一元二次方程根的判别式Δ怎么判断？三种情况图形解析与易错点全攻略专项练习题库

💡 阿星精讲：根的判别式Δ 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天咱们不聊数学，聊天气！怎么聊呢？每一个一元二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 都对应一条抛物线（也就是二次函数的图像）。这条抛物线和地平线（x轴）会不会相遇？在哪相遇？这就是“根的判别式”要预报的“天气”！我们把预报员叫做 \( \Delta \)（德尔塔），它的计算公式是 \( \Delta = b^2 - 4ac \)。听它播报：“Δ>0”：预报结果是“晴天”，抛物线与x轴有两个不同的交点，方程有两个不相等的实数根；“Δ=0”：预报结果是“多云转晴”，抛物线与x轴恰好有一个交点（相切），方程有两个相等的实数根；“Δ<0”：预报结果是“雨天”，抛物线与x轴完全分开，没有交点，方程在实数范围内无解。
• 计算秘籍：
  1. 将方程整理为标准形式：\( ax^2 + bx + c = 0 \) （\( a \neq 0 \)）。
  2. 找准“天气预报”公式：\( \Delta = b^2 - 4ac \)。
  3. 代入系数 \( a, b, c \) 的值进行计算。
  4. 根据计算结果“听预报”：
     • 若 \( \Delta > 0 \)，则方程有两个不等实根。
     • 若 \( \Delta = 0 \)，则方程有两个相等实根（一个实根）。
     • 若 \( \Delta < 0 \)，则方程无实数根。
• 阿星口诀：德尔塔，判根数，正二平一负归无。

📐 图形解析

让我们用图像直观地理解“天气预报”的结果。下面是三种“天气”对应的抛物线（图像）与x轴（地平线）的位置关系图。其中，方程 \( y = ax^2 + bx + c \) 的图像与x轴交点的横坐标，就是原方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根。

三种情况的判别式结论：\( \Delta > 0 \) 时，方程有两个实数解；\( \Delta = 0 \) 时，方程有一个实数解（重根）；\( \Delta < 0 \) 时，方程无实数解。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：看到方程就直接套公式，忽略了 \( a \neq 0 \) 的前提。
  ✅ 正解：必须先确认方程是一元二次方程，即 \( a \neq 0 \)。若 \( a=0 \)，则方程退化为一元一次方程，不能用判别式 \( \Delta \) 判断。
• ❌ 错误2：计算 \( b^2 - 4ac \) 时，符号出错，特别是当 \( b, c \) 为负数时。
  ✅ 正解：代入负数时务必加括号。例如，\( a=1, b=-2, c=-3 \)，则 \( \Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 不解方程，判断 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) 的根的情况。
2. 不解方程，判断 \( x^2 + x + 1 = 0 \) 的根的情况。
3. 不解方程，判断 \( 4x^2 - 12x + 9 = 0 \) 的根的情况。
4. 方程 \( x^2 - 6x + m = 0 \) 有两个相等的实数根，求 \( m \) 的值。
5. 方程 \( 2x^2 - 3x + k = 0 \) 无实数根，求 \( k \) 的取值范围。
6. 若关于 \( x \) 的方程 \( x^2 + 4x - a = 0 \) 有实数根，求 \( a \) 的取值范围。
7. 证明：方程 \( x^2 - (m+2)x + 2m = 0 \) 总有实数根。
8. 已知方程 \( x^2 + px + 9 = 0 \) 有两个相等的实数根，求 \( p \) 的值。
9. 方程 \( mx^2 - 2x + 1 = 0 \) 有实数根，求 \( m \) 的取值范围。（注意分类讨论）
10. 若 \( a, b, c \) 是三角形的三边长，且方程 \( (c-b)x^2 + 2(b-a)x + (a-b) = 0 \) 有两个相等的实数根，判断三角形的形状。

第二关：中考挑战（10道）

1. （真题改编）关于 \( x \) 的一元二次方程 \( x^2 + (2k+1)x + k^2 = 0 \) 有两个不相等的实数根，则 \( k \) 的取值范围是______。
2. （真题改编）若关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - 2\sqrt{k}x - 1 = 0 \) 有两个不相等的实数根，则实数 \( k \) 的取值范围是______。
3. （真题改编）已知关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - (2m+1)x + m(m+1) = 0 \)。求证：方程总有两个不相等的实数根。
4. （综合题）已知抛物线 \( y = x^2 + bx + c \) 与 \( x \) 轴只有一个公共点，且过点 \( A(1, 4) \)，求抛物线的解析式。
5. （综合题）若函数 \( y = mx^2 - 6x + 2 \) 的图像与 \( x \) 轴只有一个公共点，求 \( m \) 的值。
6. （含参问题）关于 \( x \) 的方程 \( kx^2 - 4x - \frac{3}{k} = 0 \) 有两个不相等的实数根，求 \( k \) 的取值范围。
7. （与几何结合）等腰三角形 \( ABC \) 的底边 \( BC \) 的长为 6，腰长 \( AB, AC \) 是关于 \( x \) 的方程 \( x^2 - kx + 9 = 0 \) 的两个根，求 \( k \) 的值。
8. （与函数结合）直线 \( y = 2x + m \) 与抛物线 \( y = x^2 + 3x + 3 \) 有唯一公共点，求 \( m \) 的值。
9. （证明题）已知 \( a, b, c \) 是实数，且 \( a+b+c=0 \)，求证：方程 \( ax^2+bx+c=0 (a \neq 0) \) 必有一个根是 1。
10. （代数推理）设 \( m, n \) 是方程 \( x^2 + 2024x + 1 = 0 \) 的两个实数根，求 \( \sqrt{m} + \sqrt{n} \) 的值。（提示：注意判别式和根的正负）

