初中数学工程问题应用题列式详解：工作效率、合作时间与方程解法专项练习题库
适用年级
初二
难度等级
⭐⭐⭐
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最近更新
2025-12-21
💡 阿星精讲：应用题列式 原理
- 核心概念：阿星：想象一下，你是个小老板，接到了一个大工程！这个“工程总量”就是你要完成的全部工作。为了方便计算，我们常常把它看成一份“完整的蛋糕”，设为 \(1\)。现在，你手下有几个“工人”（可能是人、机器、甚至你自己在不同时间的工作状态），他们的“工作效率”就是每小时能吃下多少蛋糕，公式就是 \(工作效率 = \frac{1}{工作时间}\)。解题的关键，往往是抓住他们之间的“时间差”（比如A比B早几天完成），或者“效率倍数”（比如A的速度是B的2倍），来建立方程。
- 计算秘籍：
- 设未知数：通常设工作时间或工作效率为 \(x\)。
- 表示效率：如果设甲完成需 \(x\) 天，则甲效率为 \(\frac{1}{x}\)。如果已知效率倍数，如乙效率是甲的2倍，则乙效率为 \(\frac{2}{x}\)。
- 找等量关系：利用“工作总量 = 工作效率 × 工作时间”这个基本公式。合作时，总工作量是各部分之和，即 \(效率和 \times 合作时间 = 1\)。或者利用“时间差”关系列式。
- 解方程并作答。
- 阿星口诀：工程总量当作1，效率倒数好关系。时间差与倍数比，抓住等量列方程。
📐 图形解析
我们可以用进度条来可视化“工作效率”和“合作”的过程：
总工作量：\( 总量 = 1 \)
📐 公式说明：\( \frac{1}{a} \times t_{甲} + \frac{1}{b} \times t_{乙} = 1 \)
⚠️ 易错警示：避坑指南
- ❌ 错误1：看到“合作”就直接将时间相加。例如，甲做10天完成，乙做15天完成，误以为合作需要 \(10 + 15 = 25\) 天。
✅ 正解：工作效率是叠加的，合作效率为 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\)，所以合作时间为 \(1 \div (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})\) 天。 - ❌ 错误2：在涉及“先合作，后单独做”等分段工作时，设未知数不明确，导致时间关系混乱。
✅ 正解：清晰设出关键时间，如设合作时间为 \(x\) 天，则甲单独做的时间可表示为 \((总天数 - x)\) 天。确保每一段的工作量都能用含 \(x\) 的式子表示出来。
🔥 三例题精讲
例题1：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。现在两队合作，多少天可以完成？
📌 解析：
- 设工程总量为 \(1\)。
- 甲队工作效率：\(\frac{1}{20}\)。乙队工作效率：\(\frac{1}{30}\)。
- 两队合作效率：\(\frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{5}{60} = \frac{1}{12}\)。
- 设合作需要 \(x\) 天完成，则：\((\frac{1}{20} + \frac{1}{30}) \times x = 1\)。
- 解方程：\(\frac{1}{12}x = 1\)，得 \(x = 12\)。
✅ 总结：这是最基础的“合作工程”模型。核心是“效率和×时间=总量1”。
例题2：一个工程，甲单独做15天完成，乙单独做20天完成。现在先由甲、乙合作4天后，剩下的工程由乙单独完成，问乙还需要做多少天？
📌 解析：
- 设工程总量为 \(1\)。甲效：\(\frac{1}{15}\)，乙效：\(\frac{1}{20}\)。
- 设乙还需要做 \(x\) 天。
- 根据题意，甲做了4天，乙做了 \((4 + x)\) 天。他们完成的工作量总和为1。
- 列方程：\(\frac{1}{15} \times 4 + \frac{1}{20} \times (4 + x) = 1\)。
- 解方程：\(\frac{4}{15} + \frac{4}{20} + \frac{x}{20} = 1\) → \(\frac{16}{60} + \frac{12}{60} + \frac{3x}{60} = \frac{60}{60}\) → \(28 + 3x = 60\) → \(3x = 32\) → \(x = \frac{32}{3} = 10\frac{2}{3}\) (天)。
