环形跑道追及问题全解析：五大题型、公式推导与练习题下载 | 行程问题专题
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2025-12-20
环形跑道：追及问题学习资料
知识要点
💡 核心概念：环形跑道上的追及问题，就像两个人在圆形操场上赛跑。如果两个人从同一地点、同时、同向出发，那么跑得快的人最终会超过跑得慢的人一圈，从而“追上”他。这里“追上”的意思是快的人刚好比慢的人多跑了一整圈（或多圈）。核心关系是：追及路程差 = 速度差 × 追及时间。在环形跑道中，这个“路程差”通常就是跑道的周长，或者周长的整数倍。
📝 计算法则：
- 确定对象与方向：明确是同向追及（速度用减法）还是反向相遇（速度用加法，本题不涉及）。
- 寻找速度差：同向追及时，快速度减去慢速度，得到速度差。公式：\( v_{\text{差}} = v_{\text{快}} - v_{\text{慢}} \)。
- 明确路程差：追上一次，快者比慢者多跑的路程就是一圈的长度。如果追上n次，路程差就是 \( n \) 圈的长度。
- 列式计算时间：利用公式：\( \text{追及时间} = \frac{\text{追及路程差（一圈长度）}}{\text{速度差}} \)。
- 检查单位：确保速度、时间、长度单位一致（如米/秒、秒、米）。
🎯 记忆口诀：同地同时同向跑，追上一次差一圈。快减慢得速度差，路程差除它得时间。
🔗 知识关联：本课知识建立在以下基础之上：
- 追及问题：（直线）路程差 = 速度差 × 时间。
- 圆的周长：环形跑道的周长计算，\( C = \pi d \) 或 \( C = 2\pi r \)。
- 速度、时间、路程关系：\( s = v \times t \)。
易错点警示
❌ 错误1：弄错方向，把同向追及当成相遇问题，用速度和计算。
✅ 正解：牢记“同向追及用速度差，反向相遇用速度和”。题目说“追上”、“超过”、“再次并排”通常指同向追及。
❌ 错误2：单位不统一，如速度是“米/秒”，时间却用“分钟”，或周长是“千米”，速度是“米/秒”。
✅ 正解：计算前先统一单位。常用换算：1分钟=60秒，1千米=1000米。
❌ 错误3：对“路程差”理解错误，认为追上时两人跑的路程相等。
✅ 正解：同向追及时，快者永远比慢者多跑。从出发到追上，快者比慢者多跑的那部分路程，正好是跑道周长的整数倍。追上一次，路程差就是一圈的长度。
三例题精讲
🔥 例题1：小明和小华在一条400米的环形跑道上跑步。小明每秒跑6米，小华每秒跑4米。两人从同一地点同时同向出发，多长时间后小明第一次追上小华？
📌 第一步：确定是同向追及问题。小明快，小华慢。
📌 第二步：计算速度差。\( v_{\text{差}} = 6 - 4 = 2 \) (米/秒)。
📌 第三步：明确路程差。追上一次，小明要比小华多跑一圈，即400米。代入公式：\( \text{时间} = \frac{400}{2} = 200 \) (秒)。
✅ 答案：\( 200 \) 秒后小明第一次追上小华。
💬 总结：这是最基础的环形追及问题，直接套用“时间 = 周长 ÷ 速度差”。
🔥 例题2：在周长为300米的环形跑道上，甲、乙两人从同一地点出发。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4.5米/秒。乙先出发10秒后，甲才开始同向追赶。问甲出发后多久第一次追上乙？
📌 第一步：分析“提前出发”。乙先跑10秒，路程为 \( 4.5 \times 10 = 45 \) 米。此时甲才出发，两人开始“追及游戏”。
📌 第二步：此时，甲要追的不再是“一圈”，而是乙提前跑的那45米。但是！当甲追上乙时，甲比乙多跑了多少？因为是在环形跑道上，甲可能比乙多跑了一圈、两圈……再加上乙提前跑的45米？这样想太复杂。
📌 第三步：换一个角度。从甲出发那一刻算起，到甲追上乙为止：
- 甲跑的路程：\( S_{\text{甲}} = 5 \times t \) (t是甲出发后的时间)
- 乙跑的路程（总）：\( S_{\text{乙总}} = 45 + 4.5 \times t \)
- 追上的条件：\( S_{\text{甲}} - S_{\text{乙总}} = n \times 300 \) (n为整数，表示多跑的圈数)