第三关：生活应用（5道）

1. （喷泉设计）某公园喷泉喷出的水柱形状可近似看作抛物线 \( y = -x^2 + 5x \)（单位：米）。问：水柱最高点距离地面多少米？水柱落地点距离喷口多少米？（提示：最高点对应顶点纵坐标，落地点对应与x轴交点的横坐标）
2. （围栏面积）李叔叔用一根长 20 米的绳子，一面靠墙，围成一个矩形的菜园。设垂直于墙的一边长为 \( x \) 米，矩形的面积为 \( S \) 平方米。请问能否围出面积为 \( 60 \) 平方米的菜园？请说明理由。（提示：列出面积方程，用判别式判断）
3. （利润预测）某商店销售一种商品，每件盈利 20 元。为了扩大销售，决定采取降价措施。市场调查发现，每降价 1 元，日销售量可增加 2 件。若日盈利要达到 1200 元，每件商品应降价多少元？请判断降价方案是否有两个。（提示：设降价 \( x \) 元，列出一元二次方程）
4. （桥梁设计）某拱桥的桥拱形状是抛物线型，以水面为 \( x \) 轴，拱桥对称轴为 \( y \) 轴建立坐标系。已知水面宽 \( AB = 20 \) 米，拱顶离水面 5 米。一艘宽 8 米，船舱顶部高出水面 2 米的货船，能否顺利通过此桥？（提示：求出抛物线解析式，判断当 \( x=4 \) 时，\( y \) 是否大于 2）
5. （运动轨迹）小明在篮球场上投篮，篮球出手后的运动路线近似为抛物线 \( y = -\frac{1}{5}x^2 + \frac{9}{5}x + 2 \)（\( x \) 为水平距离，\( y \) 为高度，单位：米）。已知篮筐中心在水平距离 7 米，高度 3 米处。问：此球能否直接投中篮筐？（提示：判断当 \( x=7 \) 时，计算出的 \( y \) 值是否为 3，或判断方程 \( -\frac{1}{5}x^2 + \frac{9}{5}x + 2 = 3 \) 在 \( x=7 \) 时是否成立）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. \( \Delta = (-5)^2 - 4\times1\times6 = 1 > 0 \)，有两个不等实根。
2. \( \Delta = 1^2 - 4\times1\times1 = -3 < 0 \)，无实数根。
3. \( \Delta = (-12)^2 - 4\times4\times9 = 144 - 144 = 0 \)，有两个相等实根。
4. 由 \( \Delta = (-6)^2 - 4\times1\times m = 36 - 4m = 0 \)，解得 \( m = 9 \)。
5. 由 \( \Delta = (-3)^2 - 4\times2\times k = 9 - 8k < 0 \)，解得 \( k > \frac{9}{8} \)。
6. “有实数根”包括两个相等或两个不等，故 \( \Delta = 4^2 - 4\times1\times(-a) = 16 + 4a \geq 0 \)，解得 \( a \geq -4 \)。
7. 计算 \( \Delta = [-(m+2)]^2 - 4\times1\times(2m) = m^2+4m+4-8m = m^2-4m+4 = (m-2)^2 \geq 0 \)，故方程总有实数根。
8. 由 \( \Delta = p^2 - 4\times1\times9 = p^2 - 36 = 0 \)，解得 \( p = \pm 6 \)。
9. 分类讨论：①当 \( m=0 \) 时，方程为 \( -2x+1=0 \)，有一个实根，符合。②当 \( m \neq 0 \) 时，需 \( \Delta = (-2)^2 - 4\times m \times 1 = 4 - 4m \geq 0 \)，解得 \( m \leq 1 \)。综上，\( m \leq 1 \)。
10. 方程有两个相等实根，故 \( \Delta = [2(b-a)]^2 - 4(c-b)(a-b) = 0 \)。化简得 \( 4(a-b)^2 - 4(c-b)(a-b) = 4(a-b)[(a-b)-(c-b)] = 4(a-b)(a-c) = 0 \)。所以 \( a=b \) 或 \( a=c \)。又 \( c-b \neq 0 \)（否则不是一元二次方程），即 \( c \neq b \)。结合 \( a=b \) 或 \( a=c \)，三角形为等腰三角形。

第二关 & 第三关 解析略（篇幅所限，提供关键点）。

第三关生活应用示例解析（第2题）：
设垂直于墙的边长为 \( x \) 米，则平行于墙的边长为 \( (20-2x) \) 米。面积 \( S = x(20-2x) = -2x^2 + 20x \)。
令 \( S = 60 \)，得方程 \( -2x^2 + 20x - 60 = 0 \)，即 \( x^2 - 10x + 30 = 0 \)。
计算判别式 \( \Delta = (-10)^2 - 4\times1\times30 = 100 - 120 = -20 < 0 \)。
故该方程无实数解，意味着不存在这样的 \( x \) 能使面积为60平方米。因此，不能围出面积为60平方米的菜园。