勾股数是什么？整数兄弟记忆口诀与典型例题深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：勾股数 原理

• 核心概念：你好呀！我是阿星，今天来聊聊“整数兄弟”——勾股数。什么是兄弟？就是同进同退、关系紧密的一家人！在直角三角形里，如果三条边的长度 \(a\)、\(b\)、\(c\) 都是正整数，并且正好满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，那它们仨就是一组最铁的“整数兄弟”啦！比如 \(3, 4, 5\) 这哥仨，\(3^2+4^2=9+16=25\)，正好是 \(5^2\)。记住这些经典兄弟组合，做题就像认人，速度直接翻倍！
• 计算秘籍：如何找到更多“兄弟”？
  1. 认老大哥：最经典的“本原勾股数”（三兄弟互质，没有除1以外的公因数）可以用公式生成：取 \(m > n\)，且 \(m, n\) 为一奇一偶的正整数。
     • \(a = m^2 - n^2\)
     • \(b = 2 \times m \times n\)
     • \(c = m^2 + n^2\)

     试试 \(m=2, n=1\)：得到 \(a=3, b=4, c=5\)。太神奇了！

  2. 家族繁衍：找到一组“本原兄弟”后，把它们每个数都乘以同一个正整数 \(k\)，就能得到新的兄弟。比如 \(3,4,5\) 乘以 \(2\)，就得到 \(6,8,10\)。
• 阿星口诀：“勾三股四弦为五，奇偶搭配生无数。倍数扩大是家族，看到兄弟莫打怵！”

📐 图形解析

“整数兄弟”在图形上怎么表现呢？看下面这个正方形拼图，它完美解释了为什么 \(3^2 + 4^2 = 5^2\)。

关系式：\( 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 \)

通过图形可以直观看到，一个边长为 \(5\) 的大正方形，其面积（\(25\)）可以被分割成一个边长为 \(3\) 的小正方形（面积 \(9\)）和四个两直角边为 \(3\) 和 \(4\) 的直角三角形。这正是勾股定理的几何证明之一。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为只要是三个整数就能是勾股数，如 \(2, 3, 4\)。 → ✅ 正解：必须严格满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，且 \(c\) 是最大边。需要代入验算：\(2^2+3^2=13 \neq 4^2=16\)。
• ❌ 错误2：写勾股数时顺序随意。 → ✅ 正解：通常约定 \(a < b < c\)，且 \(c\) 是斜边。在应用时，要找准哪条边是斜边。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：\(6, 8, 10\) 是勾股数吗？写出验算过程。
2. 判断：\(9, 12, 15\) 是勾股数吗？它是哪组本原勾股数的倍数？
3. 填空：常见的本原勾股数有 \(3,4,5\)；\(5,12,\)_；\(7,24,\)_。
4. 已知直角三角形的两条直角边是 \(8\) 和 \(15\)，求斜边长。
5. 已知直角三角形的斜边是 \(25\)，一条直角边是 \(7\)，求另一条直角边。
6. 以 \(m=3, n=2\) 代入公式，生成一组本原勾股数。
7. 写出 \(3,4,5\) 的所有2倍和3倍的勾股数。
8. 一个直角三角形的三边长是连续的三个整数，求这三边长。
9. 已知 \(a=20, b=21\)，它们能作为直角边构成勾股数吗？如果能，斜边c是多少？
10. 简单应用：小明想用一根 \(2.5\text{m}\) 的梯子，底端离墙 \(0.7\text{m}\)，顶端能到达多高的墙？（忽略厚度）

第二关：中考挑战（10道）

1. 若 \(a, b, c\) 是勾股数，且 \(a=2mn\)， \(b=m^2-n^2\)， \(c=m^2+n^2\)（\(m>n\)），当 \(m=5, n=2\) 时，求这组数。
2. 观察规律：\(3^2=4+5\), \(5^2=12+13\), \(7^2=24+25\)。请写出 \(9^2\) 对应的两个连续整数。
3. 已知一个直角三角形的周长为 \(30\text{cm}\)，斜边长为 \(13\text{cm}\)，求其面积。
4. 若直角三角形的三边长为正整数，且其中一边长为 \(11\)，写出所有可能的三边长。
5. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)， \(AC=9\)， \(BC=12\)， \(CD\) 是斜边 \(AB\) 上的高。求 \(CD\) 的长。
6. 求证：对于任意大于1的奇数 \(k\)， \((k, \frac{k^2-1}{2}, \frac{k^2+1}{2})\) 构成一组本原勾股数。
7. 若 \(x, y, z\) 是一组本原勾股数，且 \(x\) 是偶数，求证 \(x\) 能被 \(4\) 整除。
8. 已知 \(|a-12| + (b-5)^2 + \sqrt{c-13} = 0\)，判断以 \(a, b, c\) 为边长的三角形形状。
9. 如图，在四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle ABC=90^\circ\)， \(AB=3\)， \(BC=4\)， \(CD=12\)， \(DA=13\)。求四边形面积。
10. 一艘船以 \(16\text{km/h}\) 的速度离开港口向正东航行，另一艘船以 \(12\text{km/h}\) 的速度同时同地向正南航行。\(2\) 小时后，两船相距多远？