✅ 总结：分段工作问题。关键在于用未知数表示出每个“工人”实际的工作时间，然后根据“各部分工作量之和等于总工作量1”列方程。
例题3：某项工作，甲单独完成比乙单独完成少用2天。如果两人合作1天后，剩下的由乙单独完成，那么整个过程总共用了6天。问甲、乙单独完成各需多少天？
📌 解析：
- 抓住“时间差”设未知数：设乙单独完成需要 \(x\) 天，则甲单独完成需要 \((x - 2)\) 天。
- 表示效率：甲效：\(\frac{1}{x-2}\)，乙效：\(\frac{1}{x}\)。
- 分析过程列方程：“合作1天”完成工作量：\((\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x}) \times 1\)。剩下的由乙单独做，乙又做了 \((6 - 1) = 5\) 天，完成工作量：\(\frac{1}{x} \times 5\)。
- 建立方程：合作量 + 乙后续单独工作量 = 总量1。即：
\((\frac{1}{x-2} + \frac{1}{x}) + 5 \times \frac{1}{x} = 1\)。 - 解方程：化简得 \(\frac{1}{x-2} + \frac{6}{x} = 1\)。两边同乘以 \(x(x-2)\)：\(x + 6(x-2) = x(x-2)\) → \(x + 6x -12 = x^2 - 2x\) → \(x^2 - 9x + 12 = 0\)。解得 \(x_1=4\)，\(x_2=3\)（舍去，因为甲时间 \(x-2\) 需为正）。所以乙需4天，甲需2天。
✅ 总结：本题完美融合了“时间差”和“分段合作”两个核心。设元时利用时间差，列方程时抓住各阶段工作量之和为1。
🚀 阶梯训练
第一关：基础热身（10道）
- 一项工程，甲单独做10小时完成，乙单独做15小时完成。两人合作几小时完成？
- 抄一份稿件，甲单独抄要5小时，乙单独抄要4小时。两人合抄，几小时能抄完？
- 一个水池，单开进水管3小时注满，单开排水管4小时放完。两管同时开，几小时能注满水池？
- 生产一批零件，师傅单独做6天完成，徒弟单独做9天完成。师徒合作，几天可以完成？
- 一项工程，甲队做8天完成，乙队做12天完成。甲队先做2天后，剩下的两队合作，还要几天？
- 修一条路，甲工程队单独修需要20天，乙工程队单独修需要30天。两队合修了5天后，剩下的由甲队单独修，还需几天？
- 一份文件，甲打字员单独打需12分钟，乙打字员单独打需18分钟。现在由甲先打3分钟后，剩下的两人合打，还要几分钟？
- 某工程，甲独做比乙独做多花1天。若两人合作2天可完成。求甲、乙独做各需几天？（提示：设乙独做需 \(x\) 天）
- 一项工作，甲做一半的时间与乙做全部的时间相等。若合作4天完成，求甲、乙单独完成各需几天？
- 一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管，6小时可注满空池；单开乙管，8小时可注满。现在先开甲管2小时，再同时打开乙管，还需几小时注满？
第二关：中考挑战（10道）
- （工程问题）某工厂需要加工一批零件，甲车间单独加工完成需要的时间比乙车间少10天。两车间共同加工5天后，由乙车间继续加工，还需要5天才能完成。求乙车间单独加工这批零件需要多少天。
- （合作与效率变化）一项工程，甲单独做50天完成，乙单独做75天完成。现在两人合作，但中途乙因事请假几天，结果共用了40天完成。求乙中途请假了多少天。
- （综合）某地要铺设一条管道，由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。如果由这两个工程队从两端同时相向施工，那么需要多少天可以铺通这条管道？
- （“休息”问题）一项工程，甲单独做60天完成，乙单独做30天完成。两人合作，甲每工作3天休息1天，乙每工作1天休息1天。从开始到完成共用了多少天？（结果取整数）
- （变效率问题）一个水池，有甲、乙两个进水口和一个排水口丙。单开甲口，5小时灌满；单开乙口，4小时灌满；单开丙口，3小时排空一满池水。若水池原为空，三管齐开，多少小时可灌满？
第三关：生活应用（5道）
- （手机充电）一部手机，用原装充电器单独充满电需要1.5小时，用充电宝单独充满需要2小时。若先用原装充电器充电半小时后，再同时连接充电宝一起充，还需要多少分钟充满？（假设始终以恒定功率充电）
