知识要点

💡 核心概念

“工程问题：轮流做”就像你和好朋友一起完成一个大拼图，但你们不是一起拼，而是你拼一会儿，我再拼一会儿，这样轮流来。解决这类问题的关键，是把每个人（或队伍）的“工作效率”（比如每小时做多少）算清楚，然后把他们轮流干活的过程，像数格子一样，一个周期一个周期地看，最后看看剩下一点点尾巴由谁来完成。

📝 计算法则

1. 设总工作量为“1”：这是解决所有工程问题的起点，把整个工程看作一个整体。
2. 求工作效率：如果甲单独完成需要 \( a \) 天，那么他的工作效率就是 \( \frac{1}{a} \)。乙单独需要 \( b \) 天，效率就是 \( \frac{1}{b} \)。
3. 算周期工作量：找出一个完整的轮流周期（比如甲做1天，乙做1天），算出一个周期能完成多少工作：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)。
4. 看需要几个周期：用总工作量“1”除以一个周期的工作量，看看能进行几个完整的周期，并记住剩下的“零头”工作量。
5. 处理零头：按照轮流的顺序，看轮到谁做，他用多长时间能完成那个“零头”。
6. 算总时间：周期数 × 一个周期的时间 + 处理零头所用的时间。

🎯 记忆口诀

工程总量设为1，效率倒数很容易。
轮流周期效率加，除出周期和剩余。
零头按照顺序做，最后求和别忘记。

🔗 知识关联

这部分知识是建立在之前学习的几个基础之上的：

1. 分数运算：工作效率、周期工作量都是分数，需要熟练进行分数的加减乘除。

2. 整数除法中的余数问题：计算周期数就像带余除法，周期数是“商”，剩下的工作量就是“余数”。

3. 基础工程问题：已经掌握了“工作效率 × 工作时间 = 工作总量”这个核心公式。

易错点警示

1. ❌ 错误1：单位不统一。甲效率是每天 \( \frac{1}{10} \)，乙效率是每小时 \( \frac{1}{15} \)，直接相加。

   ✅ 正解：必须将时间单位统一（通常统一为“天”或“小时”），再求效率。

2. ❌ 错误2：算完周期后，直接用周期数乘以周期天数，忘记处理剩下的“零头”工作。

   ✅ 正解：一定要用总工作量“1”减去已完成的周期工作量，得到“余量”，再安排下一步。

3. ❌ 错误3：处理“零头”时，弄错了轮流的顺序。例如周期是“甲、乙、甲、乙”，剩余工作量轮到甲做，却误算成乙来做。

   ✅ 正解：画一个简单的周期顺序图，明确每个位置是谁，根据完整的周期数准确判断下一个轮到谁。

三例题精讲

🔥 例题1：基础轮流

一项工程，甲单独做需要10天完成，乙单独做需要15天完成。现在两人轮流做，甲先做1天，乙接着做1天，然后甲再做1天，乙再做1天……如此交替，完成这项工程共需多少天？

📌 第一步：设总量，求效率。

设工程总量为“1”。甲效率：\( \frac{1}{10} \)，乙效率：\( \frac{1}{15} \)。

📌 第二步：算周期工作量。

一个周期（甲1天+乙1天）完成：\( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \)。

📌 第三步：算周期数和余量。

\( 1 \div \frac{1}{6} = 6 \)（个）。正好进行6个完整周期，没有余量。

✅ 答案：每个周期2天，共 \( 6 \times 2 = 12 \) 天。

💬 总结：当总工作量正好是周期工作量的整数倍时，直接相乘即可。

🔥 例题2：带余数的轮流

一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。两人合作，甲先做1天，然后乙做2天，再由甲做1天，乙做2天……这样交替工作，需要多少天完成？

📌 第一步：设总量，求效率。

总量为“1”。甲效率：\( \frac{1}{20} \)，乙效率：\( \frac{1}{30} \)。

📌 第二步：算周期工作量。

一个周期（甲1天+乙2天）完成：\( \frac{1}{20} \times 1 + \frac{1}{30} \times 2 = \frac{1}{20} + \frac{2}{30} = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} = \frac{7}{60} \)。

📌 第三步：算周期数和余量。

\( 1 \div \frac{7}{60} = 8 \frac{4}{7} \)（个）。即8个完整周期后，还剩工作量：\( 1 - \frac{7}{60} \times 8 = 1 - \frac{56}{60} = \frac{4}{60} = \frac{1}{15} \)。

