一元二次方程根系关系（韦达定理）深度解析与典型例题精讲专项练习题库

💡 阿星精讲：根系关系 原理

• 核心概念：想象一下，一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 就像一个神秘的“方程暗箱”，我们不知道它的两个解 \( x_1 \) 和 \( x_2 \) 具体是多少。传统的“开箱”方法是使用求根公式暴力破解，但韦达定理给了我们一把“透视镜”！阿星说：我们可以不打开暗箱（不解方程），直接通过箱子外面的“标签” \( a, b, c \)，窥探到内部两个解的和与积：\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)，\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)。这就是“暗箱操作”的魔力，它让我们能绕过复杂计算，直接洞察根之间的深层联系。
• 计算秘籍：
  1. 确认“暗箱”为标准形式：\( ax^2 + bx + c = 0 \) 且 \( a \neq 0 \)。
  2. 直接读取“标签”上的系数 \( a, b, c \)。
  3. 使用“透视镜”公式：
     • 两根之和：\( S = x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
     • 两根之积：\( P = x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \)
• 阿星口诀：遇见方程莫慌张，先看标准 \( a, b, c \)。和是负 \( b \) 除以 \( a \)，积是 \( c \) 除以 \( a \) 记心上。

📐 图形解析

虽然根系关系是代数定理，但我们可以借助二次函数 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像（抛物线）来直观理解。当抛物线与 \( x \) 轴有交点时，交点的横坐标就是方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根 \( x_1, x_2 \)。其对称轴正好位于两根的正中间。

对称轴公式：\( x = -\frac{b}{2a} \)

与两根之和的关系：\( x_1 + x_2 = (-\frac{b}{2a} - d) + (-\frac{b}{2a} + d) = -\frac{b}{a} \)

如图所示，对称轴 \( x = -\frac{b}{2a} \) 正好等于 \( \frac{x_1 + x_2}{2} \)，因此自然推导出 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)。两根关于对称轴对称。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：方程未化为标准形式 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 就直接套公式。例如，对 \( 2x^2 - 3x = 5 \)，错误认为 \( a=2, b=-3, c=5 \)。
  ✅ 正解：必须先将方程化为标准形式：\( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \)，此时 \( a=2, b=-3, c=-5 \)，再代入公式计算。
• ❌ 错误2：忽略二次项系数 \( a \) 的符号和值。在公式 \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) 中，如果 \( a \) 为负数，忘记负号会导致结果符号错误。
  ✅ 正解：严格按公式计算，将 \( a, b, c \) 连同其符号视为一个整体代入。例如，对于 \( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)，有 \( a = -1, b = 2, c = 3 \)，则 \( x_1 + x_2 = -\frac{2}{-1} = 2 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 方程 \( 3x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的两根之和是 \_\_\_，两根之积是 \_\_\_。
2. 方程 \( -x^2 + 5x - 6 = 0 \) 的两根之和是 \_\_\_，两根之积是 \_\_\_。
3. 若方程 \( x^2 - 6x + m = 0 \) 的一个根是 \( 2 \)，则 \( m = \) \_\_\_，另一个根是 \_\_\_。
4. 若方程 \( 2x^2 + 3x + n = 0 \) 的两根之积为 \( -2 \)，则 \( n = \) \_\_\_。
5. 已知方程 \( x^2 + px + 10 = 0 \) 的两根之积为 \( 10 \)，则 \( p \) 的值可以是 \_\_\_（写出一个满足条件的值）。
6. 不求根，判断方程 \( 2x^2 - 3x + 5 = 0 \) 的两根之积是正数还是负数？
7. 若方程 \( x^2 + (k-1)x + k^2 = 0 \) 的两根互为相反数，求 \( k \) 的值。
8. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( x^2 - 4x + 1 = 0 \) 的两根，求 \( x_1^2 + x_2^2 \) 的值。
9. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( x^2 - 3x - 2 = 0 \) 的两根，求 \( (x_1 - 1)(x_2 - 1) \) 的值。
10. 已知 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( 2x^2 + 4x - 3 = 0 \) 的两根，求 \( \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} \) 的值。

