积商法则深度解析：二次根式拆分与合并全攻略专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
资料格式
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：积商法则 原理
- 核心概念：嗨！我是阿星。今天咱们来聊聊数学里的“分家”与“合住”艺术。想象一下，根号就像一个大房子，里面的住户（相乘的数）可以拆开住进各自的小单间，也可以合起来住大平层。这就是积的法则：\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) (a ≥ 0, b ≥ 0)。同理，除法就像共享一个客厅的两家人，也可以选择分开：\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (a ≥ 0, b > 0)。记住，分家时，每个住户（被开方数）都必须是非负的！
- 计算秘籍：
- 观察结构：识别根号下是乘积 \( a \times b \) 还是商 \( a \div b \)。
- 决定拆分：判断是“拆开住”（化简）还是“合起来住”（合并）更方便。目标是将根号内的数变得尽可能简单。
- 执行操作：
- 化简（拆分）：\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)。
- 合并（合住）：\( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = (2 \times 4) \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}) = 8\sqrt{15} \)。
- 检查住户：确保所有被开方数非负，分母不为零。
- 阿星口诀：根号房子能分家，乘除住户都可拆。分家之后要简化，合住之前先检查。
📐 图形解析
我们用面积来理解“拆家”的过程。一个面积为 \( ab \) 的大长方形，它的边长可以表示为 \( \sqrt{ab} \)。同时，我们可以将它看作是由两个小长方形拼接而成，它们的面积分别是 \( a \) 和 \( b \)，那么整个大长方形的边长，就等于小长方形边长的乘积 \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)。这从几何上直观证明了 \( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)。
公式：\( \sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
看，左边一整个大房子的边长 \( \sqrt{ab} \)，等于右边两个小单间边长 \( \sqrt{a} \) 和 \( \sqrt{b} \) 的乘积。它们围成的总面积是相等的。
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：错误拆分“和”与“差”，如认为 \( \sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b} \)。
✅ 正解：积商法则只适用于乘法和除法，对加减法不成立！\( \sqrt{a + b} \) 是一个不可拆分的整体“套房”。 - ❌ 错误2：忽略“住户”的非负性，在 \( a \)， \( b \) 可能为负数时直接拆分，如 \( \sqrt{(-4) \times (-9)} = \sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9} \)。
✅ 正解：必须确保被开方数 \( a \ge 0 \)， \( b \ge 0 \) 时才可拆分。正确做法：\( \sqrt{(-4) \times (-9)} = \sqrt{36} = 6 \)，而 \( \sqrt{-4} \) 在实数范围内无意义。
🔥 三例题精讲
例题1：化简 \( \sqrt{50} + \sqrt{32} - \sqrt{18} \)
📌 解析：这道题需要先给每个“房子”分家，找出可以搬出去的“整数住户”。
1. 拆分：\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)。
2. 拆分：\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)。
3. 拆分：\( \sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)。
4. 合并同类项（合住相同“单间”的住户）：\( 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = (5+4-3)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)。
✅ 总结：先分家化简，再合并同类“根式单间”。
例题2：计算 \( \sqrt{12} \times \sqrt{27} \div \sqrt{3} \)
📌 解析：这里有乘有除，我们可以选择先让所有“住户”合住一个大房子，再统一分家。
1. 合住：利用积商法则合并：\( \frac{\sqrt{12} \times \sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12 \times 27}{3}} \)。
2. 简化内部：计算根号内：\( \frac{12 \times 27}{3} = \frac{324}{3} = 108 \)。得到 \( \sqrt{108} \)。
3. 再次分家化简：\( \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \)。
✅ 总结：乘除混合时，先合并进一个根号往往更简便。
例题3：已知一个长方形花园的面积为 \( 24 \) 平方米，长是宽的 \( \frac{3}{2} \) 倍。求这个花园的周长。
设宽为 \( w \) 米，则长为 \( \frac{3}{2}w \) 米。
根据面积：\( w \times \frac{3}{2}w = 24 \) → \( \frac{3}{2}w^2 = 24 \) → \( w^2 = 16 \) → \( w = 4 \) (舍负)。
因此长 \( l = \frac{3}{2} \times 4 = 6 \) 米。
周长 \( P = 2 \times (l + w) = 2 \times (6 + 4) = 20 \) 米。
