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互余的概念与性质深度解析：从90度搭档到中考应用专项练习题库

适用年级

初一

难度等级

⭐⭐⭐

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最近更新

2025-12-21

💡 阿星精讲：互余 原理

  • 核心概念：想象一下，90度是一份完整的“搭档任务”。如果两个角（比如角\( \alpha \)和角\( \beta \)）加在一起，正好能完成这个90度的任务，那么它俩就是一对完美的“90度搭档”，数学上就说这两个角互余。公式就是：\( \alpha + \beta = 90^\circ \)。阿星有个重要的发现：同一个角的两个余角，或者两个相等角的余角，它们自己也是相等的。这就像你和你的朋友都有一个最好的搭档，那么你俩的“好搭档”水平也是一样的！
  • 计算秘籍：
    1. 已知一个角，求它的余角：余角 = \( 90^\circ - \) 已知角。

      例：已知角 \( A = 35^\circ \)，它的余角 \( B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)。

    2. 判断两个角是否互余：计算两角之和是否等于 \( 90^\circ \)。

      例：角 \( C = 48^\circ \)，角 \( D = 42^\circ \)，因为 \( 48^\circ + 42^\circ = 90^\circ \)，所以互余。

    3. 利用“同角（等角）的余角相等”解题：在图形中，如果两个角都是同一个角的余角，那么这两个角相等。
  • 阿星口诀：“九十一对好搭档，你缺我补刚刚好。同角等角余角同，解题钥匙要记牢。”

📐 图形解析

最经典的“90度搭档”就藏在直角三角形里！请看下图：

A B C ∠B = ? ∠A = ? 90° 我是∠A的搭档 我是∠B的搭档 我们加起来是90°！

在直角三角形 \( ABC \)（\( \angle B = 90^\circ \)）中，根据三角形内角和为 \( 180^\circ \)，我们有：

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \)

因为 \( \angle B = 90^\circ \)，所以上式变为：

\( \angle A + 90^\circ + \angle C = 180^\circ \)

推导可得：\( \angle A + \angle C = 90^\circ \)。

看！锐角 \( A \) 和锐角 \( C \) 正是一对“90度搭档”，它们互余。这是互余关系在几何中最基本、最重要的模型。

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：认为只有锐角才能互余。
    ✅ 正解：互余定义只要求和为 \( 90^\circ \)，与角本身类型无关。例如，\( -30^\circ \) 和 \( 120^\circ \) 的和也是 \( 90^\circ \)，它们也互余。但在初中几何中，我们主要研究 \( 0^\circ \) 到 \( 180^\circ \) 的角，此时互余的两个角必为锐角。
  • ❌ 错误2：混淆“互余”和“互补”。
    ✅ 正解：互余是和为 \( 90^\circ \) 的“搭档”，互补是和为 \( 180^\circ \) 的“组合”。口诀：“余九补八”（余角找90，补角找180）。

🔥 三例题精讲

例题1：阿星和扎克在玩拼角游戏。阿星手里有一个 \( 27.5^\circ \) 的角片，扎克需要拿出一个多大的角片，才能和他拼成一个直角？

📌 解析：“拼成直角”就是组成 \( 90^\circ \)。这是一个标准的求余角问题。

设扎克需要拿出的角为 \( x \) 度。根据互余关系：

\( 27.5^\circ + x = 90^\circ \)

解得：\( x = 90^\circ - 27.5^\circ = 62.5^\circ \)。

✅ 总结：直接应用互余定义式 \( \angle A + \angle B = 90^\circ \) 求解未知角。

例题2：如图，直线 \( AB \) 与 \( CD \) 交于点 \( O \)，\( OE \) 平分 \( \angle AOC \)，且 \( \angle COE = 35^\circ \)。求 \( \angle BOD \) 的度数。

B A C D E O 35°

📌 解析：

  1. 因为 \( OE \) 平分 \( \angle AOC \)，且 \( \angle COE = 35^\circ \)，所以 \( \angle AOC = 2 \times 35^\circ = 70^\circ \)。
  2. 观察图形，\( \angle AOC \) 和 \( \angle AOD \) 互为邻补角，因此 \( \angle AOD = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \)。
  3. 注意 \( \angle AOD \) 和 \( \angle BOD \) 也互为邻补角，所以 \( \angle BOD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \)。
  4. （利用互余性质快解） 观察 \( \angle COE = 35^\circ \)，它的余角是 \( 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \)。在图中，\( \angle DOB \) 是否等于 \( 55^\circ \) 呢？显然不是。但是，我们可以利用“等角的余角相等”。因为 \( \angle AOC = 70^\circ \)，而 \( \angle BOD \) 是 \( \angle AOC \) 的对顶角，所以 \( \angle BOD = \angle AOC = 70^\circ \)。这里虽然没有直接用到互余计算，但体现了图形中角相等的转换思想，与“等角的余角相等”这一性质的应用逻辑一脉相承。

