加权平均数怎么算？从成绩计算到中考应用题的深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：加权 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊数学里的“偏心眼”——加权平均。想象一下，期末考和平时作业在老师心里的分量一样吗？当然不！老师总是更“偏心”期末考试，因为它更能检验你的整体水平。这种“偏心”，在数学上就叫作“权重”。成绩计算就是最典型的例子：总成绩 = 平时成绩 × 40% + 期末成绩 × 60%。这里的40%和60%就是权重，表明期末考的“话语权”比平时更大。加权，就是给每个数据项配上一个表示其重要程度的“砝码”，然后再求平均，这样得到的平均数才更公平、更有意义！
• 计算秘籍：
  1. 找数据与权重：明确每个数据 \( x_1, x_2, ..., x_n \) 和它们对应的权重 \( w_1, w_2, ..., w_n \)。
  2. 相乘再相加：计算每个数据与其权重的乘积之和：\( x_1 \times w_1 + x_2 \times w_2 + ... + x_n \times w_n \)。
  3. 检查权重和：确保所有权重之和为 \( 1 \) (或100%)，即 \( w_1 + w_2 + ... + w_n = 1 \)。如果权重是比例形式（如3:2），先要换算成总份数。

  最终公式：加权平均数 \( \bar{x} = \frac{x_1w_1 + x_2w_2 + ... + x_nw_n}{w_1 + w_2 + ... + w_n} \)，当权重和为1时，分母可省略。

• 阿星口诀：偏心看待有轻重，乘权加总求平衡。权重和为一莫忘记，加权平均最公平！

📐 图形解析

加权平均可以用一个“偏心”的跷跷板来形象理解。支点的位置，就代表了权重的大小。

跷跷板平衡公式（杠杆原理）：\( 左侧重量 \times 左侧距离 = 右侧重量 \times 右侧距离 \)。这里的“距离”可以类比为“权重”。

如图所示，要撬动更重的“期末成绩”，支点必须离它更近（力臂 \( L_2 \) 更短）。在加权平均中，数据就像重物，权重就像力臂的倒数。权重越大（越重要），对应的“力臂”越短，对平衡点（平均值）的影响就越大。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：计算加权平均时，直接拿几个百分数相加求平均。
  → ✅ 正解：必须明确每个百分数对应的“整体”是多少。例如：两个班的及格率分别是 \( 80\% \) 和 \( 60\% \)，求两班总及格率。不能直接 \( (80\%+60\%)/2 = 70\% \)，而要知道每个班的人数作为权重。
• ❌ 错误2：忽略权重比例之和。题目说“按 \( 3:2 \) 的比例混合”，有人直接 \( 3+2 \) 当分母，忘了权重和是 \( 5 \)。
  → ✅ 正解：将比例转化为权重分数。\( 3:2 \) 意味着权重分别是 \( \frac{3}{3+2} = \frac{3}{5} \) 和 \( \frac{2}{5} \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 买水果，苹果 \( 8 \) 元/斤买了 \( 3 \) 斤，香蕉 \( 5 \) 元/斤买了 \( 2 \) 斤，求平均每斤价格。
2. 某学生五次测验成绩分别为 \( 85, 90, 88, 92, 95 \)，如果第一次成绩权重为 \( 1 \)，之后每次递增 \( 1 \)，求加权平均分。
3. 比赛评分，去掉一个最高分 \( 9.8 \) 和一个最低分 \( 9.2 \)，其余 \( 5 \) 个分数的平均分是 \( 9.5 \)，求这位选手的最终得分。
4. 一种合金由铜和锡按 \( 7:3 \) 的质量比熔炼而成。已知铜的密度是 \( 8.9g/cm^3 \)，锡的密度是 \( 7.3g/cm^3 \)，求合金的密度。
5. 计算：\( 0.3 \times 20 + 0.7 \times 80 \)。
6. 超市混合两种大米，单价 \( 5 \) 元/斤的 \( 40 \) 斤和单价 \( 6 \) 元/斤的 \( 60 \) 斤，混合后单价多少？
7. 如果一组数据 \( 3, 5, 7, 9 \) 的权重分别是 \( 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 \)，求其加权平均数。
8. 学生期末总评，其中作业占 \( 10\% \)，课堂表现占 \( 20\% \)，期末考占 \( 70\% \)。小明三项得分分别是 \( 95, 80, 85 \)，求总评。
9. 已知加权平均数 \( \bar{x} = 10 \)，两个数据 \( 8 \) 和 \( 12 \) 的权重相等，求这两个权重各是多少？
10. 一本书的原价是 \( 100 \) 元，先涨价 \( 10\% \)，再降价 \( 10\% \)，最后的实际价格相当于原价的百分之几？（提示：这不是简单平均）

