拱桥投篮二次函数应用题怎么做？建立坐标系求抛物线深度解析专项练习题库

💡 阿星精讲：拱桥/投篮 原理

• 核心概念：我是阿星！今天咱们来玩一个“变形金刚”游戏。无论是优美的拱桥，还是划出完美弧线的篮球，它们在空中留下的“背影”（轨迹）都是一条抛物线。我们的任务就是给这个现实世界里的“背影”穿上数学的外衣。怎么做？请出我们的魔法舞台——平面直角坐标系！只要在图纸上建立一个合适的坐标系，把现实物体（比如桥墩、篮筐）变成舞台上的“演员”（坐标点），它们的运动规律就能用一个漂亮的抛物线方程 \( y = ax^2 + bx + c \) 来“导演”了。这就是“建系”的魔力：把复杂的生活问题，变成我们能算、能画的数学问题。
• 计算秘籍：
  1. 设舞台（建系）：通常选择抛物线顶点（最高点）或一个关键点（如起点）作为坐标系原点，让图形对称，方程最简单。
  2. 找演员（找点）：从题目中找出抛物线上至少三个关键点的实际位置，并根据你建立的坐标系，确定它们的坐标。例如，拱桥的顶点、桥墩与水面的交点。
  3. 写剧本（列方程）：将坐标点 \((x, y)\) 代入抛物线方程 \( y = ax^2 + bx + c \)，得到关于 \( a, b, c \) 的方程组。
  4. 解剧本（解方程）：解方程组，求出 \( a, b, c \) 的值，得到具体的抛物线解析式。
  5. 答剧情（得结论）：利用求出的解析式，去计算题目要求的其他量，比如某点的高度、跨度、最值等。
• 阿星口诀：建系找三点，坐标是关键；代入解方程，模型浮眼前。

📐 图形解析

让我们用一座最简单的拱桥来理解“建系”的过程。下图展示了两种常见的坐标系建立方法，以及如何将实际问题转化为坐标点。

方法一解析：以上图为例，建立如图坐标系。水面为 x 轴，拱桥对称轴为 y 轴。已知跨度（两个桥墩距离）为 \(140\) 米，拱高（顶点距水面）为 \(100\) 米。则关键点坐标自动得出：左桥墩 \(A(-70, 0)\)，顶点 \(V(0, 100)\)，右桥墩 \(B(70, 0)\)。设抛物线解析式为 \( y = ax^2 + c \)（因为顶点在y轴，所以 \(b=0\)）。将 \(V(0,100)\) 代入得 \(c=100\)。再将 \(B(70,0)\) 代入 \(0 = a \times 70^2 + 100\)，即可解出 \(a\) 值。

方法二解析：也可以以左桥墩为原点，水面向右为 x 轴正方向，垂直向上为 y 轴正方向。此时，左桥墩 \(O(0, 0)\)，右桥墩 \(B(200, 0)\)，顶点 \(V(100, 100)\)。设解析式为 \( y = ax^2 + bx + c \)，将三点坐标代入，解三元一次方程组即可。