- （数据下载）一份大型科研数据集，通过校内网络A单独下载需要8小时，通过公共网络B单独下载需要12小时。为了保证数据安全，计划先通过A网络下载一部分后，再同时开启两个网络一起下载剩余部分。若希望总用时控制在5小时内完成，那么至少要先通过A网络单独下载多少小时？
- （农田灌溉）一块农田，使用大型灌溉设备单独工作，4小时可完成灌溉；使用小型节水设备单独工作，6小时可完成。为了节约能源，现在先启动小型设备工作一段时间后，再同时启动大型设备一起工作，总共用了3小时完成灌溉。问小型设备先工作了多少小时？
- （团队编程）一个软件开发项目，若由资深程序员A单独完成核心模块编码需要6天，由初级程序员B单独完成需要10天。为了培养新人并保证进度，项目经理想让两人合作。但在合作过程中，A需要每天花1小时指导B，这导致A的有效工作效率降低了 \( \frac{1}{8} \)。问两人合作完成这个模块实际需要多少天？（每天按8小时工作时间计算）
- （仓库搬运）甲、乙两个搬运队负责清空一个仓库。甲队单独搬运需要9小时，乙队单独搬运需要6小时。因仓库空间限制，不能两队同时进场。现安排甲队先开始搬运，几小时后，乙队加入一起搬运，又共同工作了2小时完成了全部任务。求甲队先单独工作了几小时。
🤔 常见疑问 FAQ
💡 专家问答：应用题列式 的深度思考
问：为什么很多学生觉得这一块很难？
答：难在“抽象关系具体化”。学生看到的是一段文字描述，需要自己从中识别出哪个量是“工作总量”（常设为 \(1\)），哪个是“效率”，哪个是“时间”，并建立它们之间的数学关系 \(工作量=效率×时间\)。这需要阅读理解能力和数学建模能力的结合。常犯的错误是试图用具体的数字去碰，而不是用字母表示未知量，清晰表达出各部分的关系。
问：学习这个知识点对以后的数学学习有什么帮助？
答：帮助巨大！这是数学“建模思想”的绝佳启蒙。把一项工程、一次注水抽象为“总量1”，把不同的参与者抽象为“效率”，这本身就是建立数学模型。未来学习更复杂的分式方程、方程组、乃至高中的函数和数列应用题，其分析思路一脉相承。此外，它强化了“设未知数、找等量关系”这一核心代数思想，是贯穿整个中学数学的解题基石。
问：有什么一招必胜的解题"套路"吗？
答：有核心思路，可称之为“工程问题三板斧”：
1. 设总为1：明确将整个工作量看作单位 \(1\)。
2. 效率表时间：根据单独完成的时间，表示出各方的工作效率 \( \frac{1}{时间} \)。
3. 等量是关键：仔细读题，寻找关于“工作量之和（=1）”、“时间差”、“效率倍数”的语句，将其翻译成包含未知数的等式。只要严格按此三步思考，绝大多数工程问题都能迎刃而解。
答案与解析
第一关 解析（节选）：
- 解：合作效率 \( \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6} \)，时间 \( 1 \div \frac{1}{6} = 6 \) 小时。
- 解：合作效率 \( \frac{1}{5} + \frac{1}{4} = \frac{9}{20} \)，时间 \( 1 \div \frac{9}{20} = \frac{20}{9} \) 小时。
- 解：注水效率 \( \frac{1}{3} \)，排水效率 \( \frac{1}{4} \)，实际效率 \( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} \)，时间 \( 1 \div \frac{1}{12} = 12 \) 小时。
- 解：合作效率 \( \frac{1}{6} + \frac{1}{9} = \frac{5}{18} \)，时间 \( 1 \div \frac{5}{18} = \frac{18}{5} = 3.6 \) 天。
- 解：甲先做2天完成 \( \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)，剩余 \( \frac{3}{4} \)。合作效率 \( \frac{1}{8} + \frac{1}{12} = \frac{5}{24} \)，还需 \( \frac{3}{4} \div \frac{5}{24} = \frac{18}{5} = 3.6 \) 天。
（以下题目解析请同学们自行练习，关键是掌握列式方法。）
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