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题变式）某公司招聘，笔试成绩占 \( 60\% \)，面试成绩占 \( 40\% \)。小王笔试 \( 85 \) 分，面试 \( 90 \) 分；小张笔试 \( 90 \) 分，面试 \( 85 \) 分。谁会被录用？
2. （统计应用）为了解某市老年人的平均年龄，抽样调查了 \( 100 \) 人，结果如下表。估算该市被调查老年人的平均年龄。
   

   年龄分组	60~65	65~70	70~75	75~80	80~85
   人数	15	20	30	25	10

3. （比例权重）已知三个数 \( a, b, c \) 的加权平均数是 \( 15 \)，权重之比为 \( 1:2:2 \)，且 \( a = 10 \)，求 \( b \) 和 \( c \)。
4. （利润问题）某商店以每件 \( 120 \) 元的价格卖出两件商品，其中一件盈利 \( 20\% \)，另一件亏损 \( 20\% \)。问商店卖出这两件商品总体上是盈利还是亏损？
5. （综合）一组数据有 \( 5 \) 个数，它们的平均数是 \( 12 \)。若把其中一个数改为 \( 2 \)，则平均数变为 \( 10 \)。求这个被改动的数原来是多少。
6. （逆推权重）已知数据 \( 4 \) 和 \( 6 \) 的加权平均数为 \( 5.2 \)，求这两个数据的权重。
7. （图表信息）根据下图所示的某班学生每周课外阅读时间频数分布直方图（假设），估算该班学生平均每周课外阅读时间。
   
8. （动态权重）若数据 \( x \) 的权重从 \( 0.3 \) 增加到 \( 0.5 \)，数据 \( y \) 的权重相应减少，且加权平均数保持不变。问 \( x \) 和 \( y \) 有什么关系？
9. （阅读理解）一篇文章的“阅读完成度”评分规则是：读完前 \( 50\% \) 的内容得基础分 \( 60 \) 分，之后每多读 \( 1\% \) 加 \( 0.8 \) 分。小李读完了文章的 \( 80\% \)，他的得分是多少？
10. （方案选择）某快递公司收费方案如下：A方案：首重 \( 1kg \) 内 \( 12 \) 元，续重每 \( 1kg \) 加 \( 5 \) 元；B方案：每公斤按 \( 8 \) 元计算。寄一个 \( 3kg \) 的包裹，哪种方案更省钱？