可见，坐标系建立方式不同，点的坐标和方程形式就不同，但最终描述的物理事实（桥的形状）是完全一样的。选择能使计算最简单的建系方式，是我们的目标。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不建立清晰的坐标系，直接凭感觉设未知数，导致关系混乱。
  ✅ 正解：动笔前，务必在草图或脑中明确坐标系的原点、x轴、y轴分别对应实际中的什么。将已知条件“翻译”成坐标点时，要结合坐标系仔细计算。
• ❌ 错误2：忽略单位统一。题目中跨度给的是米，某个高度给的是厘米，代入计算。
  ✅ 正解：将所有长度单位统一后再进行坐标化和计算，这是保证结果正确的基石。
• ❌ 错误3：求顶点式时，弄混顶点坐标 \((h, k)\) 的符号。例如，顶点在 \((2, 3)\)，却写成 \( y = a(x+2)^2 + 3 \)。
  ✅ 正解：牢记顶点式公式：\( y = a(x - h)^2 + k \)。顶点坐标直接对应公式中的 \(h\) 和 \(k\)，注意是减号。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 已知抛物线顶点为 \((1, -2)\)，且过点 \((3, 6)\)，求其解析式。
2. 抛物线 \( y = x^2 - 4x + 3 \) 与 x 轴的交点坐标是什么？
3. 已知二次函数图像经过 \((0,1)\)， \((1,2)\)， \((2,1)\) 三点，求函数表达式。
4. 把抛物线 \( y = 2x^2 \) 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线解析式是？
5. 某抛物线型隧道，最大高度为6米，宽度为12米。以隧道底部中点为原点建立坐标系，求隧道顶部抛物线解析式。
6. 一个足球被从地面踢出，它离地面的高度 \(h\) (米)与飞行时间 \(t\) (秒)的关系是 \( h = -5t^2 + 20t \)。足球何时到达最高点？最高点是多少米？
7. 判断点 \((-2, 7)\) 是否在抛物线 \( y = x^2 + 3x + 5 \) 上。
8. 已知抛物线与x轴交于 \((-3,0)\) 和 \((5,0)\)，且函数有最小值-4，求其解析式。
9. 根据图像（可简单描述：开口向上，顶点(2,-1)，过点(0,3)），求二次函数解析式。
10. 把函数 \( y = -3(x+1)^2 + 2 \) 化为一般形式 \( y = ax^2 + bx + c \)。

第二关：中考挑战（10道）

1. （拱桥综合）如图，抛物线形拱桥的桥拱跨度 \(AB=20\) 米，拱高 \(CD=4\) 米。为保障安全，水面宽度 \(EF\) 不得小于 \(18\) 米，求此时水面涨高了多少米（从原水面 \(AB\) 算起）？
2. （投篮综合）小明在罚球线（距篮筐中心水平距离4.6米）投篮，篮筐高3.05米，篮球出手点高2.2米。篮球运行的抛物线中，最高点离地面4米。问：小明投出的篮球能否直接空心入篮？（通过计算说明）
3. （隧道通行）一辆货车装载一长方体集装箱，箱宽4米，车与货共高5.2米，欲通过第1题中的抛物线形隧道。若隧道为双向车道，货车靠中间行驶，请问货车能否安全通过？
4. （喷泉问题）广场上的一个喷水装置，喷出的水柱呈抛物线形。测得水柱最高处距离地面 \(5\) 米，喷水点距离地面 \(1.5\) 米，且水柱落地点与喷水点的水平距离为 \(10\) 米。求水柱的函数关系式。
5. （利润最大）某商品进价为40元/件，售价为60元/件时，每天可卖100件。市场调查发现，售价每降1元，每天可多卖10件。求每天销售利润最大时的售价及最大利润。
6. （综合探究）已知抛物线 \( y = ax^2 + bx + c (a>0) \) 过点 \( (0,1) \)，且当 \( -1 \le x \le 2 \) 时，\( y \ge 0 \)。求 \( a+b+c \) 的取值范围。
7. （几何结合）抛物线 \( y = -x^2 + 2x + 3 \) 与 x 轴交于 A、B 两点（A左B右），顶点为 C。求三角形 ABC 的面积。
8. （拱桥与水位）一座抛物线拱桥，当水面在 \(AB\) 位置时，拱顶离水面 \(2\) 米，水面宽 \(4\) 米。当水面上升 \(1\) 米后，水面宽度减少了多少米？
9. （动态投篮）阿星在距离篮筐 \(x\) 米处投篮，出手高度和角度固定。篮球的运动轨迹可用固定模型 \( y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{7}{5}x + 2 \) 描述（y为高度）。问：阿星在哪些位置出手，篮球可以越过一个高度为 \(3.5\) 米的防守球员的手并命中篮筐（篮筐中心坐标 \((x_0, 3.05)\)）？
10. （数形结合）若函数 \( y = x^2 - 2x + m \) 的图像顶点在直线 \( y = 2x-1 \) 上，求 m 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. （悬索桥）某悬索桥的主索（近似抛物线）两端固定在两个桥塔顶端，两塔等高，相距 \(1000\) 米。主索最低点比塔顶低 \(100\) 米。求距离左塔 \(250\) 米处，主索离桥面的高度（已知桥面与主索最低点平齐）。
2. （卫星天线）一个抛物线形卫星天线（卫星锅）的直径为 \(2\) 米，深度为 \(0.5\) 米。求它的焦点位置（即卫星信号接收器的安装位置）。
3. （拱门设计）设计师想用抛物线 \( y = -\frac{1}{k}x^2 + 5 \)（\(k>0\)）来设计一个花园拱门。拱门底部宽度定为 \(6\) 米。要使拱门最高处离地面 \(5.5\) 米，需要将整个抛物线图像向上平移多少米？此时 \(k\) 值是多少？
4. （弹道测算）迫击炮发射炮弹的弹道近似为抛物线。已知炮弹在离炮位水平距离 \(500\) 米处达到最高点 \(100\) 米，并在 \(1000\) 米处落地。求炮弹发射角的正切值（即发射时初速度的竖直分量与水平分量之比）。
5. （经济效益）某农场拟建一个矩形蔬菜温室大棚，棚的一面是墙（足够长），另外三面用塑料膜覆盖。已知墙的长度不限，塑料膜总长为 \(60\) 米。如何设计大棚的长和宽，才能使种植面积最大？最大面积是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关部分答案与提示：

