1加到100等于多少？高斯求和公式推导、计算方法与练习题PDF下载

💡 阿星精讲：1加到100等于多少 原理

• 核心概念：想象一下，数字们正排着长队等着被加起来，小高斯发现了一个“魔法握手”的秘密！他不让 \(1\) 到 \(100\) 傻傻地一个一个加，而是让队首的 \(1\) 和队尾的 \(100\) 握手，它们的和是 \(101\)；接着让 \(2\) 和 \(99\) 握手，和也是 \(101\)……就这样一直握下去，每一对好朋友的和都是 \(101\)。他发现，从 \(1\) 到 \(100\)，刚好可以配成 \(50\) 对这样的好朋友。所以，总和就是 \(50\) 个 \(101\)。\(5050\) 这个数字，就是这样被天才高斯用一个绝妙的比喻闪电般算出来的，成为了数学史上最著名的求和故事！
• 计算秘籍：
  1. 找到首尾配对：\(1+100=101\)， \(2+99=101\)， \(3+98=101\)……
  2. 计算对数：从 \(1\) 到 \(100\) 共有 \(100\) 个数，每两个数组成一对，所以共有 \(100 \div 2 = 50\) 对。
  3. 计算总和：\(50 \times 101 = 5050\)。
  4. 写成通用公式：\(\text{总和} = (\text{第一个数} + \text{最后一个数}) \times \text{数的个数} \div 2\)，即 \(S = (a_1 + a_n) \times n \div 2\)。
• 阿星口诀：“数列求和不用愁，首尾相加配成对。对数乘和快准优，高斯秘诀记心头！”

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：硬算 \(1+2+3+...+100\)，既慢又易出错。
  ✅ 正解：识别这是连续的整数求和，立刻想到“高斯配对法”，寻找首尾配对的规律。
• ❌ 错误2：计算对数时，直接用末项 \(100\) 除以 \(2\)，但在项数为奇数时出错（例如 \(1\) 加到 \(99\)）。
  ✅ 正解：牢记“对数 = 项数 ÷ 2”。项数 \(n\) 的公式是 \(n = (\text{末项} - \text{首项}) \div \text{公差} + 1\)。对于 \(1\) 到 \(100\)，项数 \(n=100\)，所以对数是 \(50\)。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 计算 \(1+2+3+...+30\)。
2. 计算 \(1+2+3+...+80\)。
3. 计算 \(10+11+12+...+20\)。
4. 计算 \(5+6+7+...+25\)。
5. 一堆圆木，最上层有 \(3\) 根，最下层有 \(10\) 根，每层比上层多 \(1\) 根，共有多少根？
6. 计算 \(100+99+98+...+1\)。
7. 计算 \(20+21+22+...+50\)。
8. 一个剧院有 \(30\) 排座位，后一排比前一排多 \(2\) 个座位，最后一排有 \(100\) 个座位。第一排有多少个座位？（提示：先求总数？不，先利用等差数列关系求首项）
9. 计算 \(1+2+3+...+99\)（项数为奇数，检验你的公式掌握）。
10. 计算 \(50+51+52+...+100\)。

第二关：奥数挑战（10道）

1. 计算 \(1+3+5+...+99\)。（100以内的奇数和）
2. 计算 \(3+6+9+...+99\)。（100以内3的倍数之和）
3. 计算 \(1-2+3-4+5-6+...+99-100\)。
4. 已知一个等差数列的和是 \(5050\)，首项是 \(1\)，末项是 \(100\)，求它的项数。
5. 计算 \((101+103+...+199) - (102+104+...+200)\)。
6. 求能被 \(7\) 整除且小于 \(200\) 的所有正整数的和。
7. 时钟在整点时会报时（1点敲1下，2点敲2下……），从上午8点到晚上8点，一共敲了多少下？
8. 一个数列从第三项开始，每一项都是前两项的和，已知第一项是 \(1\)，第二项是 \(1\)，求前 \(10\) 项的和。（斐波那契数列）
9. 有 \(10\) 根柱子，在第一根柱子上从下往上按大小顺序套着 \(10\) 个金盘。现在要全部移到第三根柱子上，每次只能移动一个，且大盘不能压小盘。总共需要移动多少次？（汉诺塔问题，数列求和）
10. 计算 \(1 \times 2 + 2 \times 3 + 3 \times 4 + ... + 99 \times 100\)。（提示：\(n(n+1) = n^2 + n\)，分别求和）

