6. 设需A盐水 \(x\) 克，则B盐水 \((200-x)\) 克。根据浓度加权平均：\( \frac{8\% \times x + 15\% \times (200-x)}{200} = 12\% \)。解得 \(x=120\)，所以A需120克，B需80克。
7. \( \frac{x \times 1 + 5 \times 2 + 9 \times 3}{1+2+3} = 7 \)，即 \( \frac{x+10+27}{6}=7 \)，\(x+37=42\)，所以 \(x=5\)。
8. 设数学成绩为 \(y\)，则 \(80 \times 0.2 + y \times 0.3 + 90 \times 0.25 + 85 \times 0.25 = 84.5\)。解得 \(16+0.3y+22.5+21.25=84.5\)，\(0.3y=24.75\)，\(y=82.5\)。
9. 结果会偏向被看大数据的方向变化（即如果看大权重的数据本身大，结果偏大；如果数据小，结果偏小）。
10. 加权。

第三关：生活应用

1. GPA = \( \frac{3.0 \times 4 + 3.7 \times 3 + 2.3 \times 2}{4+3+2} = \frac{12+11.1+4.6}{9} = \frac{27.7}{9} \approx 3.08 \)
2. 这是加权平均的一种特殊形式：5个有效分数的权重为1，2个被去掉的分数（最高和最低）权重为0。
3. 平均收益率 = \( \frac{4\% \times 5 + 6\% \times 3 + 10\% \times 2}{5+3+2} = \frac{20\%+18\%+20\%}{10} = \frac{58\%}{10} = 5.8\% \)
4. 加权分 = \( 80 \times 0.5 + 90 \times 0.3 + 70 \times 0.2 = 40 + 27 + 14 = 81 \)。81 > 80，合格。
5. 设租金重要性权重为2，则通勤重要性权重为3。A房总分：\( \frac{90 \times 3 + 60 \times 2}{3+2} = \frac{270+120}{5}=78 \)；B房总分：\( \frac{70 \times 3 + 85 \times 2}{3+2} = \frac{210+170}{5}=76 \)。A房得分更高，选择A房。