工程合作问题应用题详解：解题技巧、公式与奥数练习题PDF下载
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奥数
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最近更新
2025-12-20
知识要点
💡 核心概念：“工程问题”研究的是关于工作总量、工作效率和工作时间三者之间的关系。在“合作问题”中，核心思想是把整个工作总量看作一个整体“1”。每个人或机器的工作效率，就是他们单独完成这项工作所需时间的倒数。几个人合作，就把他们的工作效率加起来。
📝 计算法则：
- 将工作总量设为“1”。
- 根据单独完成的时间，求出各自的工作效率。工作效率 = \( 1 \div \) 工作时间。
- 将合作者的工作效率相加，得到合作效率。
- 合作所需时间 = 工作总量 \( 1 \div \) 合作效率。
🎯 记忆口诀：总量设为1，效率倒时间，合作效率加，总量除以它。
🔗 知识关联：这与之前学过的“分数运算”、“单位‘1’的概念”以及“速度、时间、路程关系”（工作效率类似于速度）紧密相连。
易错点警示
- ❌ 错误1：误将工作时间直接相加。例如：甲5天完成，乙10天完成，误以为合作需要 \( 5 + 10 = 15 \) 天。
✅ 正解：应先求效率和。甲效 \( \frac{1}{5} \)，乙效 \( \frac{1}{10} \)，合作时间 \( 1 \div (\frac{1}{5} + \frac{1}{10}) = 1 \div \frac{3}{10} = \frac{10}{3} \) 天。
- ❌ 错误2：合作时，混淆“工作效率之和”与“工作时间之和”。合作完成时，总时间应由总工作量除以效率和得到，而不是几个时间的平均数或简单处理。
✅ 正解：严格遵循“合作时间 = 1 ÷ (效率1 + 效率2 + ...)”的公式。
- ❌ 错误3：当题目中出现“甲先做几小时，乙再加入”或“中途有人离开”等情况时，误将不同阶段的时间直接混为一谈。
✅ 正解：按工作阶段分开计算完成的工作量，最后利用“总工作量是1”来建立方程或分步计算。
三例题精讲
🔥 例题1：打印一份稿件，甲打印机单独打需要6小时，乙打印机单独打需要9小时。如果两台打印机同时工作，几小时可以打完？
📌 第一步：设工作总量为1。甲的工作效率为 \( \frac{1}{6} \)，乙的工作效率为 \( \frac{1}{9} \)。
📌 第二步：两台合作，工作效率和为 \( \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} = \frac{5}{18} \)。
📌 第三步：合作完成需要的时间为 \( 1 \div \frac{5}{18} = 1 \times \frac{18}{5} = 3.6 \) (小时)。
✅ 答案：\( 3.6 \) 小时。
💬 总结：最基本的合作问题，直接套用公式即可。
🔥 例题2：修一条水渠，甲工程队单独修20天完成，乙工程队单独修30天完成。现在先由甲队单独修了5天，剩下的两队合作，还需要多少天完成？
📌 第一步：设工作总量为1。甲效 \( \frac{1}{20} \)，乙效 \( \frac{1}{30} \)。
📌 第二步：甲先做5天，完成了 \( \frac{1}{20} \times 5 = \frac{1}{4} \) 的工作量。
📌 第三步：剩下工作量为 \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \)。两队合作效率为 \( \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \)。所需时间 \( \frac{3}{4} \div \frac{1}{12} = \frac{3}{4} \times 12 = 9 \) 天。
✅ 答案：还需要 \( 9 \) 天。
💬 总结：遇到“先做后合作”的问题，先算出单独完成的部分，剩下的工作量再按合作问题处理。
🔥 例题3：一个水池，有A、B两个进水口和一个C排水口。单开A口，4小时可将空池注满；单开B口，6小时可注满；单开C口，8小时可将满池水排空。如果一开始水池是空的，同时打开A、B、C三个口，多少小时后水池能注满？
📌 第一步：设注满水池工作量为1。A口进水效率（注水）为 \( \frac{1}{4} \)，B口进水效率为 \( \frac{1}{6} \)，C口排水效率为 \( -\frac{1}{8} \)（负号表示减少工作量）。
📌 第二步：三管齐开，净工作效率为 \( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} \)。计算：\( \frac{6}{24} + \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = \frac{7}{24} \)。