第三关：生活应用（5道）

1. 电视尺寸：一台电视标称“55英寸”，指的是屏幕对角线的长度为 \(55\) 英寸。如果屏幕的长宽比为 \(16:9\)，请计算它的屏幕大约长和宽各多少厘米？（1英寸≈2.54厘米）
2. 花园设计：小明的爸爸想在一个直角墙角修一个矩形的花坛，两面墙作为花坛的两边。他准备了 \(14\) 米长的篱笆围住另外两边。为了最大化花坛面积，他应该用多长的篱笆作为长和宽？此时花坛对角线的长度是多少？

古建筑测量：为了测量一座古塔的高度，测量人员在离塔底 \(50\) 米远处，测得塔顶的仰角约为 \(38.7^\circ\)。巧合的是，\(\tan 38.7^\circ \approx 0.8\)。请利用勾股数的知识，估算古塔的高度。（提示：\(0.8 = 4/5\)）

3. 安全距离：一根 \(10\) 米高的旗杆，从顶端斜拉一根钢丝固定到地面。如果钢丝在杆上的固定点下移 \(2\) 米，为了保持钢丝与地面的夹角不变，固定点需要向外移动多少米？
4. 最短路径：如图，一个无盖的长方体盒子，长、宽、高分别为 \(30\text{cm}, 20\text{cm}, 10\text{cm}\)。一只蚂蚁从顶点 \(A\) 爬到对角的顶点 \(B\)（在盒子外表面爬行），求最短路径长度。
   

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：

1. 是。验算：\(6^2+8^2=36+64=100\)， \(10^2=100\)。
2. 是。它是 \(3,4,5\) 的 \(3\) 倍。
3. \(13\)；\(25\)。
4. 斜边 = \(\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{64+225}=\sqrt{289}=17\)。
5. 另一直角边 = \(\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24\)。
6. \(m=3, n=2\)，则 \(a=3^2-2^2=5\)， \(b=2\times3\times2=12\)， \(c=3^2+2^2=13\)。得 \(5,12,13\)。
7. 2倍：\(6,8,10\)；3倍：\(9,12,15\)。
8. 设三边为 \(n-1, n, n+1\)，斜边最大为 \(n+1\)。列方程：\((n-1)^2+n^2=(n+1)^2\)，解得 \(n=4\)。三边为 \(3,4,5\)。
9. 能。斜边 \(c = \sqrt{20^2+21^2} = \sqrt{400+441} = \sqrt{841} = 29\)。
10. 高度 \(h = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = \sqrt{6.25 - 0.49} = \sqrt{5.76} = 2.4 (\text{m})\)。

