还原问题：画图

知识要点

还原问题，也叫倒推问题，是已知一个数量经过一系列变化后的结果，要求我们求出这个数量原来是多少的一类问题。就像看一段“时光倒流”的电影，我们从最后的结果出发，一步步倒着推回最开始的情况。

💡 核心概念

我们可以把整个变化过程想象成一连串的“操作”，比如“加上一些”、“减去一些”、“变成几倍”、“分成几份”。解决这类问题的关键是：从结果出发，沿着与原来相反的方向，一步一步倒着推回去。画图（通常是线段图或流程图）能让我们把抽象的变化过程看得清清楚楚，是解决这类问题的“法宝”。

📝 计算法则（解题四步法）

1. 画图定起点：先画一条线段或一个方框，表示最终的结果。
2. 标出变化过程：从结果开始，一步步向前（向左）画，把题目中描述的变化顺序倒过来标在图上。记住一个原则：原来是加，倒推就是减；原来是减，倒推就是加；原来是乘，倒推就是除；原来是除，倒推就是乘。
3. 执行逆运算：根据图上标出的倒推过程，一步一步进行计算。
4. 检查验证：把求出的原数，按题目描述的正向过程算一遍，看结果是否与题目给出的最终结果一致。

🎯 记忆口诀

还原问题倒着走，画图帮忙是能手。

加变减来减变加，乘变除来除变乘。

一步一步往回算，答案出来要检验。

🔗 知识关联

• 加减法的互逆关系：加数 = 和 - 另一个加数；被减数 = 差 + 减数；减数 = 被减数 - 差。
• 乘除法的互逆关系：因数 = 积 ÷ 另一个因数；被除数 = 商 × 除数；除数 = 被除数 ÷ 商。
• 解决问题策略——画图法：在解决和差倍等问题时，我们已经学会了用线段图来表示数量关系。

易错点警示

• ❌ 错误1：顺着题意直接计算。题目说“先加上5，再减去3”，学生直接用结果去加5减3。

  ✅ 正解：必须从结果出发倒推。对于“先加5，再减3”得到的结果，倒推时应“先加3，再减5”。

• ❌ 错误2：逆运算的顺序弄错。倒推时，没有把原步骤顺序完全颠倒过来。

  ✅ 正解：原过程的最后一步，是倒推过程的第一步。像拆开一个包装盒，最后包上去的那层，要最先拆下来。

• ❌ 错误3：画图时数据标错或单位遗漏。图中只标了数字，没有说明这个数字代表什么，导致列式混乱。

  ✅ 正解：在线段图上清晰标出每一步变化的具体数量和单位，比如“增加5元”、“剩下的一半”等。

三例题精讲

🔥 例题1

小美有一些零花钱，她先买文具花去了一半，妈妈又奖励了她10元，这时她有30元。小美原来有多少零花钱？

最后：30元

（妈妈奖励前）

-10

20元

（花掉一半后剩下的一半）

×2

40元

（原来）

📌 第一步：确定终点。最后有30元。

📌 第二步：从后往前倒推。最后一步是“妈妈奖励10元”才变成30元，那么奖励前应该有：\( 30 - 10 = 20 \)（元）。这20元是花掉一半后剩下的。

📌 第三步：继续倒推。“花掉一半”后剩下20元，那么原来就是：\( 20 \times 2 = 40 \)（元）。

✅ 答案：小美原来有40元零花钱。

💬 总结：对于“花掉一半”（除以2），倒推就是“乘2”；对于“奖励10元”（加10），倒推就是“减10”。顺序完全相反。

🔥 例题2

一个数先加上8，再乘以4，然后减去12，最后得到60。这个数是多少？

📌 第一步：结果数是60。我们用一个方框流程图来倒推。

📌 第二步：最后一步是“减去12”得到60，那么在减之前是：\( 60 + 12 = 72 \)。

📌 第三步：上一步是“乘以4”得到72，那么在乘之前是：\( 72 \div 4 = 18 \)。

📌 第四步：第一步是“加上8”得到18，那么原来的数是：\( 18 - 8 = 10 \)。

✅ 答案：这个数是10。

💬 总结：对于连续多次变化的问题，画流程图（□→□→□）比线段图更清晰。严格遵循“逆运算”和“反顺序”。

🔥 例题3

货架上有一批玩具。第一天卖出总数的一半多3个，第二天卖出剩下的一半少2个，这时货架上还剩15个玩具。这批玩具有多少个？

最后剩下：15个

+2

第二天卖之前：(15-2)×2=26个

+3

第一天卖之前：(26+3)×2=58个

📌 第一步：最终剩下15个。这是第二天卖完后剩下的。

📌 第二步：倒推第二天情况。第二天卖出“剩下的一半少2个”，那么这15个，就是比“第一天剩下的一半”还要多2个。所以，第一天剩下的数量的一半是：\( 15 - 2 = 13 \)（个）。那么第一天剩下的总数就是：\( 13 \times 2 = 26 \)（个）。

