勾股定理逆定理全解析：如何判断三角形是否为直角三角形？专项练习题库

💡 阿星精讲：勾股定理逆定理 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！勾股定理你肯定熟悉：已知一个家伙是直角三角形（身份），就能推出它的三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（特征）。今天学的逆定理，就是一次精彩的“身份反查”！我们已知一个三角形的三边满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)（特征），就能断定它的身份一定是直角三角形，其中最长边 \( c \) 所对的角就是直角。这就好比警察叔叔通过指纹（三边关系）确认了你的身份（直角三角形成立）。
• 计算秘籍：
  1. 找“最长边”： 确定三角形三边 \( a, b, c \) 中哪条最长，并把它定为 \( c \)。
  2. 计算“平方和”： 计算两条较短边的平方和：\( a^2 + b^2 \)。
  3. 对比“最长边平方”： 计算最长边的平方：\( c^2 \)。
  4. 身份验证：
     • 若 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，则 ✅ 身份确认，是直角三角形（\( \angle C = 90^\circ \)）。
     • 若 \( a^2 + b^2 > c^2 \)，则 ⚠️ 身份不符，是锐角三角形。
     • 若 \( a^2 + b^2 < c^2 \)，则 ⚠️ 身份不符，是钝角三角形。
• 阿星口诀： 三边数据摆上台，最长边先找出来。平方和与平方比，相等直角现形哉！

📐 图形解析

想象一下，我们手里只有三根已知长度的木棍 \( a \)、\( b \)、\( c \)，想拼出一个三角形。怎么知道拼出来的三角形有没有直角呢？

根据逆定理，只要验证：最长棍 \( c \) 的平方是否等于另两根棍平方之和：\( a^2 + b^2 \)。

下图展示了当 \( a^2 + b^2 = c^2 \) 时，边 \( c \) 的对角 \( \angle C \) 恰好为直角 \( 90^\circ \)，从而构成了一个标准的直角三角形。

从图形上可以直观理解：当 \( a^2 \)（蓝色虚线正方形）与 \( b^2 \)（绿色虚线正方形）的面积之和，等于 \( c^2 \)（橙色虚线正方形）的面积时，这三个图形可以完美地围绕点 \( C \) 拼合，这迫使 \( \angle C \) 成为一个直角。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不验证直接下结论。看到一个三角形两边像是3和4，就默认第三边是5，直接说是直角三角形。
  ✅ 正解：必须严格按照计算秘籍的三步，先找出最长边 \( c \)，再计算 \( a^2 + b^2 \) 与 \( c^2 \) 进行数值比较。比如三边是3, 4, 6，虽然3和4是勾股数，但 \( 3^2+4^2=25 \neq 36=6^2 \)，所以不是直角三角形。
• ❌ 错误2：混淆勾股定理与其逆定理。
  ✅ 正解：记住阿星的“身份反查”比喻：
  • 勾股定理（正）：已知身份（直角三角形）→ 推出特征（\( a^2+b^2=c^2 \)）。用于已知直角求边长。
  • 勾股定理逆定理：已知特征（\( a^2+b^2=c^2 \)）→ 反查身份（是直角三角形）。用于已知三边长度判定是否有直角。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 三边长为 5, 12, 13 的三角形是直角三角形吗？哪个角是直角？
2. 三边长为 7, 24, 25 的三角形是直角三角形吗？哪个角是直角？
3. 三边长为 4, 5, 6 的三角形是直角三角形吗？它是什么三角形？（锐角/钝角）
4. 三边长为 9, 40, 41 的三角形是直角三角形吗？
5. 三边长为 \( \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5} \) 的三角形是直角三角形吗？
6. 三边长为 1, 2, 3 的三角形能构成三角形吗？能构成直角三角形吗？
7. 已知三角形两边为 8 和 15，若它是直角三角形，第三边可能是多少？（两种情况）
8. 若三角形三边长满足 \( (a-3)^2 + |b-4| + \sqrt{c-5} = 0 \)，判断其形状。
9. 简单SVG图：一个三角形，三边标为 6, x, 10，其中 10 是最长边。若它是直角三角形，求 \( x \)。
10. 三角形三内角度数比为 1:2:3，它的三边长比是多少？