📌 第三步：注满所需时间 \( 1 \div \frac{7}{24} = 1 \times \frac{24}{7} = \frac{24}{7} \) 小时。
✅ 答案：\( \frac{24}{7} \) 小时。
💬 总结：有进有出的问题，把排水看作负效率，总效率为所有效率的代数和。
练习题（10道）
- 一项手工任务，小明单独做需要10小时，小华单独做需要15小时。两人合作，几小时完成？
- 打扫一间教室，小红一人要30分钟，小丽一人要45分钟。她们一起打扫，多少分钟可以完成？
- 抄写一篇课文，甲生抄完要40分钟，乙生抄完要1小时。两人同时开始抄，多少分钟后能抄完？
- 加工一批零件，王师傅每小时完成这批零件的 \( \frac{1}{12} \)，李师傅每小时完成这批零件的 \( \frac{1}{8} \)。两人合作几小时能完成？
- 铺设一段管道，甲工程队单独铺10天完成，乙队单独铺15天完成。两队合作3天后，剩下的由甲队单独完成，甲队还需要工作几天？
- 录入一份文档，张阿姨单独录入需6小时，录入一半后，赵阿姨来帮忙，她的效率是张阿姨的一半。从开始到录完，一共用了多少小时？
- 制作一批风筝，甲组每天能制作总量的 \( \frac{1}{20} \)，乙组每天能制作总量的 \( \frac{1}{30} \)。两组合作5天后，还剩几分之几没完成？
- 一个水池有两个进水管。单开甲管，12分钟可注满；单开乙管，18分钟可注满。现在两管同时打开，但注水2分钟后，乙管因故障关闭，问从开始到注满水池共用了多少分钟？
- 搬运一堆沙子，用大卡车单独运要运6次，用小卡车单独运要运12次。现在用大、小卡车各一辆合运，几次可以运完？
- 完成一项编程作业，小AI单独调试代码需要4小时，小码单独调试需要6小时。现在他们决定合作，但小AI在合作了2小时后有事离开，剩下的由小码单独完成。问完成整个作业总共用了多少小时？
奥数挑战（10道）
- 一项工程，甲、乙合作6天完成，乙、丙合作10天完成，甲、丙合作 \( 7\frac{1}{2} \) 天完成。问甲、乙、丙三人合作，多少天可以完成？
- 一个水池，装有甲、乙两根进水管，一个排水管丙。池空时，单开甲管6小时注满，单开乙管8小时注满；满池时，单开丙管12小时排空。现在先同时打开甲、丙两管2小时后，再关闭丙管，打开乙管。问从开始到注满水池共用了多少小时？
- 制作一批玩偶，甲、乙、丙三人单独完成分别需要10天、12天、15天。开始三人合作，中途甲因故请假2天，结果共用多少天完成任务？
- 录入一份数据，小A和小B合作效率比是 \( 5:3 \)。若由小A单独录入需12小时，那么小B单独录入需要多少小时？两人合作需要多少小时？
- 一项工程，甲队做2天，乙队做5天，共完成工程的 \( \frac{4}{15} \)；甲队做5天，乙队做2天，共完成工程的 \( \frac{19}{60} \)。问甲、乙两队单独完成全工程各需多少天？
- 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。现有两个相同的仓库A和B，甲在A库，乙在B库，同时开始搬运。丙先帮甲，后帮乙，最后同时搬完两个仓库的货物。问丙帮甲搬了几小时？
- 有一项工程，甲先独做 \( \frac{1}{3} \) 后，乙加入合作，两人又共同完成了余下部分的一半，最后剩下的由乙单独完成，总共用了10天。已知乙单独完成这项工程需要24天，问甲单独完成需要多少天？
- 蓄水池有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时；要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时。现在池中有 \( \frac{1}{6} \) 的水，按甲、乙、丙、丁的顺序轮流各开1小时，问多少小时后水开始溢出水池？
- 加工一批零件，师傅单独做比徒弟单独做少用3小时。如果师傅先做2小时，剩下的由徒弟做，徒弟还要做9小时。问师傅单独完成这批零件需要多少小时？
- 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做法要多用半天才能完成。已知乙单独完成这项工程要20天，问甲单独完成需要多少天？
生活应用（5道）
- （高铁检修）一列“复兴号”高铁完成一次全面检修，若全部由A智能机器人团队操作，需要8小时；若全部由B技师团队人工检修，需要12小时。为提高效率，现安排A团队和B团队同时开始工作，几小时可以完成检修？
- （AI数据处理）一个AI模型处理一批数据，如果使用旧算法单独运行，需要6小时；如果使用新算法单独运行，需要4小时。工程师决定让新旧算法并行处理，但在处理了总量的一半后，关闭了较慢的旧算法，剩余部分全由新算法完成。请问处理完这批数据总共用了多少小时？
- （航天任务）在空间站组装一个实验舱。中国航天员组单独完成计划需要30个工作日，国际航天员组单独完成计划需要45个工作日。为庆祝合作，两组成员共同工作，但中国组在合作了10天后临时接到其他任务离开。问剩下的工作由国际组单独完成，还需要多少天？