1. 设顶点式 \( y=a(x-1)^2-2 \)，代入 \((3,6)\) 得 \(a=2\)，解析式为 \( y=2(x-1)^2-2 \)。
2. 令 \(y=0\)，解 \(x^2-4x+3=0\) 得 \(x_1=1, x_2=3\)，交点坐标为 \((1,0)\) 和 \((3,0)\)。
3. 设 \(y=ax^2+bx+c\)，代入三点得方程组：\(\begin{cases} c=1 \\ a+b+c=2 \\ 4a+2b+c=1 \end{cases}\)，解得 \(a=-1, b=2, c=1\)，解析式为 \( y=-x^2+2x+1 \)。
4. 平移法则：左加右减（对x），上加下减（对整体）。新解析式为 \( y=2(x-3)^2+1 \)。
5. 以底部中点为原点，则顶点 \((0,6)\)，左右端点 \((\pm6, 0)\)。设 \(y=ax^2+6\)，代入 \((6,0)\) 得 \(a=-\frac{1}{6}\)，解析式为 \( y=-\frac{1}{6}x^2+6 \)。
6. 化为顶点式 \( h=-5(t-2)^2+20 \)，当 \(t=2\)秒时到达最高点，为 \(20\) 米。
7. 将 \(x=-2\) 代入方程右边，得 \((-2)^2+3\times(-2)+5=4-6+5=3 \ne 7\)，故不在图像上。
8. 由交点可设 \(y=a(x+3)(x-5)\)，对称轴为 \(x=1\)，最小值为 \(a(1+3)(1-5)= -16a = -4\)，得 \(a=\frac{1}{4}\)。解析式为 \(y=\frac{1}{4}(x+3)(x-5)\)。
9. 设顶点式 \(y=a(x-2)^2-1\)，代入 \((0,3)\) 得 \(4a-1=3, a=1\)，解析式为 \(y=(x-2)^2-1\)。
10. \( y = -3(x^2+2x+1) + 2 = -3x^2 -6x -3 + 2 = -3x^2 -6x -1\)。

注意：第二关、第三关题目涉及更多步骤和讨论，请同学们在练习后参考标准答案或与老师讨论。核心方法是相通的：建系、找点、列方程、解模型、回答案。