找次品问题三分法详解：五年级奥数练习题PDF下载含答案解析

💡 阿星精讲：找次品：三分法 原理

• 核心概念：阿星发现了一个宝藏箱，里面有9枚闪闪发光的金币！但是可恶的海盗混进了1枚轻一点的假币。怎么用天平最快找出来？阿星咧嘴一笑：“别傻傻的一个一个称！我们把金币分成3堆，每堆3个。” 先拿两堆放到天平两边。如果天平平衡，假币肯定在没称的那堆里；如果一边翘起（轻），假币就在轻的那边。看，只称了1次，我们就从9个嫌疑犯里，排除了6个无辜的，把搜索范围锁定在3个里！这就是“三分法”的魔力——每次称重，都能从三份中获得“谁轻”、“谁重”或“一样重”的三种信息，效率最高！
• 计算秘籍：想知道最坏情况下至少称几次？记住这个公式：假设物品总数是 \( n \)，次品较轻或较重（已知轻重信息），那么最少的称量次数 \( k \) 必须满足 \( 3^k \ge n \)。换句话说，\( k = \lceil \log_3(n) \rceil \)（向上取整）。比如 \( n=9 \)，因为 \( 3^2=9 \)，所以 \( k=2 \)。阿星的第一次称量，就是迈向这2步的第一步。
• 阿星口诀：物品分成三份称，天平两端定乾坤。平衡问题在第三，不平轻（重）边里寻。一次排除三分二，对数计算定乾坤！

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：不管数量，上来就硬分三份。比如13个物品，分成4,4,5。→ ✅ 正解：要尽量平均分三份，让两份上天平，一份留手里。13个应分成 \( (4, 4, 5) \)，虽然份数不同，但每份数量差最小。核心逻辑是：让天平两边数量相同，这样才能进行有效比较。
• ❌ 错误2：已知次品“较轻”和“不知轻重”用同一种方法。→ ✅ 正解：如果已知次品较轻（如阿星的金币问题），天平不平衡时，次品一定在轻的一边。如果不知次品是轻是重，天平不平衡时，除了天平上的两份，剩下那份（没称的）也可能是标准品，推理更复杂，通常需要更多称量次数。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 有3盒糖，其中1盒少了2颗（轻），称几次能保证找出？
2. 有4个乒乓球，其中1个不合格（轻），称几次能保证找出？
3. （阿星原题）有9个玩具，1个次品（轻），至少称几次？
4. 有10袋食盐，其中1袋分量不足（轻），至少称几次？
5. 有8枚纪念币，1枚是假的（轻），至少称几次？
6. 有81瓶同款维生素，1瓶是空心假货（轻），至少称几次？
7. 有14个零件，1个是废品（轻），至少称几次？
8. 有1个金币是假的（轻），在27个真币中，至少称几次？
9. 有243颗珍珠，1颗是塑料的（轻），至少称几次？
10. 天平称一次，最多能从多少个物品中找出1个轻的次品？（只称一次哦）

第二关：奥数挑战（10道）

1. 有13个金币，其中1个是假币，不知轻重，至少称几次？
2. 有5袋金币，每袋有10枚。其中一整袋都是假币（每枚假币比真币轻1克）。用电子秤（可读数）称一次，如何找出那袋假币？
3. 有4个小球，其中1个重量不同（不知轻or重），用天平至少称几次保证找出？
4. 有244个产品，其中1个是次品（不知轻重），至少称几次能保证找出？
5. 有12个球，其中1个重量不同。已知如果天平平衡，则有一个隐藏的“标准球”可用。至少称几次？
6. 有8瓶药水，其中1瓶有毒（重量比其他重）。至少称几次？
7. 有7个砝码，外形一样，其中1个重量不足。用天平至少称几次？
8. 有100个硬币，其中2个是假币（都轻1克），至少称几次能保证找出它们？
9. 有3堆金币，分别是3枚、3枚、2枚。其中恰好有1枚假币（轻）。至少称几次？
10. 有 \( 3^n + 1 \) 个物品，其中1个是次品（轻），至少称几次？

第三关：生活应用（5道）

1. （AI数据清洗）阿星有27份训练数据文件，其中1份被病毒污染导致文件大小略小。他只能用文件比对工具（功能类似天平，比较两组文件的总大小）进行排查。至少需要比对几次能保证找到被污染的文件？
2. （航天质检）在3D打印的81个卫星精密零件中，混入了1个内部有气泡的次品（质量略轻）。为了确保卫星安全，必须用精密天平将它找出。最少需要测量几次？
3. （网购维权）你买了12盒同款巧克力，怀疑商家混了1盒临期品（可能轻也可能重）。你只有一个厨房电子秤，想通过最少称量次数来验证。请问你的策略是什么？至少称几次？
4. （网络安全）一个密钥由一串数字组成，但你知道其中恰好有一位数字传输错误（变大或变小了）。通过最多3次“区间和比对”（类似天平，比较两段数字的和），你最多能检查多长的密钥？
5. （生物实验）在9支看起来一样的试管中，有1支装的是普通水，其余8支是重水（密度略大）。用一台只能比较两组试管总重量的天平，至少称几次能找到那支普通水？

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身
1. \( 1 \) 次。（称任意两个）
2. \( 2 \) 次。（\( (1,1,2) \)，先称两个1）
3. \( 2 \) 次。（阿星原题）
4. \( 3 \) 次。（\( 3^2=9<10 \le 27=3^3 \)，所以 \( k=3 \)）
5. \( 2 \) 次。（\( 8 \le 9=3^2 \)，所以 \( k=2 \)）
6. \( 4 \) 次。（\( 3^4=81 \)， \( k=4 \)）
7. \( 3 \) 次。（\( 14 \le 27=3^3 \)， \( k=3 \)）
8. \( 3 \) 次。（\( 28 \) 个中找1个轻的， \( 28 \le 27? \) 不对，总数是 \( 27+1=28 \)， \( 28>27 \)， 所以 \( k=4 \)？仔细读题：“1个假币在27个真币中”，总数为 \( 28 \)。\( 28 \le 81=3^4 \)，所以是 \( 4 \) 次。此题是陷阱！）
9. \( 5 \) 次。（\( 3^5=243 \)， \( k=5 \)）
10. \( 3 \) 个。（称一次有3种结果，最多区分3种情况）

第二关 & 第三关解析略（篇幅有限，提供思路关键词）
第二关1: \( 3 \) 次（\( 13 \le 27 \)，且 \( 2\times13=26 \le 27 \)，公式 \( k=3 \)）。
第二关2: 从第1袋取1枚，第2袋取2枚...第5袋取5枚，一起称重。比标准总重少几克，就是第几袋。
第二关4: \( 244 \)， 找 \( k \) 使 \( 3^k \ge 2\times244=488 \)， \( 3^5=243<488<729=3^6 \)，所以 \( k=6 \) 次。
第三关1: \( 3 \) 次（同 \( 27 \) 个找轻的）。
第三关3: \( 3 \) 次（同例题3，12个不知轻重）。
第三关5: \( 2 \) 次（9个中找1个轻的）。