- （环保植树）某环保社团计划在周末植树。如果所有团员都用铁锹挖坑，需要3小时完成挖坑任务；如果使用两台新型植树机，只需要1小时。现在先让团员们用铁锹挖了1小时，然后启动两台植树机一起工作。问从开始到完成挖坑任务，总共用了多长时间？
- （网购分拣）“双十一”期间，某快递仓库的分拣线上，自动分拣机器人单独工作可在5小时内分拣完所有包裹；而纯人工分拣则需要8小时。为了应对爆仓，仓库启动“人机协作”模式：机器人和人工同时分拣。但在工作2小时后，机器人需要充电1小时，1小时后恢复工作。请问从开始到分拣完所有包裹，总共需要几小时？
参考答案与解析
【练习题答案】
【奥数挑战答案】
解析： 设总工为1，甲+乙效率和 \( \frac{1}{6} \)，乙+丙 \( \frac{1}{10} \)，甲+丙 \( \frac{2}{15} \) (因 \( 7\frac{1}{2} = \frac{15}{2} \)，效率为 \( \frac{2}{15} \))。三式相加：\( 2 \times (甲+乙+丙) = \frac{1}{6}+\frac{1}{10}+\frac{2}{15} = \frac{5}{30}+\frac{3}{30}+\frac{4}{30} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5} \)。所以三人效率和 \( \frac{1}{5} \)，时间 \( 5 \) 天。
解析： 甲+丙同时开2小时，净效率 \( \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} \)，完成工作量 \( \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6} \)。此时池中共有水 \( \frac{1}{6} \) (原有) + \( \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \)。关闭丙，打开乙，甲+乙注水效率 \( \frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24} \)。注满剩余 \( \frac{2}{3} \) 需 \( \frac{2}{3} \div \frac{7}{24} = \frac{16}{7} \) 小时。总时间 \( 2 + \frac{16}{7} = \frac{30}{7} \) 小时？计算有误，我们重新分析。
分阶段计算：
第一阶段（2小时）：开甲、丙。水池初始有 \( \frac{1}{6} \)。进水量：\( \frac{1}{6} \times 2 = \frac{1}{3} \)。出水量：\( \frac{1}{12} \times 2 = \frac{1}{6} \)。净增加：\( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \)。2小时后池中水量：\( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \)。
第二阶段：关丙，开乙。此时开甲、乙两进水管。效率 \( \frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24} \)。需注满剩余 \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \)。所需时间 \( \frac{2}{3} \div \frac{7}{24} = \frac{2}{3} \times \frac{24}{7} = \frac{16}{7} \) 小时。总时间确为 \( 2 + \frac{16}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.29 \) 小时。原答案“6小时”有误，以此为准。
解析： 甲效 \( \frac{1}{10} \)，乙效 \( \frac{1}{12} \)，丙效 \( \frac{1}{15} \)。设实际三人合作了 x 天，则甲做了 (x-2) 天。总工作量：\( \frac{1}{10}(x-2) + \frac{1}{12}x + \frac{1}{15}x = 1 \)。两边乘60：\( 6(x-2) + 5x + 4x = 60 \) → \( 6x-12+5x+4x=60 \) → \( 15x=72 \) → \( x=4.8 \)。甲只做了 \( 4.8-2=2.8 \) 天？等等，题目问“结果共用多少天”。如果甲只缺席了2天中的部分合作时间？更严谨的设未知数法：设从开始到结束共用了 t 天，其中甲工作了 (t-2) 天。方程同上：\( \frac{1}{10}(t-2) + \frac{1}{12}t + \frac{1}{15}t = 1 \)。解得 \( t=6.8 \) 天。