📌 第三步：倒推第一天情况。第一天卖出“总数的一半多3个”，那么这26个，就是比“总数的一半”还要少3个。所以，总数的一半是：\( 26 + 3 = 29 \)（个）。那么原来的总数就是：\( 29 \times 2 = 58 \)（个）。

✅ 答案：这批玩具有58个。

💬 总结：遇到“一半多几”或“一半少几”时，倒推要格外小心。“一半多3个”剩下的是“一半少3个”；“一半少2个”剩下的是“一半多2个”。画线段图能直观地看出这个关系。

练习题（10道）

1. 一个数加上25，再减去18，等于42。这个数是多少？
2. 小明的年龄乘以3，再减去5，等于22岁。小明多少岁？
3. 一根绳子，先用去一半，再用去剩下的一半，这时还剩5米。这根绳子原来有多长？
4. 奶奶买来一袋糖，小明第一天吃了全部的一半，第二天吃了剩下糖的一半，还剩下6块。奶奶一共买了多少块糖？
5. 一个数先乘6，再除以4，结果是9。求这个数。
6. 树上有一群鸟，第一次飞走一半多2只，第二次飞走剩下的一半少1只，最后树上还剩8只鸟。最初树上有多少只鸟？
7. 甲、乙、丙三人共有96张卡片，甲给乙12张，乙给丙8张，丙给甲5张后，三人的卡片数相等。原来甲有多少张卡片？
8. 一个书架有三层，共有图书120本。如果从第一层拿10本到第二层，再从第二层拿5本到第三层，那么三层书架的书就一样多。原来第二层有多少本书？
9. 一个数，把它加上5，再乘以4，然后减去20，最后除以5，结果是8。这个数是多少？
10. 仓库里有一批粮食。第一次运出总数的一半少5吨，第二次运出剩下的一半多3吨，结果仓库里还剩10吨粮食。这批粮食原来有多少吨？

奥数挑战（10道）

1. 三棵树上共有48只鸟。从第一棵飞到第二棵6只，从第二棵飞到第三棵4只，从第三棵飞到第一棵8只后，三棵树上的鸟就相等了。原来第一棵树上有多少只鸟？
2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少5米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原来长多少米？
3. 甲、乙、丙三个组共有图书90本。如果乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组所有图书刚好相等。问三个组原来各有图书多少本？
4. 一筐苹果，爸爸取走一半少1个，妈妈取走余下的一半多1个，小明取走剩下的5个，这筐苹果正好拿完。这筐苹果原来有多少个？
5. 有甲、乙两堆小球，先从甲堆拿出和乙堆同样多的小球放入乙堆，再从乙堆拿出和甲堆（此时甲堆已变化）同样多的小球放入甲堆，这时两堆小球恰好都是32个。甲、乙两堆最初各有多少个小球？
6. 一个数减16加上24，再除以7得9。这个数是多少？
7. 某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元，这时他的存折上还剩1250元。他原有存款多少元？
8. 一桶油，第一次倒出全部的一半多2千克，第二次倒出余下的一半少1千克，第三次倒出此时余下的一半多3千克，桶里还剩下5千克。这桶油原有多少千克？
9. 甲、乙、丙三人各有邮票若干张。如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么三人各有邮票40张。原来甲有多少张邮票？
10. 一根木杆，第一次截去了总长的一半多2米，第二次截去了剩下的一半少1米，第三次截去了3米，还剩5米。这根木杆原来长多少米？

生活应用（5道）

1. （网购） 小东用他的零花钱在网上买书。他先付了书款的一半，妈妈又帮他支付了剩余金额中的50元，最后小东自己又付了30元结清。如果书的总价是200元，那么妈妈支付50元后，小东还应付多少元？（本题意在理解还原过程中的中间状态）
2. （环保回收） 智慧回收箱统计：本周回收的塑料瓶数量，经过分拣后，可利用的部分是总数的一半多50个，剩下的不可利用部分中，又有三分之一被错误投递。若已知错误投递的有20个，本周一共回收了多少个塑料瓶？

（高铁出行） 一列高铁从A站出发，车上有若干乘客。在B站下车的人数比车上原有人数的一半少10人，上车人数是此时车上人数的一半多5人。到达C站时车上有乘客180人。求从A站出发时车上有多少乘客？

3. （AI对话） 一个AI语言模型在训练时，训练数据量先增加了一倍，后因数据清洗去掉了100GB，再进行一次增强学习，数据量变为原来的1.5倍，最终总数据量达到900GB。最初的训练数据量是多少GB？
4. （航天燃料） 火箭某级燃料罐中的燃料，第一次点火消耗了总量的 \( \frac{2}{5} \) 多10吨，第二次点火消耗了剩余燃料的 \( \frac{1}{3} \) 少5吨，此时罐内还剩燃料80吨。这个燃料罐最初装有燃料多少吨？