✅ 总结：在复杂图形中，互余关系常与角平分线、对顶角、邻补角等知识综合考查。先理清角之间的和差、倍分、相等关系是关键。

例题3：已知 \( \angle A \) 和 \( \angle B \) 互余，且 \( \angle A = (2x + 10)^\circ \)，\( \angle B = (3x - 20)^\circ \)。求 \( \angle A \) 的度数。

📌 解析：题目明确给出两角互余，可以直接建立方程。

根据互余定义：\( \angle A + \angle B = 90^\circ \)

代入表达式：\( (2x + 10) + (3x - 20) = 90 \)

合并同类项：\( 5x - 10 = 90 \)

解得：\( 5x = 100 \)，\( x = 20 \)。

所以，\( \angle A = (2 \times 20 + 10)^\circ = 50^\circ \)。

✅ 总结：当互余的角用含未知数的代数式表示时，通过建立关于 \( x \) 的方程求解，是代数和几何结合的重要方式。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 已知 \( \angle \alpha = 63^\circ \)，它的余角是 \_\_\_\_\_\_。
  2. 一个角的余角是 \( 18^\circ \)，这个角本身是 \_\_\_\_\_\_。
  3. 判断：\( 75^\circ \) 和 \( 15^\circ \) 互余吗？
  4. 判断：所有的直角都有余角。
  5. 若 \( \angle 1 \) 与 \( \angle 2 \) 互余，\( \angle 2 \) 与 \( \angle 3 \) 互余，且 \( \angle 1 = 40^\circ \)，则 \( \angle 3 = \) \_\_\_\_\_\_。
  6. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，若∠AOC=20°，则∠BOD=______。
    B A O D C 20°
  7. 计算：\( 90^\circ - 47^\circ 28‘ = \) \_\_\_\_\_\_。
  8. 一个角的度数是它余角度数的2倍，求这个角。
  9. 用式子表示“∠A的余角”：\_\_\_\_\_\_。
  10. 若∠α的余角是它的补角的 \( \frac{1}{3} \)，求∠α。

第二关：中考挑战（10道）

  1. （综合题）如图，AB//CD，EF分别交AB、CD于点M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，且MG交CD于点G，求∠1的度数。
    F E M N G 1
  2. （几何综合）在直角三角形ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且∠B=50°，求∠ADC的度数。
  3. （代数综合）若∠A与∠B互余，且∠A比∠B大10°，求∠A和∠B的度数。
  4. （逻辑推理）下列说法正确的有（ ）个：①锐角的余角是锐角；②钝角没有余角；③一个角的补角比它的余角大90°；④若两个角互补，则一个角是锐角，另一个角是钝角。
  5. （方程思想）一个角的补角比它的余角的3倍少20°，求这个角。
  6. （图形识别）找出图中所有互余的角（至少写出三对）。
  7. （实际应用）从点O观测点A，测得仰角为30°，那么从点A观测点O，测得的是什么角？度数是多少？
  8. （规律探究）观察：30°+60°=90°，40°+50°=90°，20°+70°=90°... 请写出互余两角（均为锐角）的一个共同特征（与它们和差有关）。
  9. （阅读理解）材料：“同角（等角）的余角相等”。如图，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，则∠1=∠3。请用此性质证明：对顶角相等。
  10. （综合压轴）在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC。判断BE与DF的位置关系，并说明理由。

第三关：生活应用（5道）

  1. （建筑测量）一个楼梯的倾斜角（与水平地面的夹角）为38°，为了安全需要加装一个扶手，扶手与楼梯踏板垂直。请问扶手与水平地面的夹角是多少度？
  2. （工程制图）工人师傅需要切割一块三角铁，要求其中两个角的和为90度。他已经量得一个角是62度，请问他需要把另一个角切割成多少度？切割线应该与已有一边成多大夹角？
  3. （体育角度）足球射门时，研究表明当球门线与射手视线夹角接近90度时，进球概率较高。若某射手站在点P，其与左门柱A、右门柱B的连线PA、PB形成的∠APB为68°，请问这个角度距离理想的“90度视角”还差多少度？
  4. （航海导航）一艘船正在向正北方向航行，瞭望员发现灯塔在船的北偏东60°方向。那么，从灯塔的角度看，这艘船在灯塔的什么方向？（提示：方向角互余）
  5. （艺术设计）一位设计师想用两个菱形拼接成一个正方形图案。已知菱形的一个锐角为α，请问α为多少度时，两个菱形可以严丝合缝地拼成正方形？（提示：正方形内角90°，观察拼接点处几个角之和）