第二关：

1. \(a=2\times5\times2=20\)， \(b=5^2-2^2=21\)， \(c=5^2+2^2=29\)。得 \(20, 21, 29\)。
2. \(9^2=81\)，对应 \(40\) 和 \(41\)。规律：奇数的平方可以拆成两个连续整数之和。
3. 设两直角边为 \(a, b\)，则 \(a+b=17\)， \(a^2+b^2=169\)。由 \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)，得 \(289=169+2ab\)，所以 \(ab=60\)。面积 \(S=\frac{1}{2}ab=30\)。
4. 若11为直角边：另一直角边 \(b\)，斜边 \(c\)，满足 \(11^2+b^2=c^2\)，即 \(c^2-b^2=121\)。分解得 \((c-b)(c+b)=121\)。121=1×121（c-b=1,c+b=121，得b=60,c=61）。121=11×11（c-b=11,c+b=11，无整数解）。若11为斜边：设两直角边 \(a, b\)，则 \(a^2+b^2=121\)，枚举得可能为 \((11,60,61)\) 或 \((?,?,11)\)无解。所以可能为 \((11, 60, 61)\)。
5. 先求斜边 \(AB=\sqrt{9^2+12^2}=15\)。由面积法：\(\frac{1}{2}\times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times CD\)，即 \(9\times12=15\times CD\)，得 \(CD=7.2\)。
6. 证明：设奇数为 \(k\)，则 \(\frac{k^2-1}{2}\) 和 \(\frac{k^2+1}{2}\) 为连续整数，且和为 \(k^2\)。代入验证：\(k^2 + (\frac{k^2-1}{2})^2 = k^2 + \frac{k^4-2k^2+1}{4} = \frac{4k^2+k^4-2k^2+1}{4} = \frac{k^4+2k^2+1}{4} = (\frac{k^2+1}{2})^2\)。且三者互质。
7. 略（提示：本原勾股数中，偶数直角边可写为 \(2mn\)，由于 \(m,n\) 一奇一偶，故 \(2mn\) 能被 \(4\) 整除）。
8. 由非负性得 \(a=12, b=5, c=13\)。因 \(12^2+5^2=144+25=169=13^2\)，故为直角三角形。
9. 连接 \(AC\)，则 \(\triangle ABC\) 为直角三角形， \(AC=\sqrt{3^2+4^2}=5\)。在 \(\triangle ACD\) 中， \(AC=5, CD=12, DA=13\)，满足 \(5^2+12^2=13^2\)，故 \(\triangle ACD\) 也为直角三角形，\(\angle ACD=90^\circ\)。四边形面积 \(S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}\times3\times4 + \frac{1}{2}\times5\times12 = 6+30=36\)。
10. 两船距离 \(d = \sqrt{(16\times2)^2 + (12\times2)^2} = \sqrt{32^2+24^2} = \sqrt{1024+576} = \sqrt{1600} = 40 (\text{km})\)。

第三关：

1. 设长 \(16k\)，宽 \(9k\) 英寸，对角线 \((55)\) 满足：\((16k)^2+(9k)^2=55^2\)。解得 \(337k^2=3025\)， \(k^2 \approx 8.977\)， \(k \approx 2.996\)。故长≈ \(16\times2.996\approx47.94\)英寸≈ \(121.8\)厘米，宽≈ \(9\times2.996\approx26.96\)英寸≈ \(68.5\)厘米。
2. 设垂直于两面墙的篱笆长分别为 \(x\) 米和 \(y\) 米，则 \(x+y=14\)。面积 \(S=xy = x(14-x)\)，当 \(x=7\) 时取最大值。此时长宽均为 \(7\) 米，对角线长 \(=\sqrt{7^2+7^2}=7\sqrt{2} \approx 9.9\) 米。
3. 设塔高 \(h\)，则 \(\tan \theta = h/50 = 4/5\)，所以 \(h = 50 \times \frac{4}{5} = 40\) 米。这里构成了 \(3:4:5\) 的直角三角形（比例），实际边长是 \(30, 40, 50\)。
4. 初始：杆高10m，设钢丝固定点距杆底距离为 \(s\)（即杆上固定点高度），地面固定点距杆底 \(d\)，有 \(d/s = 固定比值\)。由勾股定理，钢丝长 \(l = \sqrt{s^2+d^2}\)。固定点下移2米后，新的 \(s'=s-2\)，为保持角度不变，需保持 \(d'/s' = d/s\)，即 \(d' = d \times (s-2)/s\)。向外移动距离为 \(d' - d = -2d/s\)。需要具体数值才能计算。
5. 将长方体侧面展开，寻找 \(A\) 到 \(B\) 的直线距离。有多种展开方式，最短路径为 \(\sqrt{(30+20)^2 + 10^2} = \sqrt{2500+100} = \sqrt{2600} = 10\sqrt{26} \text{cm}\)，或 \(\sqrt{(30+10)^2 + 20^2} = \sqrt{1600+400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \text{cm}\)。比较得 \(20\sqrt{5} \approx 44.7\text{cm}\) 小于 \(10\sqrt{26} \approx 51.0\text{cm}\)。因此最短路径为 \(\sqrt{30^2 + (20+10)^2} = \sqrt{900+900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \text{cm}\)？更正：展开方式为将前侧面和上底面展开在同一平面，路径为从A（左下）到右上角B，横向距离=长+高，纵向距离=宽。即 \(\sqrt{(30+10)^2 + 20^2} = \sqrt{1600+400} = \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \text{cm}\)。这是常见的最短路径。