解析： 效率比 \( 5:3 \)，小A单独12小时，效率 \( \frac{1}{12} \)，则小B效率 \( \frac{1}{12} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{20} \)，单独需20小时。合作效率 \( \frac{1}{12}+\frac{1}{20}=\frac{2}{15} \)，合作时间 \( 1 \div \frac{2}{15} = 7.5 \) 小时。
解析： 将条件转化为：\( 2 \times 甲效 + 5 \times 乙效 = \frac{4}{15} \) ...(1)；\( 5 \times 甲效 + 2 \times 乙效 = \frac{19}{60} \) ...(2)。(1)×2: \( 4甲+10乙=8/15 \)；(2)×5: \( 25甲+10乙=19/12 \)。下式减上式：\( 21甲 = 19/12 - 8/15 = (95-32)/60 = 63/60 = 21/20 \)。所以甲效 \( = \frac{1}{20} \)，单独20天？代入(1)：\( 2 \times \frac{1}{20} + 5乙 = \frac{4}{15} \) → \( \frac{1}{10} + 5乙 = \frac{8}{30} \) → \( 5乙 = \frac{8}{30} - \frac{3}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \) → 乙效 \( = \frac{1}{30} \)，单独30天。计算有误，检查：甲效 \( \frac{21}{20} \div 21 = \frac{1}{20} \)。 \( \frac{4}{15} = \frac{16}{60} \)， \( \frac{19}{60} \) 不变。\( 2 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{10} = \frac{6}{60} \)。所以 \( 5乙 = \frac{16}{60} - \frac{6}{60} = \frac{10}{60} = \frac{1}{6} \)，乙效 \( = \frac{1}{30} \)。甲需20天，乙需30天。与答案不符。我可能看错答案了，但计算过程如此。原答案“甲10天，乙15天”意味着甲效 \( \frac{1}{10} \)，乙效 \( \frac{1}{15} \)。验证：\( 2/10+5/15=1/5+1/3=3/15+5/15=8/15 \) 不对，\( 8/15 \) 应等于 \( \frac{4}{15} \)？显然 \( 8/15 \) 不等于 \( 4/15 \)。所以我的计算（甲20天，乙30天）是正确的。
解析： 设仓库货物量为1。总工作量是2。三人合作完成两个仓库的时间是 \( 2 \div (\frac{1}{10}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}) = 2 \div \frac{1}{4} = 8 \) 小时。这8小时丙一直在工作。甲8小时完成 \( \frac{1}{10} \times 8 = \frac{4}{5} \)，所以A库剩下的 \( \frac{1}{5} \) 是丙帮甲完成的。丙帮甲的时间为 \( \frac{1}{5} \div \frac{1}{15} = 3 \) 小时。
解析： 设甲效为 \( \frac{1}{a} \)，乙效 \( \frac{1}{24} \)。甲先做 \( \frac{1}{3} \)，用时 \( \frac{a}{3} \) 天。剩下 \( \frac{2}{3} \)，两人合作完成一半即 \( \frac{1}{3} \)，合作效率 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{24} \)，用时 \( \frac{1}{3} \div (\frac{1}{a}+\frac{1}{24}) \)。最后剩下 \( \frac{1}{3} \) 乙单独做，用时 \( \frac{1}{3} \div \frac{1}{24} = 8 \) 天。总时间10天 = 甲独做第一阶段时间 + 合作时间 + 8天。设合作时间为 \( t \)，则 \( \frac{a}{3} + t + 8 = 10 \)，所以 \( \frac{a}{3} + t = 2 \)。又因为 \( t = \frac{1}{3} \div (\frac{1}{a}+\frac{1}{24}) = \frac{1}{3} \times \frac{24a}{24+a} = \frac{8a}{24+a} \)。代入：\( \frac{a}{3} + \frac{8a}{24+a} = 2 \)。两边乘3(24+a)：\( a(24+a) + 24a = 6(24+a) \) → \( 24a + a^2 + 24a = 144 + 6a \) → \( a^2 + 42a = 144 + 6a \) → \( a^2 + 36a - 144 = 0 \)。解得 \( a=12 \) (取正数解)。
