HL判定定理全解：直角三角形全等证明的核心方法及典型例题专项练习题库

💡 阿星精讲：HL判定原理

• 核心概念：“H”是斜边(Hypotenuse)，“L”是直角边(Leg)。阿星说：想象两个直角三角形要“比大小”，好比两个人比身高和腿长。如果他们俩的身高（斜边）一模一样，并且其中一条腿长（直角边）也分毫不差，那么根据勾股定理 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，另一条“腿”的长度也必然被锁定！所以，这两个三角形从形状到大小都完全相同，这就是“斜边直角边，即刻全等”的道理。它是直角三角形独有的“特权”判定法。
• 计算秘籍：
  1. 确认身份：首先，确认两个三角形都是直角三角形。即，已知或可证包含一个 \( 90^\circ \) 的角，记作 \( \angle C = \angle C' = 90^\circ \)。
  2. 寻找“身高”与“腿长”：找到两个三角形的斜边和一条直角边。设斜边 \( AB = A'B' = c \)，一条直角边 \( AC = A'C' = b \)。
  3. 勾股锁定：在 \( Rt\Delta ABC \) 中，由勾股定理，另一条直角边 \( BC = \sqrt{c^2 - b^2} \)。同理，在 \( Rt\Delta A'B'C' \) 中，\( B'C' = \sqrt{c^2 - b^2} \)。因此 \( BC = B'C' \)。
  4. 得出结论：三边对应相等（SSS），所以 \( \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \)。
• 阿星口诀：“直（角形） 邀 斜（边） 边，再带一条直角边，三缺一不可，全等即刻现！”

📐 图形解析

HL判定核心逻辑：已知斜边 \( c \) 和一条直角边 \( b \) 对应相等，通过勾股定理，另一条直角边 \( a \) 必然相等。

勾股关系：\( c^2 = a^2 + b^2 \)。当 \( c \) 和 \( b \) 确定时，\( a = \sqrt{c^2 - b^2} \) 唯一确定。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：在非直角三角形中使用HL判定。 → ✅ 正解：HL是直角三角形（Rt△）的专属判定定理，使用前必须确认或证明三角形中有一个角为 \( 90^\circ \)。
• ❌ 错误2：只关注“斜边和一条边相等”，忽略“对应”关系。例如，把三角形甲的斜边和三角形乙的直角边认为是相等的边。 → ✅ 正解：必须严格确保“斜边对应斜边”，“一条直角边对应另一条直角边”。书写格式应为：在Rt△ABC和Rt△DEF中，\( AB=DE \)（斜边），\( AC=DF \)（直角边）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知：如图，\( \angle C = \angle F = 90^\circ \)，\( AB = DE \)，\( BC = EF \)。求证：\( \triangle ABC \cong \triangle DEF \)。（配两个直角三角形简图）
2. 已知：\( AC \perp BD \)，\( OA = OC \)，\( AB = CD \)。求证：\( OB = OD \)。
3. 判断题：有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等。（ ）
4. 填空题：HL判定定理适用于______三角形，条件是______和______对应相等。
5. 已知：在 \( Rt\triangle ABC \) 和 \( Rt\triangle A'B'C' \) 中，\( \angle C = \angle C' = 90^\circ \)，\( AB = A'B' = 5 \)，\( AC = A'C' = 4 \)，则 \( BC = \) ______，根据______判定，两三角形全等。
6. 如图，\( AD \) 是 \( \triangle ABC \) 的高，且 \( BD = CD \)，点 \( E \) 在 \( AD \) 上。求证：\( \triangle BDE \cong \triangle CDE \)。
7. 已知：\( BE \perp AC \)，\( CF \perp AB \)，且 \( BE = CF \)。求证：\( \triangle ABC \) 是等腰三角形。
8. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A. 一锐角和斜边对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 两个锐角对应相等
9. 已知：如图，\( AB = AC \)，\( AD \perp BC \) 于点 \( D \)。求证：\( \triangle ABD \cong \triangle ACD \)。请写出至少两种判定方法。
10. 已知：\( \triangle ABC \) 中，\( AD \perp BC \)，\( AB + BD = AC + CD \)。求证：\( AB = AC \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （中考真题改编）如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( \angle B = \angle D = 90^\circ \)，\( AB = AD \)，\( BC = 4 \)，\( CD = 2 \)。求四边形 \( ABCD \) 的面积。
2. 已知：如图，在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ABC = 45^\circ \)，\( CD \perp AB \) 于 \( D \)，\( BE \perp AC \) 于 \( E \)，\( BE \) 与 \( CD \) 相交于点 \( F \)。求证：\( BF = AC \)。
3. 如图，\( AC \) 平分 \( \angle BAD \)，\( CE \perp AB \) 于 \( E \)，\( CF \perp AD \) 于 \( F \)，且 \( BC = DC \)。求证：\( BE = DF \)。
4. 已知：\( \triangle ABC \) 是等边三角形，点 \( D \) 在 \( BC \) 的延长线上，以 \( AD \) 为边在 \( AD \) 右侧作等边 \( \triangle ADE \)，连接 \( CE \)。求证：\( CE = AB \)。
5. （综合题）在 \( \triangle ABC \) 中，\( \angle ACB = 90^\circ \)，\( AC = BC \)，直线 \( MN \) 经过点 \( C \)，且 \( AD \perp MN \) 于 \( D \)，\( BE \perp MN \) 于 \( E \)。 (1) 当直线 \( MN \) 绕点 \( C \) 旋转到图1位置时，求证：\( DE = AD + BE \)；(2) 当旋转到图2位置时，线段 \( DE \)、\( AD \)、\( BE \) 的关系是？写出结论并证明。
6. 如图，已知 \( AB=AC \)，\( D \) 是 \( \triangle ABC \) 外一点，且 \( \angle ABD = \angle ACD = 60^\circ \)。求证：\( BD+DC=AD \)。
7. 已知：\( \triangle ABC \) 中，\( \angle BAC = 90^\circ \)，\( AB = AC \)，\( D \) 为 \( AC \) 中点，\( CF \perp BD \) 于 \( E \)，交 \( AB \) 于 \( F \)。连接 \( DF \)。求证：\( \angle ADB = \angle CDF \)。
8. （动点问题）在 \( Rt\triangle ABC \) 中，\( \angle C=90^\circ \)，\( AC=8 \)，\( BC=6 \)。点 \( P \)、\( Q \) 同时从 \( C \) 点出发，均以每秒1个单位的速度分别沿 \( CA \)、\( CB \) 向终点 \( A \)、\( B \) 移动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为 \( t \) 秒。是否存在某个 \( t \) 值，使得 \( \triangle CPQ \) 与 \( \triangle CBA \) 全等？若存在，求出 \( t \) 值；若不存在，说明理由。
9. 如图，已知 \( AD \) 是 \( \triangle ABC \) 的中线，\( BE \perp AD \) 的延长线于 \( E \)，\( CF \perp AD \) 于 \( F \)。求证：\( BE = CF \)。
10. （网格作图题）在 \( 4 \times 4 \) 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1。请在网格中画出一个直角三角形，使它的三边长均为无理数，且其中两边长分别等于已知线段 \( a \) 和 \( b \)（在图上标出 \( a \) 和 \( b \)）。