第一次追上，n=1。所以：\( 5t - (45 + 4.5t) = 300 \)。
✅ 答案：解方程：\( 0.5t - 45 = 300 \)，\( 0.5t = 345 \)，\( t = 690 \) 秒。
💬 总结：对于“提前出发”或“不同起点”的问题，关键是找到从“开始追的时刻”到“追上的时刻”这段时间里，两人路程的差。
🔥 例题3：小王和小李在环形跑道上练习跑步。已知两人同时从同一地点同向出发，小王每3分钟追上小李一次。如果两人速度都不变，小王的速度是每分钟200米，小李的速度是每分钟160米。请问跑道周长是多少米？
📌 第一步：已知追及时间（3分钟）和两人的速度。
📌 第二步：计算速度差。\( v_{\text{差}} = 200 - 160 = 40 \) (米/分)。
📌 第三步：根据公式：追及路程差（一圈长） = 速度差 × 追及时间。所以一圈长度 = \( 40 \times 3 = 120 \) (米)。
✅ 答案：跑道周长是 \( 120 \) 米。
💬 总结：这是已知追及时间和速度求周长的逆运算，公式变形要熟练。
练习题（10道）
- 一个环形跑道周长是500米。小张和小王从起点同向出发，小张速度300米/分，小王速度250米/分。小张第一次追上小王需要几分钟？
- 在一个周长800米的环形湖上划船，A船速度是200米/分，B船速度是150米/分。两船从码头同向出发，多少分钟后A船第一次超过B船？
- 甲、乙在240米的环形跑道上跑步。甲的速度是6米/秒，乙的速度是4米/秒。如果两人从同一地点背向而跑（反向），多久相遇？如果同向而跑，甲多久追上乙？（对比练习）
- 环形跑道周长600米。小丽和小云同向跑步，小丽每分钟跑180米，小云每分钟跑120米。小云先跑了50米后，小丽才开始追。小丽能追上小云吗？如果能，需要多久？
- 一个圆形花园的步道周长是450米。爷爷和孙子同时同向散步，爷爷速度75米/分，孙子速度60米/分。爷爷第一次追上孙子时，两人各走了多少米？
- 甲、乙沿周长700米的环形跑道跑步。乙先跑50秒后，甲才开始同向追。甲的速度是7米/秒，乙的速度是5米/秒。甲出发后多少秒第一次追上乙？
- 环形跑道长未知。小明和小红同时同向跑，小明每跑8圈可以追上小红3次。已知小明速度是每秒5米，小红速度是每秒4米。求跑道周长。
- 在400米标准跑道上，进行800米赛跑。运动员A平均速度8米/秒，运动员B平均速度7.5米/秒。若两人同时同地出发，当A冲过终点时，B离终点还有多少米？此时A领先B多少米？（提示：800米要跑2圈）
- 一个环形跑道，甲乙同向竞走。甲走一圈需要8分钟，乙走一圈需要12分钟。两人从同一地点同时出发，多少分钟后甲第一次追上乙？（提示：把一圈看作单位“1”，求速度）
- 环形跑道周长900米。快车和慢车从同一点同向出发，快车速度25米/秒，慢车速度10米/秒。快车第一次追上慢车后立即掉头反向行驶，再过多久两车会相遇？
奥数挑战（10道）
- (迎春杯改编) 环形跑道长500米。甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，甲、乙同向，丙与甲、乙反向。甲速8米/秒，乙速6米/秒，丙速5米/秒。当甲与丙第二次相遇时，甲是否追上了乙？如果追上了，是第几次追上？
- 在环形跑道上，甲、乙两人在一段时间内共同运动。已知他们同时同地出发，如果同向而跑，则每100秒相遇一次（追上）；如果反向而跑，则每20秒相遇一次。求甲、乙速度之比。
- 一个正六边形跑道，边长100米。甲在A点，乙在C点（AC为对角线），两人同时顺时针出发。甲速7米/秒，乙速5米/秒。问：甲第一次追上乙时，在哪条边上？
- (华杯赛真题思维) 环形跑道周长1000米。甲、乙两名运动员从起点顺时针同时出发，甲速度400米/分，乙速度375米/分。问：多少分钟后甲、乙第四次在起点相遇？(起点相遇指两人同时到达起点)
- 甲、乙在环形跑道上跑步。他们从同一地点同时反向奔跑，每隔24秒相遇一次。已知甲跑一圈要40秒，问：乙跑一圈要多少秒？
- 在一个环形跑道上，甲、乙两人按顺时针方向跑步。甲每12分钟追上乙一次，如果两人的速度都增加原来的一倍，并且甲跑的方向改为逆时针，则每隔4分钟两人相遇一次。问：原来甲跑一圈需要多少分钟？