✅ 总结：利用面积公式建立方程，本质是积的运算，求出边长后，周长是边长的和。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 化简：\( \sqrt{8} \)。
- 化简：\( \sqrt{45} \)。
- 计算：\( \sqrt{3} \times \sqrt{12} \)。
- 计算：\( \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \)。
- 化简：\( \sqrt{\frac{25}{36}} \)。
- 计算：\( 2\sqrt{5} \times 3\sqrt{10} \)。
- 化简：\( \sqrt{72} \)。
- 计算：\( \frac{\sqrt{20} + \sqrt{45}}{\sqrt{5}} \)。
- 一个正方形面积为 \( 28 \) cm²，其边长是多少？(保留根号形式)
- 判断对错：\( \sqrt{4 + 9} = 2 + 3 \)。
第二关：中考挑战（10道）
- 若 \( a = \sqrt{8} + \sqrt{18} \)， \( b = \sqrt{32} \)，比较 \( a \) 与 \( b \) 的大小。
- 计算：\( (\sqrt{6} - 2\sqrt{2}) \times \sqrt{3} - \sqrt{\frac{1}{2}} \)。
- 已知 \( x = \sqrt{5} - 1 \)，求 \( x^2 + 2x + 1 \) 的值。
- 实数 \( a \)， \( b \) 在数轴上的位置如图，化简 \( \sqrt{a^2} - |a - b| + \sqrt{(b-a)^2} \)。
（提示：此处本应有简单数轴SVG图，显示 a<0|b|） - 最简二次根式 \( \sqrt{2m-1} \) 与 \( \sqrt{7} \) 是同类二次根式，求 \( m \) 的值。
- 计算：\( \sqrt{12} - 3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27} \)。
- 若 \( \sqrt{18-n} \) 是整数，求自然数 \( n \) 的值。
- 已知 \( \sqrt{x-2} + \sqrt{2-x} = y+3 \)，求 \( y^x \) 的值。
- 观察规律：\( \sqrt{1+\frac{1}{3}} = 2\sqrt{\frac{1}{3}} \)， \( \sqrt{2+\frac{1}{4}} = 3\sqrt{\frac{1}{4}} \)， \( \sqrt{3+\frac{1}{5}} = 4\sqrt{\frac{1}{5}} \)，... 请用含 \( n \) (n≥1) 的等式表示规律，并证明。
- 一个直角三角形的两条直角边分别为 \( \sqrt{12} \) cm 和 \( \sqrt{27} \) cm，求斜边的长度。
第三关：生活应用（5道）
- 电视尺寸：电视机尺寸（英寸）指的是屏幕对角线的长度。已知屏幕长宽比为 16:9，一台 65 英寸的电视，其屏幕面积大约是多少平方英寸？（提示：设比例系数，用勾股定理表示对角线，求出长宽，再算面积）
- 建筑设计：为节省材料，设计师想将一个面积为 \( 150 \) 平方米的正方形房间，改为一个面积不变的长方形房间，且新房间的长是宽的 \( \frac{3}{2} \) 倍。求新房间的周长比原正方形房间的周长增加了多少米？
- 物理中的计算：单摆的周期公式为 \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)，其中 \( l \) 是摆长， \( g \) 是重力加速度（约为 \( 9.8 \) m/s²）。如果一个摆长为 \( 0.5 \) 米的单摆周期是 \( T_1 \)，另一个摆长为 \( 2.0 \) 米的单摆周期是 \( T_2 \)，求 \( T_2 \) 是 \( T_1 \) 的几倍？
- 金融建模：复利公式中，资产翻倍所需的年数 \( n \) 可以用“72法则”近似估算（\( n \approx \frac{72}{100r} \)， \( r \) 为年利率）。更精确的公式是 \( n = \frac{\ln 2}{\ln (1+r)} \)。当 \( r = 8\% \) 时，用计算器验证精确公式，并利用 \( \ln(ab) = \ln a + \ln b \) 的“积的对数法则”，思考它与我们今天学的“根式的积法则”在数学思想上的共通之处。
花坛规划：一个圆形花坛的面积是 \( 48\pi \) 平方米。园艺师想在花坛外圈铺一条宽度均匀的步道，使得步道外侧构成的大圆面积是花坛面积的 \( \frac{4}{3} \) 倍。求步道的宽度。
（提示：设花坛半径 r，大圆半径 R，则有 πR² = (4/3)πr²）
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：积商法则 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难点主要有两个。一是概念混淆，误将法则推广到加减法，如 \( \sqrt{a^2 \pm b^2} = a \pm b \)。二是操作不系统，面对复杂式子不知从何下手。关键要牢记法则的适用范围（仅乘除），并掌握“先看整体结构，决定先合还是先分”的思考流程。例如，看到 \( \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} \)，应立刻想到可以合为 \( \sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3 \)，而不是先化简 \( \sqrt{18} \)。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：它是代数运算的基石之一。1. 函数与方程：为解根式方程（如 \( \sqrt{x+1} = x-1 \)）和求函数定义域（如 \( y=\sqrt{x(x-2)} \)）奠定基础。2. 几何：在勾股定理、距离公式、三角函数化简中无处不在。例如，平面直角坐标系中两点距离 \( AB = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} \)，化简时可能需要处理根号下的平方项。3. 更高级的数学：指数、对数运算律（如 \( a^{m+n} = a^m \cdot a^n \)）与此同源，都是描述“同底数运算”的拆分与合并，思想一脉相承。
问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？
