容斥原理二量重叠问题详解：公式推导、解题步骤与易错点解析[含练习题PDF]

💡 阿星精讲：容斥原理：二量重叠 原理

• 核心概念：嘿，大家好！我是阿星。想象一下，我们班要选语文和数学课代表。有些同学只想当语文课代表，有些只想当数学课代表，还有几位学霸同学，两科都想当！如果我们傻乎乎地把语文课代表名单和数学课代表名单直接加在一起，那几位学霸同学就被重复计算了两次。这就像把两个肥皂泡靠在一起，中间会重叠一块。所以，要想知道至少当一科课代表的总人数，正确的算法是：两圈相加 - 中间重叠 = 总人数。这就是容斥原理的精髓——“容”纳进来，“斥”排除出去，不多算，也不少算！
• 计算秘籍：
  1. 画圈圈： 画两个有重叠部分的圆圈，一个代表集合 \( A \)（比如语文课代表），一个代表集合 \( B \)（比如数学课代表）。
  2. 标数字： 把已知的人数填进对应区域。特别注意重叠部分 \( A \cap B \)（既在A圈又在B圈）。
  3. 套公式： 计算“至少属于一个集合”的总人数，公式为：
     \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \]
     这里的 \( |A| \) 表示集合 \( A \) 的元素个数，符号 \( \cup \) 是“并集”（所有在A或B中的人），\( \cap \) 是“交集”（同时在A和B中的人）。
• 阿星口诀： “两圈相加，重叠减掉，不多不少，总数正好。”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：求总人数时，直接把两个数量 \( |A| \) 和 \( |B| \) 相加。
  
  ✅ 正解：一定要检查是否有“重叠”部分（既属于A又属于B），有的话必须减去一次，公式为 \( |A| + |B| - |A \cap B| \)。
• ❌ 错误2：看到题目问“至少会一种…”，想当然用加法或减法。
  
  ✅ 正解：“至少会一种”就是求 \( |A \cup B| \)，经典场景就是“两圈相加减重叠”。务必先明确哪些是集合A，哪些是集合B。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 班上有 \( 28 \) 人会唱歌，\( 24 \) 人会跳舞，其中既会唱歌又会跳舞的有 \( 8 \) 人。至少会一样的有多少人？
2. 图书馆里，借了故事书的有 \( 40 \) 人，借了科技书的有 \( 35 \) 人，两本都借的有 \( 15 \) 人。请问只借了故事书的有多少人？
3. 一个小组有 \( 45 \) 人，喜欢吃苹果的有 \( 30 \) 人，喜欢吃香蕉的有 \( 25 \) 人，两种都喜欢的有 \( 10 \) 人。两种都不喜欢的有几人？
4. 用 \( 0, 1, 2, 3 \) 能组成多少个两位数？其中能被 \( 2 \) 整除或能被 \( 3 \) 整除的数有多少个？
5. 运动会报名，参加跳绳的有 \( 22 \) 人，参加踢毽的有 \( 18 \) 人，两项都参加的有 \( 6 \) 人。只参加一项比赛的有多少人？
6. 三（2）班有学生 \( 42 \) 人，订阅《儿童文学》的有 \( 28 \) 人，订阅《我们爱科学》的有 \( 32 \) 人，每人至少订阅一种。两种杂志都订阅的有几人？
7. 一次测验，语文优秀的有 \( 36 \) 人，数学优秀的有 \( 29 \) 人，两科都优秀的有 \( 17 \) 人。全班 \( 50 \) 人中，两科都没有达到优秀的有几人？
8. 自然数 \( 1 \) 到 \( 50 \) 中，是 \( 3 \) 的倍数或是 \( 5 \) 的倍数的数共有多少个？
9. 乐器班，会弹钢琴的有 \( 20 \) 人，会拉小提琴的有 \( 16 \) 人，两种都不会的有 \( 4 \) 人，两种都会的有 \( 7 \) 人。这个乐器班总共有多少人？
10. 两个圆相交，大圆A的面积代表集合A的元素数，小圆B的面积代表集合B的元素数，重叠部分代表什么？用公式表示两个圆覆盖的总面积。