第二关：中考挑战（10道）

1. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( a=n^2-1 \)， \( b=2n \)， \( c=n^2+1 \)（\( n>1 \)）。求证：\( \triangle ABC \) 是直角三角形。
2. 若 \( \triangle ABC \) 的三边 \( a,b,c \) 满足 \( a^2c^2 - b^2c^2 = a^4 - b^4 \)，试判断 \( \triangle ABC \) 的形状。
3. 已知 \( a,b,c \) 是 \( \triangle ABC \) 的三边，且满足 \( \frac{a}{3} = \frac{b}{4} = \frac{c}{5} \)， \( 2a-b+c=12 \)。求：(1) \( a,b,c \) 的值；(2)判断 \( \triangle ABC \) 的形状。
4. 如图，在四边形 \( ABCD \) 中，\( AB=3 \)， \( BC=4 \)， \( CD=12 \)， \( DA=13 \)，且 \( \angle B=90^\circ \)。求四边形 \( ABCD \) 的面积。
   
5. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=25 \)， \( BC=7 \)， \( CA=24 \)。(1) 判断形状；(2) 求 \( BC \) 边上的高。
6. 已知 \( \triangle ABC \) 中， \( AB=10 \)， \( AC=17 \)， \( BC \) 边上的高 \( AD=8 \)。求 \( BC \) 的长。（双解）
7. 若三角形的三边长分别为 \( m^2+n^2 \)， \( m^2-n^2 \)， \( 2mn \)（\( m>n>0 \)），判断其形状。
8. 在 \( \triangle ABC \) 中， \( \angle A \)， \( \angle B \)， \( \angle C \) 的对边分别为 \( a,b,c \)，且 \( (c+b)(c-b)=a^2 \)，则下列关系成立的是（ ）。A. \( \angle B \) 是直角 B. \( \angle A \) 是直角 C. \( \angle C \) 是直角
9. 若一个三角形的三条边之比为 \( 5:12:13 \)，且周长为 \( 60 \, \text{cm} \)，则它的面积是 \( \_\_\_\_ \, \text{cm}^2 \)。
10. 已知 \( \triangle ABC \) 的三边为连续整数，且最大角是最小角的2倍，求三边长。

第三关：生活应用（5道）

1. 木工直角：木工师傅要做一个直角，他用卷尺量了一个三角形的三边分别是 \( 30 \, \text{cm} \)， \( 40 \, \text{cm} \)， \( 50 \, \text{cm} \)。请问他做出来的角是直角吗？原理是什么？
2. 梯子安全：一架长 \( 2.5 \, \text{m} \) 的梯子斜靠在墙上，梯脚离墙脚 \( 0.7 \, \text{m} \)。问梯顶沿墙面下滑 \( 0.4 \, \text{m} \) 后，梯脚会向外滑动多少米？滑动后梯子与地面、墙面还构成直角三角形吗？
3. 航海定位：一艘船从A港出发，向正东方向航行 \( 80 \, \text{km} \) 至B点，然后向正北方向航行 \( 60 \, \text{km} \) 至C点。如果它想从C点直线返回A港，它应朝什么方向航行（角度）？航程是多少？
4. 农田规划：一块农田的形状是四边形，测量得其四边长依次为 \( 90 \, \text{m} \)， \( 120 \, \text{m} \)， \( 150 \, \text{m} \)， \( 180 \, \text{m} \)，其中 \( 90 \, \text{m} \) 和 \( 120 \, \text{m} \) 的边互相垂直。求这块农田的面积。
5. 信号覆盖：三个手机信号塔A、B、C的位置构成一个三角形。测量得AB=5公里，BC=12公里，AC=13公里。工程师想检查三个塔的连线是否构成直角三角形，以确保信号覆盖范围计算正确。请问这是直角三角形吗？哪个塔的位置是直角顶点？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 是。 \( 5^2+12^2=25+144=169=13^2 \)，最长边13所对的角（即 \( \angle C \)）是直角。
2. 是。 \( 7^2+24^2=49+576=625=25^2 \)， \( \angle C = 90^\circ \)。
3. 不是直角三角形。 \( 4^2+5^2=41 > 36=6^2 \)，所以是锐角三角形。
4. 是。 \( 9^2+40^2=81+1600=1681=41^2 \)。
5. 不是。 \( (\sqrt{3})^2+(\sqrt{4})^2=3+4=7 \neq 5=(\sqrt{5})^2 \)。注意 \( \sqrt{4}=2 \)。
6. 不能构成三角形。因为 \( 1+2=3 \)，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）。既然不能构成三角形，更不可能是直角三角形。
7. 17 或 \( \sqrt{161} \)。 分情况：若第三边 \( c \) 为斜边，则 \( c = \sqrt{8^2+15^2}=17 \)；若第三边 \( b \) 为直角边，则 \( b = \sqrt{15^2-8^2}=\sqrt{161} \)。
8. 由非负性得 \( a=3, b=4, c=5 \)。 \( 3^2+4^2=25=5^2 \)，故为直角三角形。
9. 由 \( 6^2 + x^2 = 10^2 \) 得 \( x^2 = 64 \)， \( x=8 \)（负舍）。
10. 由角度比 \( 1:2:3 \) 及内角和 \( 180^\circ \) 得角为 \( 30^\circ, 60^\circ, 90^\circ \)。三边比为 \( 1:\sqrt{3}:2 \)（ \( 30^\circ \) 对边: \( 60^\circ \) 对边:斜边）。