- 环形跑道长600米。甲、乙、丙三人同时同地同向出发，绕跑道行走。甲速度80米/分，乙速度50米/分，丙速度30米/分。请问出发后，甲第一次同时遇到乙和丙是在出发后多少分钟？此时甲走了多少圈？
- 一个大型圆形广场，周长2千米。A、B两辆观光车从广场直径的两端同时出发，同向绕广场匀速行驶。A车快，第一次追上B车时，B车已经行驶了600米。求A车追上B车一次需要多少时间？
- 甲、乙在周长为400米的环形跑道上进行万米（10000米）赛跑。甲平均速度6米/秒，乙平均速度4米/秒。当甲完成比赛时，乙距离终点还有多少米？在整个过程中，甲一共追上（超过）乙多少次？
- 如图，一个“8”字形跑道，由两个半径相等的半圆和两条直道组成。已知每条直道长100米，半圆半径30米。甲、乙两人从A点（直道中点）同时反向出发，甲速5米/秒，乙速3米/秒。问：甲、乙第5次迎面相遇时，距离A点有多远？（需画图分析）
生活应用（5道）
- （AI训练）两个AI数据采集机器人，在一個圆形数据中心外围轨道上同向巡检。轨道周长120米。一号机器人每秒巡检2米，二号机器人每秒巡检1.5米。为了数据同步，需要一号追上二号进行一次握手通信。若它们同时从服务接口站出发，第一次进行数据握手需要多少秒？
- （高铁调度）假设一个环形高铁试验线周长是30公里。两列新型高速列车从同一车站同向发车，快车速度300公里/时，慢车速度250公里/时。调度员需要知道快车第一次追上慢车（即两车在同一位置）的时间，以便安排后续测试。请你帮忙计算。
- （环保清洁）一艘自动清洁船和一辆岸基垃圾回收车，围绕一个周长为2.4公里的圆形人工湖协同工作。清洁船在湖面航行，速度为4米/秒；回收车在湖边步道行驶，速度为6米/秒。如果它们从湖的同一位置同时同向出发，请问回收车第一次超过清洁船需要多少分钟？
- （航天测控）地球同步轨道可近似看作一个圆形轨道。一颗旧卫星（A）和一颗新发射的卫星（B）在相邻的轨道上同向运行。已知B卫星的轨道比A卫星的轨道周长多1000公里，B卫星每天比A卫星多绕地球运行2圈。请问A卫星绕地球一周大约需要多少小时？（结果保留整数）
- （网购配送）某物流园区有一个环形主干道，长3千米。张三的配送车和李四的配送车同时从仓库门口（同一起点）出发，同向行驶去往不同装卸点。张三的车速是36千米/时，李四的车速是30千米/时。当张三第一次回到仓库门口时，李四的车离仓库门口还有多远？
参考答案与解析
【练习题答案】
【奥数挑战答案】
解析：甲丙反向，第一次相遇路程和一圈，时间 \( \frac{500}{8+5} = \frac{500}{13} \)秒。第二次相遇又共跑一圈，所以前两次相遇总时间 \( \frac{1000}{13} \)秒。此时甲跑了 \( 8 \times \frac{1000}{13} = \frac{8000}{13} \approx 615.38 \)米。甲追乙需要 \( \frac{500}{8-6}=250 \)秒。时间 \( \frac{1000}{13} \approx 76.92 \)秒 < 250秒，所以甲还没追上乙。等等，计算有误。甲丙第二次相遇总路程和为两圈，时间为 \( t = \frac{2\times500}{8+5} = \frac{1000}{13} \)秒。此时甲跑了 \( \frac{8000}{13} \)米，相当于跑了 \( \frac{8000}{13} \div 500 = \frac{16}{13} \)圈，即1圈又 \( \frac{3}{13} \)圈。乙跑了 \( 6 \times \frac{1000}{13} = \frac{6000}{13} \)米，相当于 \( \frac{12}{13} \)圈。甲比乙多跑了 \( \frac{4}{13} \)圈，还没到一圈，所以甲没有追上乙。因此原判断错误。
解析：设甲速\( v_1 \)，乙速\( v_2 \)，周长\( s \)。同向：\( \frac{s}{v_1 - v_2} = 100 \)。反向：\( \frac{s}{v_1 + v_2} = 20 \)。两式相除：\( \frac{v_1+v_2}{v_1-v_2} = 5 \)。解得 \( v_1 : v_2 = 3:2 \)。
