一次函数图像过原点怎么判断？深度解析与典型例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：过原点 原理

• 核心概念：想象一次函数 \( y = kx + b \) 是一次“直线跑步”。这里的 \( b \)（截距）就是它的“起跑线”。通常，它从y轴上的某一点 \( (0, b) \) 开始跑。但有一种特殊情况，就是当 \( b = 0 \) 时，意味着它的“起跑线”就在坐标系的“家”——原点上！所以，这条直线的方程就变成了 \( y = kx \)，无论斜率 \( k \) 是正（上坡）、负（下坡）还是零（平路），它都必然从原点 \( (0, 0) \) 出发。原点就是它不变的“初心”。
• 计算秘籍：判断一条直线是否过原点，有一个超级简单的“照妖镜”：把原点坐标 \( (0, 0) \) 代入方程，看等式是否成立。
  1. 拿到直线方程，例如 \( y = 3x - 2 \)。
  2. 令 \( x = 0 \)，\( y = 0 \)，代入计算：\( 0 = 3 \times 0 - 2 \) 即 \( 0 = -2 \)。
  3. 等式不成立！所以这条直线不过原点。
  4. 再试 \( y = -\frac{1}{2}x \)。代入得 \( 0 = -\frac{1}{2} \times 0 \) 即 \( 0 = 0 \)。
  5. 等式成立！所以这条直线必过原点。

  秘籍本质：方程中不能有常数项（即 b 必须为 0）。

• 阿星口诀：截距b为零，原点必通行。代入(0,0)验，等式成立是关键！

📐 图形解析

所有形如 \( y = kx \) 的直线，都像从原点射出的“光芒”，斜率 \( k \) 决定了它的方向。下图展示了三条过原点的直线：

直线方程分别为： \( y = 2x \)， \( y = -x \)， \( y = 0.5x \)

可以看到，三条不同颜色、不同倾斜程度的直线，都精确地通过了红色的原点。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看图觉得直线“大概”经过原点就下结论。
  ✅ 正解：数学讲究精确。必须通过计算验证（代入原点坐标）或确认方程形式为 \( y=kx \)（无常数项）。图像可能因为刻度或观察误差误导你。
• ❌ 错误2：认为“正比例函数”才过原点，忘记形式判断。
  ✅ 正解：“过原点”是正比例函数 \( y=kx \) 的核心特征，但判断时只需抓住“无常数项”这一本质。有些方程经过整理（如 \( 2y = 6x \)）才能看出 \( b=0 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断直线 \( y = -3x \) 是否过原点。
2. 判断直线 \( y = \frac{x}{2} + 5 \) 是否过原点。
3. 点 \( (0, 0) \) 是否在直线 \( y = 7x \) 上？
4. 若直线 \( y = kx \) 过点 \( (1, -2) \)，求 \( k \) 的值。
5. 将方程 \( 4y = 8x \) 化成 \( y = kx \) 的形式，并判断它是否过原点。
6. 直线 \( y = 0 \) （x轴）过原点吗？
7. 直线 \( x = 0 \) （y轴）过原点吗？
8. 若直线过原点和点 \( (-3, 6) \)，求其方程。
9. 判断：所有正比例函数的图像都过原点。
10. 判断：所有一次函数 \( y=kx+b \) 的图像都过原点。

第二关：中考挑战（10道）

1. （综合题）若函数 \( y = (m-1)x^{|m|} \) 是过原点的直线函数，求 \( m \) 的值。
2. （图象题）在同一坐标系中，画出 \( y=2x \) 和 \( y=-0.5x \) 的草图，并指出它们都经过的点。
3. （面积题）过原点的直线 \( y = \frac{3}{4}x \) 与直线 \( x=4 \) 相交于点P，求三角形OPO（O为原点）的面积？
   （提示：O为原点，P为交点，另一个O点？请思考三角形如何构成）
4. （交点题）过原点的直线 \( y=kx \) 与直线 \( y=2x-4 \) 相交于x轴上一点，求k的值。
5. （应用题）某商品总价y与数量x成正比。已知买3件需45元，求y与x的关系式。买0件需多少钱？
6. （几何题）在平面直角坐标系中，已知点A(1, 2)，求过原点O和点A的直线的解析式。
7. （推理题）证明：若一条直线同时过点 \( (a, b) \) 和原点，则它必定也过点 \( (-a, -b) \)。
8. （含参题）直线 \( y = (k^2 - 4)x + k -2 \) 过原点，求k的值。
9. （分类题）讨论直线 \( y = kx + k \) 经过原点的条件。
10. （规律题）观察直线系 \( y = mx \)（m取不同值），总结它们共同的特征。