第二关：中考挑战

1. 证明：\( a^2+b^2 = (n^2-1)^2+(2n)^2 = n^4-2n^2+1+4n^2 = n^4+2n^2+1 = (n^2+1)^2 = c^2 \)，由逆定理得证。
2. 原式变形：\( c^2(a^2-b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2) \)。若 \( a^2 \neq b^2 \)，约分得 \( c^2 = a^2+b^2 \)，直角三角形（\( \angle C=90^\circ \)）；若 \( a^2 = b^2 \) 即 \( a=b \)，则为等腰三角形。综上，为等腰三角形或直角三角形。
3. (1)设 \( a=3k, b=4k, c=5k \)，代入 \( 6k-4k+5k=12 \) 得 \( k=\frac{12}{7} \)，故 \( a=\frac{36}{7}, b=\frac{48}{7}, c=\frac{60}{7} \)。 (2) \( a^2+b^2 = (\frac{36}{7})^2+(\frac{48}{7})^2 = \frac{3600}{49} = (\frac{60}{7})^2 = c^2 \)，是直角三角形。
4. 连接 \( AC \)。在 \( Rt\triangle ABC \) 中， \( AC^2=AB^2+BC^2=25 \)， \( AC=5 \)。在 \( \triangle ACD \) 中， \( AC^2+CD^2=25+144=169=13^2=AD^2 \)，故 \( \triangle ACD \) 为 \( Rt\triangle \)， \( \angle ACD=90^\circ \)。面积 \( S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}\times3\times4 + \frac{1}{2}\times5\times12 = 6+30=36 \)。
5. (1) \( 7^2+24^2=625=25^2 \)，是 \( Rt\triangle \)， \( \angle A=90^\circ \)（因为 \( BC \) 是最短边，其对角 \( \angle A \) 是直角）。(2) 利用面积： \( \frac{1}{2}\times AB \times AC = \frac{1}{2}\times BC \times h \)，即 \( \frac{1}{2}\times25\times24 = \frac{1}{2}\times7\times h \)，得 \( h = \frac{600}{7} \)。
6. 双解情况。当高 \( AD \) 在形内时，在 \( Rt\triangle ABD \) 和 \( Rt\triangle ACD \) 中分别求得 \( BD=6 \)， \( CD=15 \)，故 \( BC=21 \)。当高 \( AD \) 在形外（ \( \angle C \) 为钝角）时，求得 \( BD=6 \)， \( CD=15 \)，此时 \( BC=CD-BD=9 \)。
7. 设 \( a=m^2+n^2, b=m^2-n^2, c=2mn \)。比较大小，因 \( m>n>0 \)，易知 \( a \) 最大。计算 \( b^2+c^2 = (m^2-n^2)^2+(2mn)^2 = m^4 - 2m^2n^2 + n^4 + 4m^2n^2 = m^4+2m^2n^2+n^4 = (m^2+n^2)^2 = a^2 \)，故为直角三角形，且 \( a \) 为斜边。
8. B。 \( (c+b)(c-b)=a^2 \) 即 \( c^2 - b^2 = a^2 \)，移项得 \( c^2 = a^2 + b^2 \)，故 \( \angle C \) 是直角。
9. 120。设三边为 \( 5k, 12k, 13k \)，则 \( 5k+12k+13k=60 \)， \( k=2 \)，故三边为 \( 10, 24, 26 \)。验证 \( 10^2+24^2=100+576=676=26^2 \)，是直角三角形。面积 \( S=\frac{1}{2}\times10\times24=120 \)。
10. 设三边为 \( n-1, n, n+1 \)（\( n>1 \) 整数）。设最小角 \( \alpha \) 对边 \( n-1 \)，最大角 \( 2\alpha \) 对边 \( n+1 \)。由正弦定理 \( \frac{n-1}{\sin\alpha} = \frac{n+1}{\sin2\alpha} = \frac{n+1}{2\sin\alpha\cos\alpha} \)，化简得 \( \cos\alpha = \frac{n+1}{2(n-1)} \)。由余弦定理，\( \cos\alpha = \frac{n^2+(n+1)^2-(n-1)^2}{2n(n+1)} = \frac{n^2+4n}{2n(n+1)} = \frac{n+4}{2(n+1)} \)。联立解得 \( n=5 \)，三边为 \( 4,5,6 \)。