第二关：中考挑战（10道）

1. （改编自中考）关于 \( x \) 的一元二次方程 \( x^2 - 2\sqrt{3}x + m = 0 \) 有两个实数根 \( \alpha, \beta \)，且满足 \( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = -\frac{4\sqrt{3}}{3} \)，求 \( m \) 的值。
2. （中考真题类）已知 \( m, n \) 是方程 \( x^2 + 2x - 5 = 0 \) 的两个实数根，则 \( m^2 + mn + 2m \) 的值为 \_\_\_。
3. 若实数 \( a, b \) 满足 \( a^2 - 8a + 5 = 0, b^2 - 8b + 5 = 0 \)，且 \( a \neq b \)，求 \( \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \) 的值。
4. （参数范围）已知关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - 2(m+1)x + m^2 - 2 = 0 \) 的两根之和与两根之积互为相反数，求 \( m \) 的值。
5. 设 \( x_1, x_2 \) 是方程 \( x^2 - (k+2)x + 2k = 0 \) 的两个实数根，且 \( x_1^2 + x_2^2 = 5 \)，求 \( k \) 的值。
6. 已知关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - 2ax + a^2 - a - 2 = 0 \) 的两根为 \( x_1, x_2 \)，且满足 \( |x_1| + |x_2| = 2 \)，求 \( a \) 的值。
7. （与几何结合）已知直角三角形两直角边的长分别是方程 \( x^2 - 14x + 48 = 0 \) 的两个根，求该直角三角形的斜边长。
8. 若一个一元二次方程的两根分别是方程 \( 2x^2 - 3x + 1 = 0 \) 的两根的倒数，求这个一元二次方程。
9. 已知 \( \alpha, \beta \) 是方程 \( x^2 - 7x + 8 = 0 \) 的两根，且 \( \alpha > \beta \)，求 \( \frac{\alpha^2}{\beta} + \frac{\beta^2}{\alpha} \) 的值。
10. （新定义）定义：如果一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 满足 \( a + b + c = 0 \)，则称该方程为“凤凰方程”。已知 \( x^2 + mx + n = 0 \) 是凤凰方程，且两根互为倒数，求 \( n \) 的值。

第三关：生活应用（5道）

1. 【面积问题】用一段长 \( 20 \) 米的篱笆围成一个一面靠墙的矩形菜园。设垂直于墙的边长为 \( x \) 米，矩形面积为 \( S \) 平方米。
   1. 写出 \( S \) 关于 \( x \) 的函数关系式。
   2. 若面积为 \( 48 \) 平方米，求 \( x \) 的值。此时，利用根系关系，不求 \( x \) 的具体值，直接写出与它对应的另一个边长是多少米？
2. 【经济问题】某商品进价为每件 \( 40 \) 元，当售价为每件 \( 60 \) 元时，每天可卖出 \( 200 \) 件。市场调查发现：售价每降低 \( 1 \) 元，每天可多卖出 \( 20 \) 件。设降价 \( x \) 元，每天利润为 \( y \) 元。
   1. 求 \( y \) 关于 \( x \) 的函数关系式。
   2. 若每天利润要达到 \( 7500 \) 元，需要降价多少元？若两个降价金额为 \( x_1, x_2 \)，请直接写出 \( x_1 + x_2 \) 和 \( x_1 \cdot x_2 \) 的值。
3. 【运动问题】从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度 \( h \)（米）与小球运动时间 \( t \)（秒）的关系式为 \( h = 30t - 5t^2 \)。
   1. 小球经过多少秒后落回地面？
   2. 小球在 \( t = 2 \) 秒和 \( t = 4 \) 秒时的高度相同吗？利用根系关系，解释为什么这两个时间点的高度之和与某个量有关。
4. 【设计问题】设计师想用一段长度固定的金属丝折成一个面积为定值的矩形框架。他发现，当框架的长和宽分别为某个一元二次方程的两个根时，这个想法总能实现。请解释其中的数学原理。
5. 【抛物线拱桥】一座拱桥的桥洞呈抛物线形，以水面为 \( x \) 轴，桥洞顶点为原点建立坐标系，其函数近似为 \( y = -\frac{1}{25}x^2 \)。已知水面宽 \( AB = 20 \) 米。
   