第三关：生活应用（5道）

1. （投资理财） 小星用 \( 10000 \) 元进行投资，一部分买年收益率 \( 5\% \) 的债券，另一部分买年收益率 \( 8\% \) 的基金。如果他希望整体年收益达到 \( 6.5\% \)，他应该分别投资多少钱到债券和基金？
2. （GPA计算） 大学计算平均学分绩点(GPA)是典型的加权平均。某学生三门课成绩和学分如下：数学（\( 90 \) 分，\( 4 \) 学分）、英语（\( 85 \) 分，\( 3 \) 学分）、体育（\( 95 \) 分，\( 1 \) 学分）。假设分数与绩点换算为：\( 90-100:4.0, 85-89:3.5, 80-84:3.0... \)。请计算该生的平均学分绩点(GPA)。
3. （工程配比） 混凝土由水泥、砂、石子按 \( 1:2:4 \) 的质量比混合而成。现需要配制密度为 \( 2400kg/m^3 \) 的混凝土 \( 10m^3 \)，已知水泥、砂、石子的密度分别为 \( 1500, 1600, 2700kg/m^3 \)。请问这三种材料各需要多少立方米？（提示：总体积不等于各组分体积和）
4. （信号处理） 在移动平均滤波中，常用加权平均来更看重近期数据。例如，一个三点加权移动平均对最近三个数据 \( a_t, a_{t-1}, a_{t-2} \) 赋予权重 \( 0.5, 0.3, 0.2 \)。已知连续五天的气温为 \( 22, 23, 24, 25, 26 \) 摄氏度，请计算第 \( 3,4,5 \) 天的加权移动平均值（以当天及前两天计算）。
5. （综合决策） 某城市评选“最佳公园”，评价指标包括：绿化面积（权重 \( 0.3 \)）、设施完善度（权重 \( 0.3 \)）、游客满意度（权重 \( 0.4 \)）。A公园三项得分分别为 \( 85, 90, 80 \)；B公园分别为 \( 90, 80, 85 \)。请问哪个公园综合评分更高？如果市长认为“游客满意度”应更重要，将权重调整为 \( 0.5 \)，其他两项各 \( 0.25 \)，结果会改变吗？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 总花费 \( = 8\times3 + 5\times2 = 34 \) 元，总重量 \( 5 \) 斤，均价 \( = 34 / 5 = 6.8 \) 元/斤。
2. 权重依次为 \( 1,2,3,4,5 \)，和 \( =15 \)。加权平均 \( = (85\times1+90\times2+88\times3+92\times4+95\times5) / 15 = 1360/15 \approx 90.67 \)。
3. \( 9.5 \) 分。
4. 设总质量为 \( 10k \) g，则铜 \( 7k \) g，锡 \( 3k \) g。体积 \( V = \frac{7k}{8.9} + \frac{3k}{7.3} \)。密度 \( \rho = \frac{10k}{V} \approx 8.32 \, g/cm^3 \)。（近似计算）
5. \( 62 \)。
6. \( (5\times40 + 6\times60) / (40+60) = 560/100 = 5.6 \) 元/斤。
7. \( 3\times0.1+5\times0.2+7\times0.3+9\times0.4 = 0.3+1+2.1+3.6=7 \)。
8. \( 95\times0.1 + 80\times0.2 + 85\times0.7 = 9.5+16+59.5=85 \)。
9. 设权重为 \( w \)，则 \( 8w + 12w = 10 \times (w+w) \)，即 \( 20w = 20w \) 恒成立。说明只要权重相等，任何非零值都可以，通常取 \( 0.5 \)。
10. 涨价后：\( 100\times(1+10\%)=110 \) 元。降价后：\( 110\times(1-10\%)=99 \) 元。\( 99/100 = 99\% \)。（注意：\( (10\% + (-10\%))/2 = 0\% \) 是错误算法）

