标数法求最短路径：小学奥数网格问题详解与练习题PDF下载

💡 阿星精讲：标数法：最短路径 原理

• 核心概念：想象你站在一个巨大的城市网格左下角的家里，目的地是右上角的学校。你只能向右（东）或向上（北）走，因为我们要找的是最短（不绕路）的路径。现在，阿星化身为一个“路口计数员”，他站在每一个路口（网格的交点）问自己：“有多少种不同的最短走法能到达我脚下这个位置呢？”他的秘诀是：“这个点的走法 = 左边点 + 下边点”。为什么呢？因为要到达我这个路口，你只能从我正西边的路口向右走一步过来，或者从我正南边的路口向上走一步过来。所以，到达我的方法总数，自然就是从那两个邻居路口过来的方法数之和！我们从起点（家）开始标数，那里只有1种方法（就是站着不动），然后像波浪一样把这个数字“传播”到整个网格，直到学校。
• 计算秘籍：
  1. 设定起点（左下角）的值为 \( 1 \)，代表“不动”这一种方式。
  2. 对于网格中的任意一个点 \( P(i, j) \)（i代表向右走了几格，j代表向上走了几格），其标数 \( N(i, j) \) 的计算公式为：
     \( N(i, j) = N(i-1, j) + N(i, j-1) \)
     其中，\( N(i-1, j) \) 是左边点的标数，\( N(i, j-1) \) 是下边点的标数。
  3. 边界处理：最下面一行所有点，因为没有“下边点”，所以它们都只能从左边来，标数全部为 \( 1 \)。同理，最左边一列所有点，标数也全部为 \( 1 \)。
  4. 依次计算，直到终点（右上角），其标数即为所有最短路径的数量。
• 阿星口诀：阿星数格子，左下走到右。每点标个数，左加下就够！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：起点乱标数。 在起点处犹豫，标成0或2。 → ✅ 正解：起点是“出发点”，只有1种情况（就是从这里开始走），所以必须标 \( 1 \)。
• ❌ 错误2：边界处理错误。 给最下面一行的点计算时，还想去加一个不存在的“下边点”。 → ✅ 正解：牢记网格的“墙边”。最下面一行（横坐标最小）和最左边一列（纵坐标最小）的所有点，因为没有“来源方向”，都只有1种方式到达（只能沿着边线直走），所以这些边界点都先标上 \( 1 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 在 \( 2 \times 2 \) 的网格（横向2段，纵向2段）中，从左下到右上的最短路径有几种？
2. 一个 \( 3 \times 1 \) 的网格（长条形），有多少种最短路径？
3. 一个 \( 1 \times 4 \) 的网格（竖条形），有多少种最短路径？
4. 在 \( 3 \times 3 \) 的网格中，标出所有点的数字。
5. 如果网格是 \( 4 \times 2 \)，路径数是多少？
6. 一个 \( 2 \times 5 \) 的网格，路径数是多少？
7. 从点 \( (0,0) \) 到点 \( (5,5) \)，最短路径数是多少？（提示：\( 5 \times 5 \)网格）
8. 在 \( 4 \times 4 \) 网格中，所有边界点（最外一圈点）的标数有什么共同特点？
9. 标数法中，每个点的数字代表什么具体含义？
10. 为什么只能向右或向上走？如果允许向左或向下，会怎样？

第二关：奥数挑战（10道）

1. 在 \( 6 \times 6 \) 网格中，从左下角到右上角，且必须经过中心点 \( (3,3) \) 的最短路径有多少条？
2. 网格中有两个障碍点 \( (1,2) \) 和 \( (2,1) \)，求 \( 4 \times 4 \) 网格中避开它们的最短路径数。
3. 从 \( (0,0) \) 到 \( (7,5) \)，但禁止通过以 \( (3,2) \) 为左上角、\( (4,3) \) 为右下角的矩形区域内任何点，求路径数。
4. 证明：在 \( m \times n \) 网格中，最短路径数为 \( \binom{m+n}{m} \)。（组合数公式）
5. “对角线”问题：在 \( n \times n \) 网格中，从左下到右上，且不穿过（可以接触）从起点到终点的对角线的路径有多少？（卡特兰数）
6. 阿星从 \( (0,0) \) 走到 \( (6,6) \)，但希望他向上走的步数始终不少于向右走的步数（在任何时刻），有多少种走法？
7. 有一个 \( 5 \times 5 \) 的网格，每一个交点上都有一盏灯。阿星从起点出发，每到一个新点就会点亮那盏灯。问他有多少种不同的点灯顺序？（路径与顺序结合）
8. 在三维网格中，从 \( (0,0,0) \) 到 \( (3,3,3) \)，每次只能沿x，y，z轴正方向走一步，最短路径有多少种？
9. 有一个圆形区域，其网格点位于一个 \( 8 \times 8 \) 网格内。从圆心左下方一点到右上方一点，仅走网格线且路径必须在圆内，求近似或通用思路。
10. 标数法与斐波那契数列的联系是什么？请构造一个场景说明。

