星火网
登录
首页 灵感 学院 工具 投稿

最大公因数辗转相除法练习题与详细解析：PDF下载与易错点讲解

适用年级

奥数

难度等级

⭐⭐⭐

资料格式

PDF 可打印

最近更新

2025-12-20

💡 阿星精讲：最大公因数：辗转相除 原理

  • 核心概念：想象一下，数字们在进行一场“谦让大赛”！我们想找出两个大数的最大公因数（GCD），就像找一个能同时站上两个数字舞台的最大嘉宾。阿星的妙招是：让大数（大哥）站上舞台，看看能容纳多少个小数（小弟），也就是“大数除以小数”。容纳完（整除）后，总会剩下一些空间，这叫余数。那么，大哥和小弟共同的最大嘉宾，一定也是小弟和这个余数的共同嘉宾！所以，我们让原来的除数（小弟）变成新的“大哥”，让余数变成新的“小弟”，继续表演“新大哥除以新小弟”……这样一代代谦让（相除）下去，直到某一次余数为0，舞台被完美分割。此时，站在台上的那位“小弟”（也就是最后一个非零余数），就是我们要找的最大公因数！
  • 计算秘籍：
    1. 设两数为 \(a\), \(b\)，且 \(a > b > 0\)。
    2. 用 \(a\) 除以 \(b\)，得商 \(q_1\) 和余数 \(r_1\)： \(a = b \times q_1 + r_1\)。
    3. 若 \(r_1 = 0\)，则 \(b\) 即为最大公因数。
    4. 若 \(r_1 \neq 0\)，则将 \(b\) 作为新的被除数，\(r_1\) 作为新的除数： \(b = r_1 \times q_2 + r_2\)。
    5. 重复步骤，直到某次余数 \(r_n = 0\)。此时，除数 \(r_{n-1}\) 就是 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因数。
  • 阿星口诀：大除小，得余数；变身份，再相除；余为零，停脚步；彼除数，即答案。

大数 (a) 小数 (b) ÷ 余数 (r₁) 变为新被除数 变为新除数

⚠️ 易错警示：避坑指南

  • ❌ 错误1：一开始没有用较大的数除以较小的数，导致步骤混乱。
    ✅ 正解：开始前必须比较两数大小，确保用“大数 ÷ 小数”。如果一开始小数能整除大数，那么小数本身就是最大公因数。
  • ❌ 错误2：最后一步余数为 \(0\) 时，把商当成了最大公因数。
    ✅ 正解：记住口诀“彼除数，即答案”。当余数为 \(0\) 时，使它为0的那个除数才是最大公因数。

🔥 三例题精讲

例题1：求 \(54\) 和 \(24\) 的最大公因数。

📌 解析：

  1. \(54 > 24\)，用 \(54\) 除以 \(24\)： \(54 = 24 \times 2 + 6\)，余数 \(r_1 = 6\)。
  2. 余数非零，用 \(24\) 除以 \(6\)： \(24 = 6 \times 4 + 0\)，余数 \(r_2 = 0\)。
  3. 余数为 \(0\)，停止。此时除数 \(6\) 即为答案。

✅ 总结：快速判断 \(24\) 的 \(2\) 倍是 \(48\)，离 \(54\) 差 \(6\)，这个“差”就是第一次的余数，常常是解题的突破口。

例题2：求 \(189\) 和 \(105\) 的最大公因数。

📌 解析：

  1. \(189 > 105\)， \(189 = 105 \times 1 + 84\)， \(r_1 = 84\)。
  2. \(105 = 84 \times 1 + 21\)， \(r_2 = 21\)。
  3. \(84 = 21 \times 4 + 0\)， \(r_3 = 0\)。

除数为 \(21\)，所以 \(GCD(189, 105) = 21\)。

✅ 总结：当商为 \(1\) 时，余数等于两数之差（\(189 - 105 = 84\)， \(105 - 84 = 21\)）。这提醒我们，辗转相除法的本质就是在连续求差。

例题3：求 \((42, 56, 98)\) 三个数的最大公因数。

📌 解析：先求其中两个数的最大公因数，再用这个结果与第三个数求最大公因数。

  1. 先求 \(56\) 和 \(42\) 的 \(GCD\)：
    • \(56 = 42 \times 1 + 14\)
    • \(42 = 14 \times 3 + 0\) ∴ \(GCD(56, 42) = 14\)
  2. 再求 \(14\) 和 \(98\) 的 \(GCD\)：
    • \(98 = 14 \times 7 + 0\) ∴ \(GCD(14, 98) = 14\)