解析： 本题计算量较大。设池满水量为1。每4小时（一个循环）的净效率：\( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{20}{60} - \frac{15}{60} + \frac{12}{60} - \frac{10}{60} = \frac{7}{60} \)。池中原有 \( \frac{1}{6} \)，距离满池差 \( \frac{5}{6} = \frac{50}{60} \)。\( \frac{50}{60} \div \frac{7}{60} = \frac{50}{7} \approx 7.14 \) 个循环。经过7个完整循环（28小时）后，池中水量：\( \frac{1}{6} + \frac{7}{60} \times 7 = \frac{10}{60} + \frac{49}{60} = \frac{59}{60} \)。还差 \( \frac{1}{60} \)。第29小时开甲管：效率 \( \frac{1}{3} = \frac{20}{60} \)，\( \frac{1}{60} \) 的水量只需 \( \frac{1}{60} \div \frac{20}{60} = 0.05 \) 小时。所以总时间为 \( 28 + 0.05 = 28.05 \) 小时？检查：第29小时开甲管，注入 \( \frac{1}{3} \) 每小时，注满 \( \frac{1}{60} \) 需 \( \frac{1}{60} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{20} = 0.05 \) 小时，即3分钟。所以总时间 \( 28 + \frac{1}{20} = \frac{561}{20} = 28.05 \) 小时。原答案“20.25”显然不对，此为正确过程。但奥数题常要求分数，故答案为 \( 28\frac{1}{20} \) 小时。
解析： 设师傅单独做需要 \( t \) 小时，则徒弟需要 \( t+3 \) 小时。师傅效率 \( \frac{1}{t} \)，徒弟效率 \( \frac{1}{t+3} \)。根据“师傅先做2小时，徒弟再做9小时完成”：\( \frac{2}{t} + \frac{9}{t+3} = 1 \)。两边乘 \( t(t+3) \)：\( 2(t+3) + 9t = t(t+3) \) → \( 2t+6+9t = t^2+3t \) → \( 11t+6 = t^2+3t \) → \( t^2 - 8t - 6 = 0 \)。解得 \( t = 4 + \sqrt{22} \approx 8.69 \) 或 \( 4 - \sqrt{22} \) (舍)。非整数，但过程如此。若题目数据为“师傅做2小时，徒弟做4小时完成”或类似，可得整数解。
解析： 由题意，甲、乙交替做，最后一天可能是甲做完，也可能是乙做完。设甲效 \( \frac{1}{a} \)，乙效 \( \frac{1}{20} \)。第一种方案（甲先）恰好整数天完成，说明最后一天是甲做；第二种方案（乙先）多用半天，说明最后半天是甲做（因为乙做不完，需要甲来收尾）。两种情况完成的工作量都是1。设第一种方案用了 \( 2n \) 天（偶数天，甲乙各做n天），则 \( n \times (\frac{1}{a} + \frac{1}{20}) = 1 \)。第二种方案，前 \( 2n \) 天是乙、甲交替各做n天，完成工作量也是 \( n \times (\frac{1}{a} + \frac{1}{20}) = 1 \)，但此时已做完，与“多用半天”矛盾。所以第一种方案不是偶数天，是奇数天，设为 \( (2n+1) \) 天，则甲做了 \( n+1 \) 天，乙做了 \( n \) 天：\( (n+1)\frac{1}{a} + n\frac{1}{20} = 1 \) ...(1)。第二种方案，先用乙做1天，然后甲、乙交替，因为多用半天，总天数 \( (2n+1)+0.5 = 2n+1.5 \) 天。其中乙做了 \( n+1 \) 天，甲做了 \( n+0.5 \) 天：\( (n+1)\frac{1}{20} + (n+0.5)\frac{1}{a} = 1 \) ...(2)。(1)-(2) 得：\( [\frac{n+1}{a} - \frac{n+0.5}{a}] + [\frac{n}{20} - \frac{n+1}{20}] = 0 \) → \( \frac{0.5}{a} - \frac{1}{20} = 0 \) → \( \frac{1}{2a} = \frac{1}{20} \) → \( a = 10 \)。所以甲单独10天完成。