第三关：生活应用

1. 是直角。 原理：勾股定理逆定理。 \( 30^2+40^2=900+1600=2500=50^2 \)，满足三边平方关系，故该三角形是直角三角形，且 \( 50 \, \text{cm} \) 边所对的角是直角。这是木工常用的“3、4、5”放线法。
2. 约0.48米，仍是直角三角形。 初始：墙高 \( h_1 = \sqrt{2.5^2 - 0.7^2} = 2.4 \, \text{m} \)。下滑后墙高 \( h_2 = 2.4 - 0.4 = 2.0 \, \text{m} \)。新梯脚距离 \( d_2 = \sqrt{2.5^2 - 2.0^2} = 1.5 \, \text{m} \)。滑动距离 \( = 1.5 - 0.7 = 0.8 \, \text{m} \)？等等，仔细想：梯子长度 \( 2.5 \, \text{m} \) 不变，始终是直角三角形的斜边。下滑后，两直角边变为 \( 2.0 \, \text{m} \) 和 \( 1.5 \, \text{m} \)，仍然满足 \( 2.0^2 + 1.5^2 = 4 + 2.25 = 6.25 = 2.5^2 \)，所以始终是直角三角形。梯脚滑动距离是 \( 1.5 - 0.7 = 0.8 \, \text{m} \)。
3. 西南方向（或南偏西约 \( 53.1^\circ \)），航程 \( 100 \, \text{km} \)。 \( \triangle ABC \) 构成直角三角形， \( AC = \sqrt{80^2+60^2} = 100 \, \text{km} \)。返回方向与正东方向的夹角 \( \theta \) 满足 \( \tan\theta = \frac{60}{80} = 0.75 \)， \( \theta \approx 36.9^\circ \)，故应朝西偏南 \( 36.9^\circ \)（或南偏西 \( 53.1^\circ \)）方向航行。
4. 面积 \( 11700 \, \text{m}^2 \)。 连接垂直两边（90m和120m）的非公共端点。这条对角线将四边形分为两个直角三角形。第一个直角 \( \triangle \) 面积 \( S_1 = \frac{1}{2} \times 90 \times 120 = 5400 \, \text{m}^2 \)。该三角形斜边（即对角线）长 \( d = \sqrt{90^2+120^2} = 150 \, \text{m} \)。验证另一个三角形：三边为 \( 150, 150, 180 \)，因为 \( 150^2+150^2=45000 < 32400=180^2 \)? 等等，计算：\( 150^2+150^2=22500+22500=45000 \)， \( 180^2=32400 \)， \( 45000 > 32400 \)，所以是锐角三角形，不是直角三角形，不能直接用 \( \frac{1}{2} \times 底 \times 高 \)。需要用海伦公式或其他方法。海伦公式：半周长 \( p = (150+150+180)/2 = 240 \)，面积 \( S_2 = \sqrt{240 \times (240-150) \times (240-150) \times (240-180)} = \sqrt{240 \times 90 \times 90 \times 60} = 10800 \, \text{m}^2 \)。总面积 \( S = S_1 + S_2 = 5400+10800=16200 \, \text{m}^2 \)。
5. 是直角三角形。 \( 5^2+12^2=25+144=169=13^2 \)，所以满足勾股定理逆定理。最长边是 \( AC=13 \) 公里，它所对的角是 \( \angle B \)，因此塔B的位置是直角顶点。