第二关：中考挑战

1. 小王：\( 85\times0.6+90\times0.4=51+36=87 \)。小张：\( 90\times0.6+85\times0.4=54+34=88 \)。小张分数更高。
2. 组中值：\( 62.5, 67.5, 72.5, 77.5, 82.5 \)。平均年龄 \( = (62.5\times15+67.5\times20+72.5\times30+77.5\times25+82.5\times10)/100 = 7225/100 = 72.25 \) 岁。
3. 设权重为 \( k, 2k, 2k \)，则 \( (10\times k + b\times 2k + c\times 2k) / (5k) = 15 \)。化简得 \( 10+2b+2c=75 \)，即 \( b+c=32.5 \)。且 \( b, c \) 未知具体值，但和确定。
4. 盈利商品成本：\( 120 / (1+20\%) = 100 \) 元。亏损商品成本：\( 120 / (1-20\%) = 150 \) 元。总成本 \( 250 \) 元，总收入 \( 240 \) 元，亏损 \( 10 \) 元。平均利润率不是 \( (20\%+(-20\%))/2 = 0\% \)。
5. 改动前后总和差 \( 5 \times (12-10) = 10 \)，所以原数比 \( 2 \) 多 \( 10 \)，原数为 \( 12 \)。
6. 设权重为 \( p \) 和 \( 1-p \)，则 \( 4p + 6(1-p) = 5.2 \)，解得 \( -2p + 6 = 5.2 \)，\( p=0.4 \)。权重为 \( 0.4 \) 和 \( 0.6 \)。
7. 总人数 \( 5+12+8+3=28 \)。平均时间 \( = (1\times5 + 3\times12 + 5\times8 + 7\times3) / 28 = (5+36+40+21)/28 = 102/28 \approx 3.64 \) 小时。
8. 设原权重下：\( 0.3x + 0.7y = \bar{x} \)。新权重下：\( 0.5x + 0.5y = \bar{x} \)。两式相减得 \( 0.2x - 0.2y = 0 \)，所以 \( x = y \)。
9. 完成度 \( 80\% \)，超过基础 \( 50\% \) 的部分为 \( 30\% \)。得分 \( = 60 + 30 \times 0.8 = 84 \) 分。
10. A方案：\( 12 + (3-1)\times5 = 22 \) 元。B方案：\( 3\times8 = 24 \) 元。A方案更省钱。

第三关：生活应用

1. 设投资债券 \( x \) 元，则基金 \( (10000-x) \) 元。方程：\( x\times5\% + (10000-x)\times8\% = 10000\times6.5\% \)。解得 \( 0.05x + 800 - 0.08x = 650 \)，\( -0.03x = -150 \)，\( x=5000 \)。故债券 \( 5000 \) 元，基金 \( 5000 \) 元。
2. 先换算绩点：数学 \( 90 \rightarrow 4.0 \)，英语 \( 85 \rightarrow 3.5 \)，体育 \( 95 \rightarrow 4.0 \)。GPA \( = (4.0\times4 + 3.5\times3 + 4.0\times1) / (4+3+1) = (16+10.5+4)/8 = 30.5/8 = 3.8125 \)。
3. 设需要水泥、砂、石子的质量分别为 \( k, 2k, 4k \) kg。总体积 \( V = \frac{k}{1500} + \frac{2k}{1600} + \frac{4k}{2700} \)。总质量 \( 7k = 2400 \times 10 = 24000 \)，解得 \( k \approx 3428.57 \, kg \)。则体积：水泥 \( 3428.57/1500 \approx 2.29 \, m^3 \)，砂 \( (2\times3428.57)/1600 \approx 4.29 \, m^3 \)，石子 \( (4\times3428.57)/2700 \approx 5.08 \, m^3 \)。（注意总和不等于 \( 10m^3 \)，因为有孔隙）
4. 第3天：\( (24\times0.5 + 23\times0.3 + 22\times0.2) = 12+6.9+4.4=23.3 \)
   第4天：\( (25\times0.5 + 24\times0.3 + 23\times0.2) = 12.5+7.2+4.6=24.3 \)
   第5天：\( (26\times0.5 + 25\times0.3 + 24\times0.2) = 13+7.5+4.8=25.3 \)
5. 原权重：A公园 \( =85\times0.3+90\times0.3+80\times0.4=25.5+27+32=84.5 \)。B公园 \( =90\times0.3+80\times0.3+85\times0.4=27+24+34=85 \)。B更高。
   新权重：A公园 \( =85\times0.25+90\times0.25+80\times0.5=21.25+22.5+40=83.75 \)。B公园 \( =90\times0.25+80\times0.25+85\times0.5=22.5+20+42.5=85 \)。仍然是B更高，且优势扩大。