第二关：奥数挑战（10道）

1. \( 1 \) 到 \( 200 \) 这 \( 200 \) 个自然数中，既不是 \( 3 \) 的倍数也不是 \( 5 \) 的倍数的数有多少个？
2. 某班有 \( 46 \) 人，其中会下象棋的有 \( 24 \) 人，会下围棋的有 \( 20 \) 人，两种棋都不会的有 \( 12 \) 人。两种棋都会下的有多少人？
3. 一次考试，数学得满分的有 \( 28 \) 人，语文得满分的有 \( 32 \) 人，英语得满分的有 \( 30 \) 人。数学和语文都得满分的有 \( 15 \) 人，数学和英语都得满分的有 \( 12 \) 人，语文和英语都得满分的有 \( 14 \) 人，三门都得满分的有 \( 8 \) 人。那么至少有一门得满分的学生有多少人？(提示：想想三个圈怎么容斥)
4. 在 \( 100 \) 名学生中，有音乐爱好者 \( 53 \) 人，体育爱好者 \( 72 \) 人，那么音乐和体育都爱好的学生至少有多少人？至多有多少人？
5. 从 \( 1 \) 到 \( 1000 \) 中，不能被 \( 7 \) 整除也不能被 \( 9 \) 整除的数有多少个？
6. 某校举办绘画展，水彩画和蜡笔画共 \( 80 \) 幅。其中蜡笔画有 \( 56 \) 幅，水彩画有 \( 40 \) 幅。问两种画各有多少幅？
7. 五（1）班学生去郊游，带矿泉水的有 \( 36 \) 人，带水果的有 \( 29 \) 人，既带矿泉水又带水果的有 \( 17 \) 人。每人至少带了其中一样。这个班共有学生多少人？
8. 一个班有 \( 45 \) 名学生，老师统计兴趣爱好：喜欢打篮球的有 \( 26 \) 人，喜欢画画的有 \( 25 \) 人，喜欢唱歌的有 \( 22 \) 人。既喜欢打篮球又喜欢画画的有 \( 12 \) 人，既喜欢画画又喜欢唱歌的有 \( 10 \) 人，既喜欢打篮球又喜欢唱歌的有 \( 9 \) 人。三项都喜欢的有 \( 5 \) 人。请问三项都不喜欢的有多少人？
9. 外语学校共有英语、法语、日语老师共 \( 27 \) 人，其中只能教英语的有 \( 8 \) 人，只能教日语的有 \( 6 \) 人，能教英语和日语的有 \( 5 \) 人，能教法语和日语的有 \( 3 \) 人，能教英语和法语的有 \( 4 \) 人，三种都能教的只有 \( 1 \) 人。请问只能教法语的老师有多少人？
10. 求在 \( 1 \) 到 \( 100 \) 的所有整数中，能被 \( 2 \) 或 \( 3 \) 或 \( 5 \) 整除的数的个数。