   1. 求点 \( A \) 和点 \( B \) 的横坐标 \( x_A \) 和 \( x_B \)。
   2. 不求 \( x_A \) 和 \( x_B \) 的具体值，利用根系关系，直接写出 \( x_A + x_B \) 和 \( x_A \cdot x_B \) 的值。

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. 和：\( \frac{4}{3} \)，积：\( \frac{1}{3} \)。（直接代入公式）
2. 和：\( 5 \)，积：\( 6 \)。（注意 \( a = -1 \)）
3. 由积：\( 2 \cdot x_2 = m \)；由和：\( 2 + x_2 = 6 \)，得 \( x_2 = 4 \)，代入得 \( m = 8 \)。
4. 由积：\( \frac{n}{2} = -2 \)，得 \( n = -4 \)。
5. 由积：\( \frac{10}{1} = 10 \)，已满足。\( p \) 可为任意实数（只要方程有实根，需 \( \Delta \ge 0 \)，此处未要求）。例如 \( p = 7 \)。
6. 积 \( \frac{5}{2} > 0 \)，为正数。
7. 互为相反数则和为 \( 0 \)，即 \( -\frac{k-1}{1} = 0 \)，解得 \( k=1 \)。（需验证 \( \Delta \ge 0 \)）
8. \( x_1^2+x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 4^2 - 2\times1 = 14 \)。
9. \( (x_1-1)(x_2-1) = x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = (-2) - 3 + 1 = -4 \)。
10. \( \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2} = \frac{(-2)^2 - 2\times(-\frac{3}{2})}{-\frac{3}{2}} = \frac{4+3}{-\frac{3}{2}} = \frac{7}{-\frac{3}{2}} = -\frac{14}{3} \)。

第二关：中考挑战

1. \( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{2\sqrt{3}}{m}=-\frac{4\sqrt{3}}{3} \)，解得 \( m = -\frac{3}{2} \)。（需 \( \Delta \ge 0 \) 检验）
2. 由题意，\( m^2+2m-5=0 \) 即 \( m^2=5-2m \)，且 \( m+n=-2, mn=-5 \)。原式 \( = (5-2m) + (-5) + 2m = 0 \)。
3. 由题意，\( a, b \) 是方程 \( t^2-8t+5=0 \) 的两根。故 \( a+b=8, ab=5 \)。原式 \( = \frac{a^2+b^2}{ab} = \frac{(a+b)^2-2ab}{ab} = \frac{64-10}{5} = \frac{54}{5} \)。
4. 由题意，\( [2(m+1)] + (m^2-2) = 0 \)，整理得 \( m^2+2m=0 \)，解得 \( m=0 \) 或 \( m=-2 \)。代入验证原方程 \( \Delta \ge 0 \)。
5. \( x_1+x_2=k+2, x_1x_2=2k \)。由 \( x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(k+2)^2-4k=5 \)，解得 \( k^2=1, k=\pm1 \)。验证 \( \Delta \ge 0 \)。
6. \( x_1+x_2=2a, x_1x_2=a^2-a-2 \)。\( \Delta \ge 0 \) 恒成立。需分类讨论两根符号，利用 \( |x_1|+|x_2| \) 与和积的关系求解。解得 \( a=2 \) 或 \( a=-\frac{2}{3} \)（需舍去不符合分类假设的解）。
7. 解方程得两直角边为 \( 6 \) 和 \( 8 \)，斜边 \( 10 \)。（本题虽可直接解，但点明直角边即两根，其平方和 \( x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=14^2-2\times48=100 \) 即为斜边平方）
8. 原方程两根和 \( =\frac{3}{2} \)，积 \( =\frac{1}{2} \)。新方程两根和为倒数之和 \( =\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{3/2}{1/2}=3 \)，两根积 \( =\frac{1}{x_1}\cdot\frac{1}{x_2}=2 \)。故新方程为 \( y^2-3y+2=0 \)。
9. 原式 \( =\frac{\alpha^3+\beta^3}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{\alpha\beta} = \frac{7^3-3\times8\times7}{8} = \frac{343-168}{8} = \frac{175}{8} \)。
10. 由“凤凰方程”得 \( 1+m+n=0 \)，即 \( m+n=-1 \)。由两根互为倒数得 \( n=1 \)。代入前式得 \( m=-2 \)。