第三关：生活应用（5道）

1. AI训练：训练一个简单的AI模型识别手写数字，如果用最笨的方法，让模型从 \(1\) 到 \(100000\) 每个数字都猜一遍，它总共需要“尝试”多少次？（即求和）
2. 电商仓储：某电商仓库的货架有 \(50\) 层，第一层放了 \(1\) 箱货物，第二层放了 \(3\) 箱，第三层放了 \(5\) 箱……每层比上一层多 \(2\) 箱。请问这个货架总共能放多少箱货物？
3. 航天发射：一枚火箭的燃料箱由多个串联的燃料舱组成，舱体编号从 \(001\) 到 \(080\)。工程师需要为所有偶数编号的燃料舱进行一次特殊检查。请问他一共要检查多少个燃料舱？这些偶数编号之和是多少？
4. 游戏开发：设计一个经验值系统，玩家从 \(1\) 级升到 \(100\) 级，每升一级所需经验值比上一级多 \(50\) 点，第 \(1\) 级需要 \(100\) 点经验。请问玩家从 \(1\) 级练到 \(100\) 级总共需要多少经验值？
5. 城市规划：一条新建的街道需要安装路灯，起点和终点各装一盏，然后每隔 \(10\) 米装一盏。如果街道全长 \(1\) 公里（\(1000\) 米），一共需要安装多少盏路灯？如果将路灯从起点开始编号为 \(1, 2, 3...\)，所有编号之和是多少？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \( (1+30)\times30\div2=465 \)
2. \( (1+80)\times80\div2=3240 \)
3. 项数 \(n=20-10+1=11\)， \(S=(10+20)\times11\div2=165\)
4. 项数 \(n=25-5+1=21\)， \(S=(5+25)\times21\div2=315\)
5. 项数 \(n=10-3+1=8\)， \(S=(3+10)\times8\div2=52\)（根）
6. 同 \(1\) 加到 \(100\)， \(5050\)
7. 项数 \(n=50-20+1=31\)， \(S=(20+50)\times31\div2=1085\)
8. 由 \(a_{30}=a_1+(30-1)\times2=100\)，得 \(a_1=100-58=42\)。
9. 项数 \(n=99\)， \(S=(1+99)\times99\div2=4950\)
10. 项数 \(n=100-50+1=51\)， \(S=(50+100)\times51\div2=3825\)

第二关：奥数挑战
1. 奇数列，公差 \(d=2\)，末项 \(99\)，项数 \(n=(99-1)\div2+1=50\)， \(S=(1+99)\times50\div2=2500\)
2. 公差 \(d=3\)，项数 \(n=(99-3)\div3+1=33\)， \(S=(3+99)\times33\div2=1683\)
3. 重新组合：\((1-2)+(3-4)+...+(99-100)=(-1)\times50=-50\)
4. 由 \(5050=(1+100)\times n \div 2\)，得 \(n=5050\times2\div101=100\)
5. 被减数和减数都是 \(50\) 项，对应项相差 \(1\)：\((101-102)+(103-104)+...+(199-200)=(-1)\times50=-50\)
6. 数列 \(7, 14, ..., 196\)，项数 \(n=196\div7=28\)， \(S=(7+196)\times28\div2=2842\)
7. \(8+9+10+...+20\)，项数 \(n=20-8+1=13\)， \(S=(8+20)\times13\div2=182\)（下）
8. 斐波那契数列前 \(10\) 项：\(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55\)。和 \(S=143\)。（也可用性质：前 \(n\) 项和等于第 \(n+2\) 项减 \(1\)，即第 \(12\) 项减 \(1\)， \(144-1=143\)）
9. 移动次数数列：\(1, 3, 7, 15, ...\)，通项 \(a_n=2^n-1\)。\(10\) 个盘子需 \(2^{10}-1=1023\) 次。
10. \(\sum_{n=1}^{99} n(n+1) = \sum n^2 + \sum n = \frac{99\times100\times199}{6} + \frac{99\times100}{2} = 328350 + 4950 = 333300\)。（平方和公式 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)）

第三关：生活应用
1. \(1\) 到 \(100000\) 的和：\(S=(1+100000)\times100000\div2 = 5000050000\)（次）
2. 这是一个首项 \(1\)，公差 \(2\)，项数 \(50\) 的等差数列。\(S=(1+(1+49\times2))\times50\div2 = (1+99)\times25 = 2500\)（箱）
3. 偶数舱编号：\(2,4,6,...,80\)。项数 \(n=80\div2=40\)，检查和 \(S=(2+80)\times40\div2=1640\)。
4. 经验值数列：首项 \(100\)，公差 \(50\)，项数 \(99\)（从升第 \(2\) 级到第 \(100\) 级共 \(99\) 级）。总经验 \(=100 + [100+50\times1] + ... + [100+50\times98] = 100\times99 + 50\times(1+2+...+98) = 9900 + 50\times[(1+98)\times98\div2] = 9900 + 50\times4851 = 9900 + 242550 = 252450\)（点）。或直接用等差数列求和，首项 \(100\)，末项 \(100+50\*98=5000\)，项数 \(100\)，总和 \(S=(100+5000)\times100\div2=255000\)（注意这里是从 \(1\) 级到 \(100\) 级需要的总经验，包含了第 \(1\) 级的 \(100\)）。
5. 路灯数：两端都装，棵数 = 间隔数 + 1。间隔数 \(=1000\div10=100\)，所以路灯数 \(=101\)（盏）。编号和 \(=1+2+...+101=(1+101)\times101\div2=5151\)。