小学数学工程问题深度解析：如何理解“单位1”及工作效率专项练习题库

💡 阿星精讲：工程问题 原理

• 核心概念：阿星来也！想象一下，你要完成的任务，比如修一段路、刷一面墙、写一份作业，就是一个“大蛋糕”。我们约定，这个“蛋糕”的总量就是 \( 1 \) （单位1）。这个“1”不代表1米或1平方，它代表“整体”，是100%的工作。甲单独吃完这个蛋糕需要 \( a \) 天，那他一天能吃多少（工作效率）就是 \( \frac{1}{a} \)。看，把总量看作1，工作效率就是工作时间的倒数！
• 计算秘籍：
  1. 设“1”当家： 将工作总量看作 \( 1 \)。
  2. 求效率： 根据单独完成的时间，求出各方的工作效率。甲效 = \( \frac{1}{甲时} \)，乙效 = \( \frac{1}{乙时} \)。
  3. 列方程（或算式）： 核心公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间。合作时，总效率 = 甲效 + 乙效。设合作需要 \( x \) 天完成，则有 \( (甲效 + 乙效) \times x = 1 \)。
  4. 解方程，得答案。
• 阿星口诀：工程问题不用怕，总量设为1当家。效率就用1除以时间，合作效率加一起，乘上时间就等于它！

📐 图形解析

虽然工程问题不总是几何问题，但我们可以用图形直观理解“单位1”如何被不同的效率“消耗”。下图展示了一项工作（总量1）由两种不同效率合作完成的过程。

核心关系：\( 1 = ( \frac{1}{甲时} + \frac{1}{乙时} ) \times 合作时间 \)

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：两人合作时间 = 甲时 + 乙时。 → ✅ 正解：合作时间应该用总量1除以效率和，即 \( 1 \div (\frac{1}{甲时} + \frac{1}{乙时}) \)。直接加时间是混淆了工作时间和效率。
• ❌ 错误2：甲做3天，乙做5天，列式：\( 3 \times 甲效 + 5 \times 乙效 = 1 \)，但忘记统一“效率”是基于“单位1”的。 → ✅ 正解：必须严格使用基于总量1的效率。设甲独做需 \( a \) 天，则甲效为 \( \frac{1}{a} \)，乙效为 \( \frac{1}{b} \)。正确列式为：\( \frac{3}{a} + \frac{5}{b} = 1 \)（或完成的比例）。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 修一条路，甲工程队单独修要20天，乙工程队单独修要30天。两队合修，多少天完成？
2. 打扫一间教室，小红单独做要15分钟，小兰单独做要25分钟。两人一起打扫，几分钟完成？
3. 抄写一篇文章，阿星单独抄要40分钟，小智单独抄要60分钟。阿星先抄了10分钟，小智再加入一起抄，还要多久抄完？
4. 录入一份文件，甲打字员单独录要4小时，乙打字员单独录要6小时。现在由甲先录1小时，剩下的甲乙合作，还需几小时？
5. 一项工作，师傅独做8小时完成，徒弟独做12小时完成。师徒合作，几小时能完成一半？
6. 一个水池，单开进水管4小时注满，单开出水管6小时放完。空池时，同时打开进水管和出水管，几小时能注满？（提示：将注满水池看作总量1，进水效率为正，出水效率为负）
7. 加工一批零件，王师傅单独做要10小时，李师傅单独做要15小时。两人合作3小时后，还剩这批零件的几分之几没完成？
8. 从A地到B地，客车要行6小时，货车要行8小时。两车分别从A、B两地同时相对开出，几小时后相遇？（提示：将总路程看作1）
9. 打印一份材料，若用A型打印机单独打印要14分钟，若用B型打印机单独打印要20分钟。若B型打印机先打印4分钟，然后两台打印机一起打印，还需多少分钟？
10. 一项工程，甲队单独做9天完成，乙队单独做6天完成。甲队先做2天后，剩下的由乙队单独做，还需几天？

第二关：中考挑战（10道）

1. 一项工程，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队先独做5天，乙队再独做7天，只能完成工程的 \( \frac{7}{12} \)。求乙队独做这项工程需要多少天？
2. 某工厂要完成一批零件的生产任务，若由第一车间单独做，则要超过规定日期2天；若由第二车间单独做，则要超过规定日期3天。现在两个车间合作2天后，剩下的由第二车间单独做，恰好在规定日期完成。问规定日期是多少天？
3. 一个水池装有进水管和出水管各一个。单开进水管15分钟可将空池注满，单开出水管20分钟可将满池水放完。水池中原有水 \( \frac{1}{4} \)，如果同时打开进、出两个水管，那么多少分钟后水池的水会达到半池？
4. 甲、乙两人共同清理一块场地。若甲单独清理需30分钟，乙单独清理需20分钟。开始时甲单独清理了5分钟，然后乙加入共同清理，问还需要多少分钟才能完成？
5. 某项工程，由甲、乙两队承包， \( 2\frac{2}{5} \) 天可以完成，需支付1800元；由乙、丙两队承包， \( 3\frac{3}{4} \) 天可以完成，需支付1500元；由甲、丙两队承包， \( 2\frac{6}{7} \) 天可以完成，需支付1600元。在保证一星期内完成的前提下，选择哪个队单独承包费用最少？
6. 一批零件，甲单独加工需要12小时，乙单独加工需要10小时。现在由甲先做3小时，剩下的由甲乙合作完成。完成任务时，甲一共加工了几小时？
7. 某工程，甲、乙合作1天可以完成全工程的 \( \frac{5}{24} \)。如果这项工程由甲队单独做2天，再由乙队单独做3天，能完成全工程的 \( \frac{13}{24} \)。甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
8. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运。最后两个仓库的货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？
9. 完成一项工作，甲单独做需要的天数比甲、乙合作需要的天数多5天，乙单独做需要的天数比甲、乙合作需要的天数多20天。甲、乙合作需要多少天？
10. 某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境。已知这种草皮每平方米售价 \( a \) 元，求购买这种草皮需要多少钱？（本题为工程思想与几何结合，请根据下图计算面积）
    