第三关：生活应用（5道）

1. （购物折扣）某网店“一件包邮”活动，商品单价50元，总价y（元）与数量x（件）的关系是 \( y = 50x \)。这个关系过原点吗？在图像上，原点(0,0)代表什么实际含义？
2. （弹簧测力）在弹性限度内，弹簧伸长长度 \( y \)（cm）与所挂砝码质量 \( x \)（kg）成正比。已知挂2kg时伸长1cm。写出关系式。若不挂砝码（x=0），弹簧伸长多少？
3. （行程问题）小阿星以恒定速度6千米/时步行。设t小时后走过的路程为s千米。写出s与t的关系。这个图像过原点吗？为什么？
4. （工程制图）在CAD软件中，需要绘制一条通过坐标(0,0)和(10,15)的辅助线。请写出这条直线的数学方程。
5. （理财收益）一种理财产品的收益计算方式为“收益=本金×日利率×天数”。若日利率为0.01%，写出收益y（元）与本金x（元）、天数n的关系。如果本金为0元，收益是多少？这个关系在“本金-收益”坐标系中过原点吗？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 是。 \( b=0 \)。
2. 否。 \( b=5 \neq 0 \)。
3. 是。代入得 \( 0=7\times0 \)。
4. 代入 \( (1, -2) \) 得 \( -2 = k\times1 \)，故 \( k=-2 \)。
5. 化为 \( y=2x \)，是， \( b=0 \)。
6. 是。方程可写为 \( y=0\cdot x \)， \( b=0 \)。
7. 是。原点 \( (0,0) \) 满足方程 \( x=0 \)。
8. 设 \( y=kx \)，代入 \( (-3,6) \) 得 \( 6 = k\times(-3) \)， \( k=-2 \)，方程为 \( y=-2x \)。
9. 对。正比例函数定义为 \( y=kx \)（ \( k \neq 0 \) ），常数项为0。
10. 错。只有 \( b=0 \) 时才过原点。

第二关：中考挑战

1. 它是直线函数，则 \( |m|=1 \)，即 \( m=\pm1 \)。又需过原点，为 \( y=kx \) 形式，已满足。但当 \( m=1 \) 时， \( y=0 \)，也是过原点的直线（x轴）。故 \( m=1 \) 或 \( m=-1 \)。
2. 草图略。它们都经过的点是原点 \( (0,0) \)。
3. 题目描述疑有误。应为直线与 \( x=4 \) 交于P，求三角形OPA（A为？）或直接求三角形OPO面积？若三角形顶点为原点O、点P、以及点(4,0)，则更合理。解：对于 \( y=\frac{3}{4}x \)，当 \( x=4 \) 时， \( y=3 \)，故 \( P(4, 3) \)。若与x轴上的点(4,0)构成三角形，则底边在x轴上，长4，高为P的纵坐标3，面积 \( S=\frac{1}{2}\times4\times3=6 \)。
4. 直线 \( y=2x-4 \) 与x轴交点：令y=0，得 \( 0=2x-4 \)， \( x=2 \)，交点 \( (2,0) \)。过原点的直线 \( y=kx \) 也过此点，代入得 \( 0 = k\times2 \)，故 \( k=0 \)。直线为 \( y=0 \)（x轴）。
5. 设 \( y=kx \)，由题意 \( 45 = k\times3 \)，得 \( k=15 \)，关系式为 \( y=15x \)。买0件时， \( x=0 \)， \( y=0 \)，需0元。
6. 设直线为 \( y=kx \)，代入A(1,2)得 \( 2=k \)，故解析式为 \( y=2x \)。
7. 设直线为 \( y=kx \)（因其过原点），代入 \( (a,b) \) 得 \( b=k\cdot a \)，故 \( k=b/a \)（ \( a\neq0 \) 时）。将点 \( (-a, -b) \) 代入：左边 \( -b \)，右边 \( \frac{b}{a} \times (-a) = -b \)，成立，故该点也在直线上。
8. 过原点，则常数项 \( k-2 = 0 \)，得 \( k=2 \)。同时需保证 \( k^2-4 \neq 0 \) 吗？不，一次项系数可以为0（此时是 \( y=0 \)）。故 \( k=2 \) 时，方程为 \( y=0 \)，也过原点。所以 \( k=2 \)。
9. 方程可化为 \( y = k(x+1) \)。要过原点，代入 \( (0,0) \) 得 \( 0 = k(0+1) \)，即 \( 0=k \)。所以条件是 \( k=0 \)，此时直线为 \( y=0 \)。
10. 共同特征：都经过坐标原点 \( (0,0) \)；当 \( m>0 \) 时，直线过一、三象限；当 \( m<0 \) 时，过二、四象限；当 \( m=0 \) 时，与x轴重合。

第三关：生活应用

1. 过原点。原点(0,0)代表购买0件商品，总价为0元，符合常理。
2. 设 \( y = kx \)，由题意 \( 1 = k\times2 \)，得 \( k=0.5 \)，关系式为 \( y=0.5x \)。当 \( x=0 \) 时， \( y=0 \)，弹簧伸长0cm。
3. 关系式为 \( s=6t \)。过原点。因为当时间 \( t=0 \) 时，路程 \( s=0 \)，符合“尚未出发，路程为零”的实际意义。
4. 直线过(0,0)和(10,15)，斜率 \( k = \frac{15-0}{10-0} = 1.5 \)，方程为 \( y=1.5x \)。
5. 关系式为 \( y = x \times 0.0001 \times n = 0.0001nx \)。当本金 \( x=0 \) 时，收益 \( y=0 \)。在固定天数 \( n \) 下，收益 \( y \) 与本金 \( x \) 的关系 \( y = (0.0001n)x \) 是过原点的直线。