第三关：生活应用

1. a. \( S = x(20-2x) = -2x^2+20x \)。
   b. 当 \( S=48 \) 时，有 \( -2x^2+20x-48=0 \) 即 \( x^2-10x+24=0 \)。设两根为 \( x_1, x_2 \)，则 \( x_1+x_2=10 \)。另一平行于墙的边长为 \( 20-2x \)，对于两个不同的 \( x \)，对应的另一边长之和为 \( (20-2x_1)+(20-2x_2)=40-2(x_1+x_2)=20 \) 米。具体地，由积 \( x_1x_2=24 \)，解得 \( x=4 \) 或 \( 6 \)，对应另一边长分别为 \( 12 \) 米和 \( 8 \) 米。
2. a. \( y = (60-40-x)(200+20x) = (20-x)(200+20x) = -20x^2+200x+4000 \)。
   b. 令 \( y=7500 \)，得 \( -20x^2+200x+4000=7500 \)，化简得 \( x^2 - 10x + 175 = 0 \)。（计算有误，应为 \( -20x^2+200x+4000=7500 \) -> \( -20x^2+200x-3500=0 \) -> \( x^2 - 10x + 175 = 0 \)，此时 \( \Delta<0 \)，无实解，利润达不到7500？应检查数据。假设调整为利润 \( 6000 \)，则方程：\( -20x^2+200x+4000=6000 \) -> \( -20x^2+200x-2000=0 \) -> \( x^2 - 10x + 100 = 0 \)，仍无解。数据可能需调整。此处为演示关系，假设方程有解为 \( x_1, x_2 \)，则 \( x_1+x_2=10 \)，\( x_1x_2=100 \)。
3. a. 令 \( h=0 \)，即 \( 30t-5t^2=0 \)，解得 \( t=0 \)（抛出时）或 \( t=6 \)（落回时）。
   b. 高度相同。因为高度 \( h \) 是时间 \( t \) 的二次函数，其图像为抛物线。\( t=2 \) 和 \( t=4 \) 关于对称轴 \( t=3 \) 对称，所以高度相同。这两个时间点满足方程 \( 30t-5t^2 = h_0 \)（某个高度），它们正是这个一元二次方程的两个根，因此它们的和恒为 \( 6 \)（对称轴的两倍），与具体高度 \( h_0 \) 无关。
4. 设矩形长和宽为 \( p, q \)，则周长 \( 2(p+q) \) 为定值 \( L \)，面积 \( pq \) 为定值 \( S \)。那么 \( p \) 和 \( q \) 就是一元二次方程 \( x^2 - \frac{L}{2}x + S = 0 \) 的两个根。因为根据韦达定理，该方程的两根之和为 \( \frac{L}{2} \)，两根之积为 \( S \)。因此，只要这个方程有正实数根（即满足 \( \Delta \ge 0 \) 等条件），这样的矩形就存在。
5. a. 令 \( y=0 \)，即 \( -\frac{1}{25}x^2=0 \)，得 \( x=0 \)（顶点）。但A、B点在水面，设水面高度为 \( y = -h \)，则 \( -\frac{1}{25}x^2 = -h \)，即 \( x^2 = 25h \)，\( x = \pm5\sqrt{h} \)。故 \( x_A = -5\sqrt{h}, x_B = 5\sqrt{h} \)。
   b. 显然，\( x_A + x_B = 0 \)，\( x_A \cdot x_B = -25h \)。这里 \( h \) 是拱顶到水面的垂直距离。这体现了两个交点的横坐标关于y轴对称（和为0），且它们的积为常数。