第三关：生活应用（5道）

1. 【AI算法】 一个AI图像识别系统，在测试集 \( 1000 \) 张图片中，能识别出猫的图片有 \( 780 \) 张，能识别出狗的图片有 \( 650 \) 张。系统日志显示，既能识别猫又能识别狗的图片有 \( 500 \) 张。请问，有多少张图片系统至少能识别出猫或狗中的一种？有多少张图片两种都识别失败？
2. 【航天科技】 某航天项目组有工程师 \( 120 \) 人。其中精通轨道动力学 (\( A \)) 的有 \( 78 \) 人，精通材料科学 (\( B \)) 的有 \( 64 \) 人。项目需要组建一个跨学科小组，要求成员至少精通 \( A \) 或 \( B \) 中的一门。已知两组都精通的有 \( 30 \) 人。这个小组最多可以有多少人？最少需要从组外抽调多少名至少精通一门的工程师，才能使小组达到满编 \( 100 \) 人？
3. 【网购数据分析】 某电商平台分析用户行为，在一周内，浏览过手机类目的用户 (\( M \)) 有 \( 10 \) 万，浏览过电脑类目的用户 (\( C \)) 有 \( 8 \) 万。平台营销系统发现，同时浏览过两个类目的用户 (\( M \cap C \)) 会有更高的购买转化率。如果平台知道至少有 \( 15 \) 万用户浏览过手机或电脑类目，那么同时浏览两个类目的用户至少有多少万？
4. 【社交媒体】 阿星发布了一条关于“容斥原理”和“课代表”的趣味视频。后台数据显示，通过“数学知识”标签看到视频的用户 (\( A \)) 有 \( 5000 \) 人，通过“校园生活”标签看到视频的用户 (\( B \)) 有 \( 4500 \) 人。视频总播放量（不重复用户）为 \( 8000 \) 次。请问，有多少用户同时通过两个标签看到了这条视频？
5. 【疫情防控】 某社区有居民 \( 2000 \) 人，需统计接种疫苗情况。已知接种了第一针疫苗 (\( Dose1 \)) 的有 \( 1600 \) 人，接种了第二针疫苗 (\( Dose2 \)) 的有 \( 1300 \) 人。社区目标：两针都完成接种的人数 (\( Dose1 \cap Dose2 \)) 要达到 \( 1250 \) 人。在已接种人群中，至少还需要督促多少名只打了第一针的人去打第二针，才能达成目标？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 28 + 24 - 8 = 44 \) (人)
2. 只借故事书：\( 40 - 15 = 25 \) (人)
3. 至少喜欢一种：\( 30 + 25 - 10 = 45 \) (人)，都不喜欢：\( 45 - 45 = 0 \) (人)
4. 两位数：\( 3 \times 4 = 12 \) 个。能被2整除（偶数）：个位 \( 0, 2 \)，共 \( 3 \times 2 = 6 \) 个。能被3整除：\( 12, 21, 30 \)，共 \( 3 \) 个。重叠（既能被2又能被3，即6的倍数）：\( 30 \) 一个。所以答案：\( 6 + 3 - 1 = 8 \) 个。
5. 只参加一项：(\( 22 - 6 \)) + (\( 18 - 6 \)) = \( 16 + 12 = 28 \) (人)
6. \( 28 + 32 - 42 = 18 \) (人)
7. 至少一科优秀：\( 36 + 29 - 17 = 48 \) (人)，都不优秀：\( 50 - 48 = 2 \) (人)
8. \( 3 \)的倍数：\( \lfloor 50/3 \rfloor = 16 \)，\( 5 \)的倍数：\( \lfloor 50/5 \rfloor = 10 \)，\( 15 \)的倍数：\( \lfloor 50/15 \rfloor = 3 \)。答案：\( 16 + 10 - 3 = 23 \) 个。
9. 至少会一种：\( (20 + 16 - 7) = 29 \)，总人数：\( 29 + 4 = 33 \) (人)
10. 重叠部分代表 \( A \cap B \)。总面积公式：\( |A| + |B| - |A \cap B| \) 或 \( |A \cup B| \)。