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：互余 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：难点通常不在于概念本身，而在于它的“隐形”和应用的综合。学生容易孤立地记忆“和为90度”，但一旦放入复杂的几何图形（如平行线、三角形、四边形）中，就找不到哪两个角是“90度搭档”了。关键在于建立模型识别能力：看到直角、垂直、直角三角形，要立刻想到其内部可能存在互余关系（\( \angle A + \angle C = 90^\circ \)）。另一个难点是与方程、代数式的结合，需要学生有清晰的等量关系意识。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：互余是几何大厦的重要基石之一。

  • 三角函数：正弦（sin）和余弦（cos）的定义直接源于互余：\( \sin A = \cos B \)，当 \( A + B = 90^\circ \) 时。这是三角学最核心的关系之一。
  • 三角形：直角三角形的一切性质都建立在两锐角互余（\( \angle A + \angle B = 90^\circ \)）的基础上，进而引出勾股定理、锐角三角函数等。
  • 圆：圆周角定理的推论“直径所对的圆周角是直角”，其本质也是构造了一个直角三角形，从而蕴含互余关系。
  • 逻辑推理：“同角（等角）的余角相等”是几何证明中推导角相等的常用定理，训练逻辑链条的严谨性。

问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？

答：有核心思路，而非固定套路。面对涉及角度的问题，遵循以下思考路径：

  1. 标图：把已知角度、垂直关系、相等角（如对顶角、角平分线）清晰标在图上。
  2. 寻找90°：主动寻找图形中的直角、垂直符号、或隐含的直角（如直径对圆周角、高线）。
  3. 建立关系：围绕找到的90°，列出互余关系式 \( \angle X + \angle Y = 90^\circ \)，或利用“同（等）角的余角相等”推导新结论。
  4. 方程求解：如果角是用代数式表示的，把第3步的关系式变成方程 \( (表达式1) + (表达式2) = 90 \) 求解。

记住这个模型：“见垂直，想互余”。例如，题目给出 \( OC \perp OD \)，你脑子里就要立刻反应出 \( \angle COD = 90^\circ \)，进而有 \( \angle 1 + \angle 2 = 90^\circ \)（如果∠1和∠2是∠COD分出来的两个角）。

答案与解析

第一关：基础热身

  1. \( 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ \)
  2. \( 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ \)
  3. 是，因为 \( 75^\circ + 15^\circ = 90^\circ \)
  4. 错。\( 90^\circ \) 的角（直角）的余角是 \( 0^\circ \)，通常不讨论。
  5. \( 40^\circ \)。因为 \( \angle 1 = \angle 3 \)（同角 \( \angle 2 \) 的余角相等）。
  6. \( 20^\circ \)。∵ \( OC \perp OD \)，∴ \( \angle COD = 90^\circ \)。又∵ \( \angle AOC + \angle COD + \angle BOD = 180^\circ \)（平角），∴ \( 20^\circ + 90^\circ + \angle BOD = 180^\circ \)，得 \( \angle BOD = 70^\circ \)。（或利用互余：\( \angle AOC \) 与 \( \angle AOD \) 互余，\( \angle AOD \) 与 \( \angle BOD \) 互补）
  7. \( 42^\circ 32' \)
  8. 设这个角为 \( x \)，则余角为 \( 90 - x \)。列方程：\( x = 2(90 - x) \)，解得 \( x = 60^\circ \)。
  9. \( 90^\circ - \angle A \)
  10. 设∠α为 \( x \)。余角为 \( 90 - x \)，补角为 \( 180 - x \)。列方程：\( 90 - x = \frac{1}{3}(180 - x) \)，解得 \( x = 45^\circ \)。

第二关：中考挑战（精选解析）

  1. 解析：∵ ∠EMB=50°，∴ ∠BMF=180°-50°=130°（邻补角）。∵ MG平分∠BMF，∴ ∠BMG=∠BMF/2=65°。∵ AB//CD，∴ ∠1=∠BMG=65°（两直线平行，同位角相等）。
  2. 解析：在Rt△ABC中，∠CAB=90°-∠B=40°。∵ AD平分∠CAB，∴ ∠CAD=20°。在Rt△ADC中，∠ADC=90°-∠CAD=70°。
  3. 解析：设∠B为 \( x \)，则∠A为 \( x+10 \)。根据互余：\( x + (x+10) = 90 \)，解得 \( x=40 \)。所以∠A=50°，∠B=40°。
  4. 3个。①②③正确。④错误，两个直角也互补。

第三关：生活应用（精选解析）

  1. 解析：楼梯倾斜角为38°，即与地面成38°。扶手与踏板垂直，设扶手与地面夹角为 \( \theta \)。因为踏板与地面的夹角也是38°，所以 \( \theta + 38^\circ = 90^\circ \)（扶手⊥踏板）。解得 \( \theta = 52^\circ \)。扶手与水平地面夹角为 \( 52^\circ \)。
  2. 解析：另一个角应为 \( 90^\circ - 62^\circ = 28^\circ \)。切割线应与已有的一边成 \( 28^\circ \) 角（构成三角形的内角）。
  3. 解析：距离理想视角差 \( 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \)。

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