📌 第四步：处理余量。

8个周期后，下一个又轮到甲做1天。甲1天能做 \( \frac{1}{20} \)。比较：余量 \( \frac{1}{15} > \frac{1}{20} \)，所以甲做1天后，还剩 \( \frac{1}{15} - \frac{1}{20} = \frac{4}{60} - \frac{3}{60} = \frac{1}{60} \)。

接下来轮到乙做2天中的第1天，乙1天能做 \( \frac{1}{30} = \frac{2}{60} \)，大于剩下的 \( \frac{1}{60} \)，所以乙不需要做满一天。乙做完剩余工作需要：\( \frac{1}{60} \div \frac{1}{30} = 0.5 \) 天。

✅ 答案：总时间 = \( 8 \times (1+2) + 1 + 0.5 = 24 + 1 + 0.5 = 25.5 \) 天。

💬 总结：处理余量时，要严格按照顺序，并精确计算每人完成部分所需的具体时间。

🔥 例题3：三人轮流

一项工程，甲、乙、丙三人单独完成分别需要12、18、24天。现在三人按甲、乙、丙的顺序，每人轮流做1天。需要多少天才能完成？

📌 第一步：设总量，求效率。

总量为“1”。甲效率：\( \frac{1}{12} \)，乙效率：\( \frac{1}{18} \)，丙效率：\( \frac{1}{24} \)。

📌 第二步：算周期工作量。

一个周期（甲1天+乙1天+丙1天）完成：\( \frac{1}{12} + \frac{1}{18} + \frac{1}{24} = \frac{6}{72} + \frac{4}{72} + \frac{3}{72} = \frac{13}{72} \)。

📌 第三步：算周期数和余量。

\( 1 \div \frac{13}{72} = 5 \frac{7}{13} \)（个）。即5个完整周期后，还剩工作量：\( 1 - \frac{13}{72} \times 5 = 1 - \frac{65}{72} = \frac{7}{72} \)。

📌 第四步：处理余量。

5个周期后，下一个轮到甲。甲1天做 \( \frac{1}{12} = \frac{6}{72} \)。余量 \( \frac{7}{72} > \frac{6}{72} \)，所以甲做1天后，余 \( \frac{1}{72} \)。

接下来轮到乙，乙1天做 \( \frac{1}{18} = \frac{4}{72} \)，大于 \( \frac{1}{72} \)，乙需要 \( \frac{1}{72} \div \frac{1}{18} = 0.25 \) 天。

✅ 答案：总时间 = \( 5 \times 3 + 1 + 0.25 = 15 + 1.25 = 16.25 \) 天。

💬 总结：三人轮流原理相同，计算量稍大。关键是周期效率和顺序判断不能错。

练习题（10道）

1. 打印一份稿件，甲打印机单独打需要6小时，乙打印机单独打需要8小时。两台打印机轮流工作，甲先打1小时，乙再打1小时，依次交替。打完这份稿件需要几小时？
2. 清理一条跑道，A队单独做要4小时，B队单独做要6小时。两队从A队开始，轮流工作1小时，需要多少小时清完？
3. 录入一份数据，小红单独录要10分钟，小蓝单独录要15分钟。两人轮流，每人每次录5分钟，从小红开始。录完需要多少分钟？
4. 组装一批玩具，师傅单独做要9小时，徒弟单独做要12小时。两人轮流，师傅做2小时，徒弟做1小时为一轮。完成组装需要多长时间？
5. 往水池注水，A管单独注满要3小时，B管单独注满要5小时。现在轮流打开，每次开1小时，先开A管。注满一半水池需要多久？
6. 完成一项编程任务，程序员甲要12小时，程序员乙要18小时。他们决定轮流编码，每人每次工作2小时，从甲开始。任务完成时，乙工作了多少小时？
7. 粉刷一面墙，小王每小时能刷 \( \frac{1}{8} \) 面，小张每小时能刷 \( \frac{1}{10} \) 面。两人轮流，小王每次刷半小时，小张每次刷1小时，从小王开始。刷完这面墙共需几小时？
8. 搬运一堆沙土，甲组每小时运走 \( \frac{1}{20} \)，乙组每小时运走 \( \frac{1}{30} \)。两组从甲开始，轮流工作，每组每次工作1.5小时。运走这堆沙土的 \( \frac{2}{3} \) 需要多少小时？
9. 一项工程，甲做3天完成，乙做6天完成。两人合作，但每天只能有一个人工作。他们决定按“甲做1天，乙做2天”的方式交替。完成全部工程需要几天？
10. 制作一批手工，乐乐单独做要8天，欢欢单独做要12天。她们轮流做，但乐乐每工作1天要休息1天，欢欢每工作1天要休息2天。从乐乐开始工作算起，第几天可以全部做完？