第三关：生活应用（5道）

1. （测量问题）为了测量池塘两端 \( A \)、\( B \) 的距离，小星在地面上找了一点 \( C \)，连接 \( AC \) 并延长到 \( D \)，使 \( CD = CA \)，连接 \( BC \) 并延长到 \( E \)，使 \( CE = CB \)。连接 \( DE \)，测得 \( DE = 35 \) 米。请问 \( AB \) 的距离是多少？请用三角形全等的知识解释原理，并画出示意图。
2. （工程结构）如图，是一个屋顶钢架结构的示意图，其中 \( AB=AC \)，\( AD \perp BC \)，斜梁 \( BC=10 \) 米，\( \angle B=30^\circ \)。求立柱 \( AD \) 的长（即屋顶的高度）以及横梁 \( AC \) 的长。
3. （折叠问题）将一张矩形纸片 \( ABCD \) 沿对角线 \( AC \) 折叠，点 \( B \) 落在点 \( E \) 的位置，\( CE \) 与 \( AD \) 交于点 \( F \)。(1) 求证：\( \triangle ACF \) 是等腰三角形；(2) 若 \( AB=4 \)，\( BC=8 \)，求 \( \triangle ACF \) 的面积。
4. （光学路径）根据光的反射定律，入射角等于反射角。如图，一束光线从点 \( A \) 发出，经平面镜 \( MN \) 上一点 \( O \) 反射后，恰好经过点 \( B \)。请用全等三角形的知识证明：光线走过的路径 \( AO+OB \) 是从 \( A \) 到 \( B \) 经过镜面的最短路径。（提示：作出 \( A \) 关于 \( MN \) 的对称点 \( A' \)）。
5. （稳定性分析）工人师傅常用“三弧法”来确定一个直角：如图所示，先画线段 \( AB \)，分别以 \( A \)、\( B \) 为圆心，\( AB \) 长为半径画弧，两弧相交于 \( C \)；再以 \( C \) 为圆心，仍以 \( AB \) 长为半径画弧，交 \( AC \) 的延长线于 \( D \)，连接 \( BD \)。则 \( \angle ABD \) 就是直角。请你用三角形全等的知识证明 \( \angle ABD = 90^\circ \)。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关 解析精选：

1. 证：∵ \( \angle C = \angle F = 90^\circ \)，∴ \( \triangle ABC \) 与 \( \triangle DEF \) 是Rt△。在 \( Rt\triangle ABC \) 和 \( Rt\triangle DEF \) 中，\( AB = DE \) (斜边)，\( BC = EF \) (直角边)。∴ \( Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF \) (HL)。
2. 证：∵ \( AC \perp BD \)，∴ \( \angle AOB = \angle COD = 90^\circ \)。在 \( Rt\triangle AOB \) 和 \( Rt\triangle COD \) 中，\( OA = OC \)，\( AB = CD \)。注意，\( AB \) 和 \( CD \) 是斜边吗？在 \( Rt\triangle AOB \) 中，斜边是 \( AB \)；在 \( Rt\triangle COD \) 中，斜边是 \( CD \)。已知 \( AB=CD \)，即斜边相等。直角边 \( OA=OC \)。∴ \( Rt\triangle AOB \cong Rt\triangle COD \) (HL)。∴ \( OB = OD \)。
3. 判断题：错误。反例：一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边为5；另一个直角三角形的两条直角边分别为3和5。它们有两条边相等(3和3)，但显然不全等。
4. 填空题：直角，斜边，一条直角边。
5. 填空题：\( BC = 3 \) (∵ \( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \))，HL。

（其余题目解析思路类似，因篇幅所限，此处从略。关键在于清晰写出判定条件和步骤。）