所以， \((42, 56, 98)\) 的最大公因数是 \(14\)。

✅ 总结：对于多个数，核心心法是“化多为二，逐对击破”。顺序可以任意，结果不变。

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

  1. 求 \(36\) 和 \(24\) 的最大公因数。
  2. 求 \(81\) 和 \(63\) 的最大公因数。
  3. 求 \(72\) 和 \(48\) 的最大公因数。
  4. 求 \(121\) 和 \(77\) 的最大公因数。
  5. 求 \(65\) 和 \(39\) 的最大公因数。
  6. 求 \(90\) 和 \(75\) 的最大公因数。
  7. 求 \(144\) 和 \(96\) 的最大公因数。
  8. 求 \(1001\) 和 \(91\) 的最大公因数。
  9. 求 \((28, 70)\) 的最大公因数。
  10. 求 \((45, 60, 90)\) 的最大公因数。

第二关：奥数挑战（10道）

  1. \(GCD(2^{100}-1, 2^{60}-1) = 2^{20}-1\)，请用辗转相除法原理思考为什么？
  2. 两个数的和是 \(111\)，最大公因数是 \(37\)，这两个数分别是多少？
  3. 已知 \(GCD(a, b) = 12\)， \(a+b=120\)，且 \(a>b\)，求 \(a\) 和 \(b\)。
  4. 用辗转相除法求 \(377\) 和 \(319\) 的最大公因数。
  5. 一个数除 \(193\) 余 \(4\)，除 \(107\) 余 \(2\)，求这个数最大是多少？
  6. 求 \(7n+4\) 与 \(5n+3\) 的最大公因数（\(n\) 为自然数）。
  7. \(GCD(123456, 234567)\) 的末尾数字是多少？
  8. 长方形瓷砖长 \(1.2\) 米，宽 \(0.8\) 米，要铺成正方形，至少需要多少块？
  9. 若 \(GCD(18, a) = 6\)， \(LCM(18, a)=72\)，求 \(a\)。
  10. 证明：相邻两个偶数的最大公因数是 \(2\)。

第三关：生活应用（5道）

  1. （AI数据打包）阿星训练AI模型，有两批数据包，一批有 \(256GB\)，另一批有 \(160GB\)。为了高效读取，需要将它们切割成容量相等的“数据块”，且每块要尽可能大。每个数据块容量是多少GB？
  2. （航天信号周期）两个太空探测器向地球发送信号，一个每 \(156\) 秒发送一次，另一个每 \(204\) 秒发送一次。如果它们在中午 \(12:00\) 同时发送信号，下一次同时发送信号是什么时候？
  3. （网购优惠组合）某店铺“满 \(120\) 减 \(15\)”和“满 \(200\) 减 \(35\)”两种优惠券。小明想买若干件同款商品（单价整数元），使得两种优惠券都能刚好用上且不浪费任何面额。商品单价至少是多少元？
  4. （区块链节点同步）区块链网络中有两个节点，它们的区块高度分别是 \(888\) 和 \(1296\)。它们需要从某个共同的祖先区块开始同步数据，以最少的同步次数达到一致。这个共同祖先区块的高度与当前最高区块相差多少？
  5. （音乐节拍编程）一段电子音乐，鼓点循环周期是 \(48\) 个时间单位，旋律循环周期是 \(64\) 个时间单位。程序员想让它们在一个完整的“小节”后同时结束并重启，这个“小节”最短是多少个时间单位？

🤔 常见疑问 FAQ

💡 专家问答：最大公因数：辗转相除 的深度思考

问：为什么很多学生觉得这一块很难？

答：关键在于对“为什么有效”不理解，只记住了步骤。其数学原理基于一个核心定理：若 \(a = bq + r\)，则 \(GCD(a, b) = GCD(b, r)\)。因为 \(a\) 和 \(b\) 的任何公因数一定能整除 \(r = a - bq\)；反之，\(b\) 和 \(r\) 的任何公因数也一定能整除 \(a = bq + r\)。所以它们的公因数集合完全相同，最大公因数自然也相同。理解了这一点，就明白算法是在不断转化为更小数字的相同问题。

问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？

答：帮助极大，它是数论和代数的基石。1）化简分数：\(\frac{a}{b}\) 约分就是分子分母同除以 \(GCD(a, b)\)。2）解不定方程：如 \(ax + by = c\) 有整数解的前提是 \(GCD(a, b)\) 能整除 \(c\)，解法也源于辗转相除。3）密码学（RSA算法）：其关键步骤之一就是利用扩展的辗转相除法（欧几里得算法）求模逆元。4）算法复杂度分析：它是计算机科学中经典的递归/迭代算法范例。