解析：正六边形，边长100米，周长600米。AC为对角线，间隔两个边（A-B-C），所以初始距离差为200米（甲在A，乙在C，甲要顺时针追乙，路程差是A到C的顺时针距离，即AB+BC=200米）。速度差2米/秒。追及时间 \( t = \frac{200}{2} = 100 \)秒。甲路程 \( 7\times100=700 \)米。700米除以周长600米余100米。即甲从A点出发，跑了一圈（600米）后回到A，再跑100米到达B点。但要注意，初始乙在C点，100秒乙走500米，从C点走500米，C-D-E-F-A-B，500米相当于走到B点后面？500米除以600米余500米，从C点（可设为0米）顺时针走500米，到达哪里？周长600米，C到D 100米，到E 200米，到F 300米，到A 400米，到B 500米，到C 600米。所以乙走到B点（500米处）。甲也走到B点（从A走700米：A到B 100米，到C 200米...走一圈600米到A，再100米到B）。所以两人在B点相遇。但B点是顶点，问“在哪条边上”？甲第一次追上乙的那一刻，他们正在B点（顶点），可以认为在相邻两条边的交点。通常说完“追上时”指的是位置，可以说在B点。如果非要问边，则可能是刚进入下一条边或还在上一条边。但从行程上看，两人同时在B点相遇，所以答案是“在B点”或“介于BA与BC边之间”。严格说，追上时在顶点。
解析：甲、乙第四次在起点相遇，说明两人都跑了整数圈，且时间是甲跑整圈时间（\( \frac{1000}{400}=2.5 \)分）和乙跑整圈时间（\( \frac{1000}{375}=\frac{8}{3} \)分）的公倍数。求2.5和 \( \frac{8}{3} \) 的最小公倍数。2.5=\( \frac{5}{2} \)。所以求 \( \frac{5}{2} \) 和 \( \frac{8}{3} \) 的最小公倍数：分子的最小公倍数 LCM(5,8)=40，分母的最大公约数 GCD(2,3)=1，所以时间 T = 40分钟。这是第一次在起点相遇的时间。第四次相遇需要 \( 40 \times 4 = 160 \)分钟。
解析：反向相遇，速度和：\( v_甲 + v_乙 = \frac{s}{24} \)。甲跑一圈40秒：\( v_甲 = \frac{s}{40} \)。所以 \( v_乙 = \frac{s}{24} - \frac{s}{40} = s(\frac{1}{24}-\frac{1}{40}) = s \times \frac{5-3}{120} = \frac{s}{60} \)。所以乙跑一圈需要60秒。
解析：设原甲速\( v_1 \)，乙速\( v_2 \)，周长s。原来：\( \frac{s}{v_1 - v_2} = 12 \)。都加倍后，甲速\( 2v_1 \)，乙速\( 2v_2 \)，甲逆时针，则与乙反向相遇：\( \frac{s}{2v_1 + 2v_2} = 4 \)，即 \( \frac{s}{v_1+v_2} = 8 \)。由两式：\( v_1 - v_2 = \frac{s}{12} \)，\( v_1+v_2 = \frac{s}{8} \)。解得 \( v_1 = \frac{s}{12} + \frac{s}{8} \) 再除以2？更简单：两式相加：\( 2v_1 = \frac{s}{12}+\frac{s}{8} = \frac{5s}{24} \)，所以 \( v_1 = \frac{5s}{48} \)。甲跑一圈时间 \( \frac{s}{v_1} = \frac{s}{5s/48} = \frac{48}{5} = 9.6 \)分钟？与答案不符。检查：方程1：\( s/(v1-v2)=12 \) => \( v1-v2=s/12 \)。方程2：\( s/(2v1+2v2)=4 \) => \( s/(2(v1+v2))=4 \) => \( v1+v2 = s/8 \)。解方程组：\( v1 = (s/12 + s/8)/2 = (5s/24)/2 = 5s/48 \)。时间= s/v1 = 48/5=9.6分。但选项可能为10分？原题求“原来甲跑一圈需要多少分钟”，计算无误。可能原题数据不同。