    

第三关：生活应用（5道）

1. 【装修】家里粉刷墙面，爸爸单独刷完要8小时，妈妈单独刷完要12小时。周末他们决定一起刷。但刷了2小时后，妈妈有急事离开，剩下的由爸爸一人完成。从开始到刷完这面墙，一共用了多少小时？
2. 【排水】一个游泳池有一个进水管和一个出水管。进水管单独打开，3小时可注满泳池；出水管单独打开，满池水4小时可放完。某次泳池清洗后留有 \( \frac{1}{3} \) 池的底水，工作人员误将两个水管同时打开。请问需要多少小时，泳池才能被重新注满？
3. 【团队项目】学校编程小组要完成一个APP项目。若全部由高年级组同学完成，需要10天；若全部由低年级组同学完成，需要15天。为了让低年级同学得到锻炼，先由高年级组单独做4天，然后两组合力完成了剩余部分。已知两组合力工作了若干天，且高年级组在整个过程中一共工作了7天。问低年级组工作了几天？
4. 【农业生产】两台抽水机共同灌溉一块农田。如果用第一台抽水机单独灌溉，比规定时间多用了2小时；如果用第二台单独灌溉，比规定时间多用了3小时。现在两台抽水机一起灌溉2小时后，由第二台单独完成剩余部分，正好在规定时间内灌溉完。求规定的时间是多少小时？
5. 【数据整理】公司需要整理一批历史档案。阿星用传统方式整理，预计需要30个工作日。公司新引进了一台智能扫描仪，若单独使用这台仪器完成全部档案的数字化整理，需要20个工作日。为了高效，公司决定让阿星和扫描仪同时工作。但由于仪器需要阿星操作和维护，当仪器工作时，阿星只能拿出自己一半的效率来协同进行人工核对。那么，从开始到全部整理完成，一共需要多少个工作日？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( 1 \div (\frac{1}{20}+\frac{1}{30}) = 12 \)天
2. \( 1 \div (\frac{1}{15}+\frac{1}{25}) = 9\frac{3}{8} \)分钟
3. 甲先完成 \( \frac{1}{40} \times 10 = \frac{1}{4} \)，剩余 \( \frac{3}{4} \)。合作效率 \( \frac{1}{40}+\frac{1}{60}=\frac{1}{24} \)。时间：\( \frac{3}{4} \div \frac{1}{24} = 18 \)分钟。
4. 甲完成 \( \frac{1}{4} \)，剩余 \( \frac{3}{4} \)。合作效率 \( \frac{1}{4}+\frac{1}{6}=\frac{5}{12} \)。时间：\( \frac{3}{4} \div \frac{5}{12} = 1.8 \)小时。
5. 一半工作量为 \( \frac{1}{2} \)，合作效率 \( \frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24} \)。时间：\( \frac{1}{2} \div \frac{5}{24} = 2.4 \)小时。
6. 注水效率 \( \frac{1}{4} \)，出水效率 \( \frac{1}{6} \)。净效率 \( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)。注满时间：\( 1 \div \frac{1}{12} = 12 \)小时。（注意：本题与有底水的题不同）
7. 合作效率 \( \frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{1}{6} \)。3小时完成 \( \frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2} \)。剩余 \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \)。
8. 将AB距离看作1，客车速度 \( \frac{1}{6} \)，货车速度 \( \frac{1}{8} \)。相遇时间：\( 1 \div (\frac{1}{6}+\frac{1}{8}) = \frac{24}{7} \) 小时。
9. B先完成 \( \frac{1}{20} \times 4 = \frac{1}{5} \)，剩余 \( \frac{4}{5} \)。合作效率 \( \frac{1}{14}+\frac{1}{20}=\frac{17}{140} \)。时间：\( \frac{4}{5} \div \frac{17}{140} = \frac{4}{5} \times \frac{140}{17} = \frac{112}{17} \) 分钟。
10. 甲完成 \( \frac{1}{9} \times 2 = \frac{2}{9} \)，剩余 \( \frac{7}{9} \)。乙独做时间：\( \frac{7}{9} \div \frac{1}{6} = \frac{14}{3} \) 天。

（第二关、第三关答案因篇幅所限，解析从略，核心思路均已包含在例题和FAQ中。）