第三关：生活应用（5道）

1. （AI寻路）一个仓库机器人从仓库左下角货架出发，需要到右上角出货口。货架间的通道构成一个 \( 20 \times 15 \) 的网格。但其中有 \( 5 \) 个货架位是满的，机器人无法通过。设计一个算法思路，让机器人计算出所有最优（最短）路径的数量，以便进行路径规划。
2. （航天轨道）一个卫星要从近地轨道（左下点）通过数次变轨到达地球同步轨道（右上点）。每次变轨只能选择增加轨道高度（向上）或增加轨道周期（向右）。若变轨操作有 \( 4 \) 次“升高度”机会和 \( 6 \) 次“增周期”机会，且顺序不同视为不同变轨方案，问有多少种不同的变轨序列能达到目标轨道？
3. （网购配送）美团骑手阿星在密集的老城区送餐，街道可以看作一个网格。从餐厅 \( A(0,0) \) 到客户家 \( B(8,5) \)，但有3条街道在维修封闭（表示为网格中的3条边无法通行）。如何快速计算还剩多少条最短配送路线？
4. （电路设计）在芯片的微型电路板上，需要将一条信号从左下角焊盘连接到右上角焊盘，走线只能沿预设的垂直或水平布线通道（网格）进行，且不能交叉或重叠。若布线通道网格为 \( 10 \times 10 \)，且中心一块 \( 2 \times 2 \) 的区域是禁布区，共有多少种不同的最短布线方案？
5. （游戏关卡）设计一个手机游戏关卡，玩家控制角色从地图左下角走到右上角。地图是 \( 6 \times 6 \) 网格，其中有宝藏点（经过得分）和陷阱点（经过扣血）。若要求玩家必须收集至少 \( 2 \) 个宝藏且避开所有陷阱，你如何利用标数法的思想，计算出符合条件的最短路径总数，来平衡关卡难度？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关答案：

1. \( 6 \) 种。 \( C_{4}^{2} = 6 \)。

2. \( 1 \) 种。 只能一直向右。

3. \( 1 \) 种。 只能一直向上。

4. 标数结果构成一个 \( 4 \times 4 \) 的方阵，从起点开始：第一行第一列1，1，1，1；第二行1，2，3，4；第三行1，3，6，10；第四行1，4，10，20。终点为 \( 20 \)。

5. \( 15 \) 种。 \( C_{6}^{2} = 15 \)。

6. \( 21 \) 种。 \( C_{7}^{2} = 21 \)。

7. \( 252 \) 种。 \( C_{10}^{5} = 252 \)。

8. 边界点的标数都是 \( 1 \)。

9. 代表“从起点走到该点的最短路径有多少种”。

10. 如果允许向左或向下，则路径可以绕远，就不是“最短”路径了，路径将无限多。

第二关答案（提示）：

1. 路径数 = \( C_{6}^{3} \times C_{6}^{3} = 400 \)。

2. 用标数法，将障碍点标 \( 0 \) 计算即可。

3. 使用“排斥原理”，或对禁区内所有入口点和出口点进行分析。

4. 走法总步数为 \( m+n \)，其中选择 \( m \) 步向右（或 \( n \) 步向上），故为组合数。

5. 这是经典的卡特兰数问题，答案为 \( \frac{1}{n+1}C_{2n}^{n} \)。

6. 同样为卡特兰数应用，\( C_{12}^{6} - C_{12}^{5} \) 或等价形式。

7. 此问题不同于单纯路径数。每一条路径对应一个点灯顺序，但同一路径顺序唯一。所以问的是路径数。

8. \( \frac{(3+3+3)!}{3! \times 3! \times 3!} = 1680 \)。

9. 需要具体计算圆内各点的可达性，标数法依然适用，但边界条件复杂。

10. 在一个高为2，宽为n的狭窄通道中，从左下到右上的最短路径数符合斐波那契数列。

第三关答案（思路）：

1. 将满的货架位对应的网格点标为障碍（\( 0 \)），然后用二维数组（DP表）实现标数法算法。

2. 共需 \( 4+6=10 \) 次操作，相当于在 \( 4 \times 6 \) 的网格中从 \( (0,0) \) 走到 \( (4,6) \)，路径数为 \( C_{10}^{4} = 210 \)。

3. 将维修街道所连接的两个点之间的通行关系切断。如果维修的是横向街道，则它上方的点将无法从其下方的点直接到达（需绕路），这可能需要将点分裂或使用带状态标数法。

4. 将禁布区对应的所有点标为 \( 0 \)，然后正常标数。

5. 这是一个带约束的路径计数问题。可以用“状态压缩DP”或分别计算经过恰好k个宝藏的路径数再求和。标数法可以扩展为在每个点记录一个状态集合（如已收集宝藏数）。