问：有什么一招必胜的解题“套路”吗？

答：有！对于求 \(GCD(a, b)\)，无论数字多大，遵循这个“套路”：
1. 排大小：确保 \(a > b\)。
2. 做除法：列式 \(a = b \times q_1 + r_1\) \((0 \le r_1 < b)\)。
3. 看余数：若 \(r_1 = 0\)，结束，答案是 \(b\)；若 \(r_1 \neq 0\)，进入下一步。
4. 换角色，回第二步：将 \((a, b)\) 替换为 \((b, r_1)\)，即“用上次的除数作新的被除数，上次的余数作新的除数”，回到第二步继续除。
把这个循环刻在脑子里，配上阿星口诀，万题皆可破。

答案与解析

第一关：
1. \(GCD(36, 24)=12\)
2. \(GCD(81, 63)=9\)
3. \(GCD(72, 48)=24\)
4. \(GCD(121, 77)=11\)
5. \(GCD(65, 39)=13\)
6. \(GCD(90, 75)=15\)
7. \(GCD(144, 96)=48\)
8. \(1001 = 91 \times 11 + 0\)， ∴ \(GCD(1001, 91)=91\)
9. \(GCD(28, 70)=14\)
10. \(GCD(45, 60)=15\)， \(GCD(15, 90)=15\)， ∴ 答案为 \(15\)。

第二关：
1. 原理：\(2^m - 1\) 和 \(2^n - 1\) 的最大公因数是 \(2^{GCD(m, n)} - 1\)。∵ \(GCD(100, 60)=20\)，∴ 答案为 \(2^{20}-1\)。
2. 设两数为 \(37a\) 和 \(37b\)，则 \(37(a+b)=111\)， \(a+b=3\)，且 \(a,b\) 互质。可能为 \((1,2)\)，故两数为 \(37\) 和 \(74\)。
3. 设 \(a=12m, b=12n\)，则 \(12(m+n)=120\)， \(m+n=10\)，且 \(m,n\) 互质。可能 \((9,1),(7,3)\)，∵ \(a>b\)，∴ \(a=12\times9=108, b=12\) 或 \(a=84, b=36\)。
4. \(377 = 319\times1 + 58\)， \(319 = 58\times5 + 29\)， \(58 = 29\times2 + 0\)， ∴ \(GCD=29\)。
5. 这个数能整除 \(193-4=189\) 和 \(107-2=105\)。求 \(GCD(189, 105)=21\)，故这个数最大是 \(21\)。
6. \(7n+4 = (5n+3)\times1 + (2n+1)\)， \(5n+3 = (2n+1)\times2 + (n+1)\)， \(2n+1 = (n+1)\times1 + n\)， \(n+1 = n\times1 + 1\)， \(n = 1\times n + 0\)。∴ \(GCD=1\)。
7. \(234567 = 123456\times1 + 111111\)， \(123456 = 111111\times1 + 12345\)， … 持续计算，最终 \(GCD\) 为 \(3\)，末尾数字是 \(3\)。
8. \(1.2\)米=\(120\)厘米， \(0.8\)米=\(80\)厘米。求 \(GCD(120,80)=40\)厘米（正方形边长）。 \((120/40)\times(80/40)=3\times2=6\)块。
9. \(18\times a = GCD(18,a) \times LCM(18,a) = 6\times72 = 432\)，∴ \(a = 432 / 18 = 24\)。
10. 设两偶数为 \(2k\) 和 \(2k+2\)， \(GCD(2k, 2k+2) = 2 \times GCD(k, k+1)\)，而 \(k\) 与 \(k+1\) 互质，故 \(GCD=2\)。

第三关：
1. 求 \(GCD(256, 160)\)。\(256=160\times1+96\)， \(160=96\times1+64\)， \(96=64\times1+32\)， \(64=32\times2+0\)。 ∴ 每块 \(32GB\)。
2. 求 \(GCD(156, 204)=12\)秒的最小公倍数。∵ \(156\) 和 \(204\) 的 \(LCM\) 为 \(156\times204 / 12 = 2652\)秒=\(44\)分\(12\)秒。下一次同时发送是 \(12:44:12\)。
3. 即求 \(120\) 和 \(200\) 的最大公因数。\(GCD(120,200)=40\)。单价至少 \(40\)元（买3件120元可用券1，买5件200元可用券2）。
4. 即求 \(888\) 和 \(1296\) 的最大公因数。\(GCD(888,1296)=24\)。最高区块为 \(1296\)，相差 \(1296-24=1272\)。
5. 即求 \(48\) 和 \(64\) 的最小公倍数。先求 \(GCD(48,64)=16\)，则 \(LCM=48\times64/16=192\)个时间单位。

PDF 练习题打印版

为了节省资源，点击后将为您即时生成 PDF

📚 更多PDF下载练习题

位值原理详解：常见错误分析与奥数练习题（含PDF下载）

PDF下载 12-18

除法分配律练习题下载：四年级奥数专项训练10套（含答案解析）

PDF下载 12-18