答：可以遵循“一合二分三化简”的步骤。面对混合运算：第一步“合”，优先将乘除运算利用 \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \) 和 \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) 合并成一个根号。这能极大简化式子结构。第二步“分”，对合并后的根号内的数进行因数分解，寻找可以开方的完全平方数因数。第三步“化简”，利用 \( \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \) 将完全平方数开出根号。记住这个流程，能解决绝大部分基础到中等的题目。
答案与解析
第一关：基础热身
1. \( 2\sqrt{2} \)。
2. \( 3\sqrt{5} \)。
3. \( \sqrt{36} = 6 \)。
4. \( \sqrt{16} = 4 \)。
5. \( \frac{5}{6} \)。
6. \( 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2} \)。
7. \( 6\sqrt{2} \)。
8. \( \frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 5 \)。
9. 边长 \( = \sqrt{28} = 2\sqrt{7} \) cm。
10. 错。\( \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \neq 5 \)。
第二关：中考挑战
1. \( a = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \)， \( b = 4\sqrt{2} \)，所以 \( a > b \)。
2. 原式 \( = \sqrt{18} - 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt{2} - 2\sqrt{6} \)。
3. \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \)。
4. 由数轴知 a<0， b>0， 且 a-b<0。原式 \( = |a| - |a-b| + |b-a| = (-a) - [-(a-b)] + (b-a) = -a + a - b + b - a = -a \)。
5. 由题意，\( 2m-1 = 7 \)，解得 \( m = 4 \)。
6. 原式 \( = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)。
7. \( \sqrt{18-n} \) 为整数，则 \( 18-n \) 可为 0, 1, 4, 9, 16。对应 \( n = 18, 17, 14, 9, 2 \)。
8. 由被开方数非负，得 \( x-2 \ge 0 \) 且 \( 2-x \ge 0 \)，所以 \( x=2 \)。代入得 \( 0+0=y+3 \)， \( y=-3 \)。故 \( y^x = (-3)^2 = 9 \)。
9. 规律：\( \sqrt{n + \frac{1}{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \)。证明：左边 \( = \sqrt{\frac{n(n+2)+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}} = \sqrt{\frac{(n+1)^2}{n+2}} = \frac{n+1}{\sqrt{n+2}} = (n+1)\sqrt{\frac{1}{n+2}} \) = 右边。
10. 斜边 \( c = \sqrt{(\sqrt{12})^2 + (\sqrt{27})^2} = \sqrt{12 + 27} = \sqrt{39} \) cm。
第三关：生活应用
1. 设宽为 \( 9k \)，长为 \( 16k \)。对角线 \( = \sqrt{(9k)^2 + (16k)^2} = \sqrt{337k^2} = k\sqrt{337} = 65 \)。解得 \( k = \frac{65}{\sqrt{337}} \)。面积 \( = (16k)(9k) = 144k^2 = 144 \times \frac{65^2}{337} \approx 144 \times 12.54 \approx 1805.8 \) 平方英寸。
2. 原正方形边长 \( \sqrt{150} = 5\sqrt{6} \) 米，周长 \( 20\sqrt{6} \) 米。新长方形：设宽 \( w \)，则 \( \frac{3}{2}w^2 = 150 \)， \( w=10 \) 米，长 \( 15 \) 米。新周长 \( = 50 \) 米。周长差 \( = 50 - 20\sqrt{6} \) 米。
3. 由 \( \pi R^2 = \frac{4}{3} \pi r^2 \) 得 \( R^2 = \frac{4}{3} r^2 \)， \( R = \frac{2}{\sqrt{3}} r = \frac{2\sqrt{3}}{3} r \)。又 \( \pi r^2 = 48\pi \)， \( r^2=48 \)， \( r=4\sqrt{3} \)。则 \( R = \frac{2\sqrt{3}}{3} \times 4\sqrt{3} = 8 \) 米。步道宽 \( = R - r = 8 - 4\sqrt{3} \) 米。
4. \( T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{g}} \)， \( T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{2.0}{g}} \)。所以 \( \frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{2.0}{0.5}} = \sqrt{4} = 2 \) 倍。
5. 精确计算：\( n = \frac{\ln 2}{\ln 1.08} \approx \frac{0.6931}{0.0770} \approx 9.00 \) 年。72法则：\( \frac{72}{8} = 9 \) 年。共通思想：两者都是将复杂运算（开方、对数）通过法则转化为更简单的乘除运算，体现了“化繁为简”和“运算转化”的核心数学思想。
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