奥数挑战（10道）

1. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。他们按甲、乙、甲、乙……的顺序工作，但甲每次只工作半天，乙每次工作一整天。完成工程需要多少天？（提示：将半天设为基本单位）
2. 一个水池，单开进水管5小时满，单开排水管8小时排空。现池内有半池水，按“进1小时，排1小时”的顺序操作，将水池注满需要多少小时？
3. 甲、乙、丙三队完成同一工程分别需12、15、20天。先由甲、乙两队合作2天后，剩下的由三队按丙、甲、乙的顺序每人轮流做1天完成。求总共需要的天数。
4. 一项工程，如果甲乙合作，6天完成一半；如果甲先做4天，乙再做9天，也恰好完成。现在两人按“甲做N天，乙做N天”的方式轮流，最后乙比甲多做了3天完成。求N的值。
5. 搬运货物，甲组搬完要6小时，乙组搬完要9小时。两组合作，但中途甲组因故离开一段时间，结果乙组总共工作了7小时才搬完。甲组中途离开了多久？
6. 有一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做，恰好整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做，会比上一种做法多出半天完成。已知甲单独做需要10天，求乙单独做需要多少天？
7. 制作一批模型，师傅的效率是徒弟的1.5倍。两人合作10天可以完成。实际他们按“师、徒、师、徒……”的顺序轮流，每人每次工作一天，最后徒弟比师傅多休息了2天。问实际完成用了多少天？
8. 甲乙两人清理数据。甲清理40份的时间乙能清理30份。他们一起清理了780份数据，期间两人轮流休息（即一人工作另一人休息），每人每次连续工作10分钟。已知甲总共工作了190分钟，问乙清理了多少份数据？
9. 一项工程，甲、乙、丙三人合作13天可完成。已知丙休息2天的工作量，相当于乙做3天的工作量。工程由甲开始，按甲、乙、丙的顺序每人轮流做一天，27天后完成工程的 \( \frac{3}{4} \)。问三人单独完成各需多少天？
10. 一项工程，如果甲乙两队合作，12天可完成。现在先由甲队独做3天，然后两队轮流做：甲队做一天，乙队做两天；或者甲队做两天，乙队做一天。两种方案恰好都用整数天完成。问甲队独做完成这项工程需要多少天？

生活应用（5道）

1. 【高铁检修】一列“复兴号”动车组完成一次全面检修，A班组单独工作需要18小时，B班组使用新型智能检测设备，单独工作需要12小时。为保障次日高铁准点上线，两班组从晚上8点开始轮流工作（每班组工作2小时后换班），几点能完成检修？
2. 【航天数据】地面站下载“天问一号”传回的火星影像数据，使用旧系统单独下载需要28小时，启用新升级的AI处理系统单独下载需要21小时。为确保科学家尽快分析，决定新旧系统交替工作，每次工作4小时，从旧系统开始。下载全部数据需要多长时间？
3. 【AI训练】训练一个大型AI模型，如果只用CPU集群计算需要96小时，如果使用GPU集群加速计算只需要36小时。为了节省成本并兼顾速度，采用“GPU工作6小时，CPU工作8小时”的方式轮流进行。训练这个模型需要多少小时？
4. 【环保植树】在沙漠植树区，甲型自动植树机单独完成一片区域的植树任务需要10天，乙型（太阳能驱动）单独完成需要15天。为保护生态，采取“甲型工作2天，乙型工作3天”的循环模式进行。完成这项植树任务需要多少天？
5. 【网购大促】某电商仓库，“海牛”分拣机器人系统单独处理“双十一”当日订单需要20小时，“闪电”分拣系统单独处理需要30小时。为防止系统过热，从零点开始，两套系统按“海牛工作3小时，闪电工作2小时”的方式交替运行。订单处理到一半时，是几点钟？