第二关：奥数挑战

1. \( 3 \)的倍数：\( \lfloor 200/3 \rfloor = 66 \)，\( 5 \)的倍数：\( \lfloor 200/5 \rfloor = 40 \)，\( 15 \)的倍数：\( \lfloor 200/15 \rfloor = 13 \)。至少一个：\( 66 + 40 - 13 = 93 \)。都不是：\( 200 - 93 = 107 \)。
2. 至少会一种棋：\( 46 - 12 = 34 \) (人)。都会：\( 24 + 20 - 34 = 10 \) (人)。
3. （三量容斥）\( 28 + 32 + 30 - 15 - 12 - 14 + 8 = 57 \) (人)。
4. 至少：当音乐爱好者全部包含在体育爱好者中时，都爱好的人数最少，为 \( 72 - (100-53) = 25 \) 人。至多：当音乐和体育爱好者交集最大时，为 \( 53 \) 人（所有音乐爱好者也爱体育）。
5. 能被7整除：\( \lfloor 1000/7 \rfloor = 142 \)，能被9整除：\( \lfloor 1000/9 \rfloor = 111 \)，能被63整除：\( \lfloor 1000/63 \rfloor = 15 \)。至少一个：\( 142 + 111 - 15 = 238 \)。都不能：\( 1000 - 238 = 762 \)。
6. 设两种画都有 \( x \) 幅。则 \( 56 + 40 - x = 80 \)，解得 \( x = 16 \)。所以只蜡笔画：\( 56 - 16 = 40 \) 幅，只水彩画：\( 40 - 16 = 24 \) 幅。
7. \( 36 + 29 - 17 = 48 \) (人)
8. （使用三量容斥求至少喜欢一项的人数）至少一项：\( 26+25+22-12-10-9+5 = 47 \)。都不喜欢：\( 45 - 47 = -2 \)？数据有矛盾，说明题目数据可能出错了。实际计算为 \( 47 \) 人，已超过总人数，因此三项都不喜欢的人数为 \( 0 \) 人，且数据存在不合理重叠。
9. （画三圈韦恩图，从内向外标）设只教法语 \( x \) 人。总人数方程：\( 8+6+x+ (5-1)+(3-1)+(4-1) + 1 = 27 \)。解得：\( 8+6+x+4+2+3+1=27 \)，\( 24+x=27 \)，\( x=3 \)。
10. 能被2整除：\( 50 \)个，能被3整除：\( 33 \)个，能被5整除：\( 20 \)个。能被6整除：\( 16 \)个，能被10整除：\( 10 \)个，能被15整除：\( 6 \)个，能被30整除：\( 3 \)个。代入三量容斥公式：\( 50+33+20-16-10-6+3 = 74 \)个。

第三关：生活应用

1. 至少一种：\( 780 + 650 - 500 = 930 \) (张)。都失败：\( 1000 - 930 = 70 \) (张)。
2. 小组最多人数（所有工程师至少精通一门）：\( 78 + 64 - 30 = 112 \) 人。但项目组只有 \( 120 \) 人，且 \( 112 < 120 \)，所以最多就是 \( 112 \) 人。目前已满足条件的人数就是 \( 112 \) 人。要达到 \( 100 \) 人小组，已满足，不需要抽调。但题目问“抽调…使达到满编 \( 100 \) 人”，逻辑是现有 \( 112 \) 人 > \( 100 \) 人，所以无需抽调。若理解为从这 \( 112 \) 人中选 \( 100 \) 人，则抽调 \( 0 \) 人。
3. 设同时浏览为 \( x \) 万。则 \( 10 + 8 - x \ge 15 \) (\( \ge \)因为“至少15万”)。解得 \( x \le 3 \)。所以同时浏览的至少？不，是至多 \( 3 \) 万。问题问“至少”，根据公式 \( |M \cap C| = |M| + |C| - |M \cup C| \)，当 \( |M \cup C| \) 最大（为 \( 100 \) ）时，交集最小。但总用户数未知，已知 \( |M \cup C| \ge 15 \)，所以 \( |M \cap C| = 18 - |M \cup C| \le 18 - 15 = 3 \)。最小交集发生在 \( |M \cup C| \) 最大时，但最大不可能超过总用户数，题目未给，所以无法确定最小，只能确定最大为 \( 3 \) 万。原题措辞“至少有多少万”在数学上不严谨，应改为“至多”。
4. \( 5000 + 4500 - 8000 = 1500 \) (人)。
5. 目前完成两针人数未知，设为 \( x \) 人。目前至少一针：\( 1600 + 1300 - x = 2900 - x \)。社区目标 \( x' = 1250 \)。目前只打第一针的人数为 \( 1600 - x \)。需要督促其中一部分人打第二针，使 \( x \) 增加到 \( 1250 \)。需要增加的人数为 \( 1250 - x \)。但 \( x \) 最大可能值为 \( 1300 \)（所有打第二针的都打了第一针），最小可能值为 \( 1300 + 1600 - 2000 = 900 \)（根据社区总人数约束）。题目隐含“在已接种人群中”操作，且目标是达到 \( 1250 \)。我们需要知道当前 \( x \)。若假设当前 \( x \) 就是满足容斥的最小值 \( 900 \)，则需要督促 \( 1250 - 900 = 350 \) 人。这是一个合理的应用计算。所以答案是 \( 350 \) 人。