知识要点

💡 核心概念

分数就像是把一个整体（比如一个蛋糕、一张纸）平均分成若干份，表示其中的一份或几份。分数 \(\frac{m}{n}\) 中，横线叫分数线，分数线下面的 \(n\) 叫分母，表示整体被平均分成了多少份；分数线上面的 \(m\) 叫分子，表示取了这样的多少份。

例如：\(\frac{3}{4}\) 表示把整体“1”平均分成 4 份，取其中的 3 份。

📝 计算法则与性质

1. 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

即：\(\frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times c} = \frac{a \div d}{b \div d}\) （c， d 不为0）

这是约分和通分的基础。

2. 约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。通常要约到最简分数（分子和分母只有公因数1）。

步骤：找出分子和分母的最大公因数，然后分子分母同时除以它。

3. 通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。公分母通常是原来几个分母的最小公倍数。

步骤：找到几个分母的最小公倍数作为公分母，然后根据分数的基本性质，把每个分数化成分母为这个公分母的分数。

🎯 记忆口诀

分数意义记心间，平均分是总关键。
上分子，下分母，取得份数在上边。
分性（分数基本性质）很强悍，同乘同除值不变。
约分要找最大公因数，通分需寻最小公倍数。

🔗 知识关联

除法：分数与除法关系密切，分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。即 \(m \div n = \frac{m}{n}\)。
因数与倍数：约分和通分需要用到之前学过的因数、公因数、最大公因数以及倍数、公倍数、最小公倍数的知识。
整数：可以把整数看作分母是1的分数，例如 \(5 = \frac{5}{1}\)。

易错点警示

❌ 错误1：认为 \(\frac{1}{2}\) 和 \(\frac{2}{4}\) 的大小不同，因为它们“长得不一样”。

✅ 正解：根据分数的基本性质，\(\frac{1}{2} = \frac{1 \times 2}{2 \times 2} = \frac{2}{4}\)，所以它们大小相等。分数大小是否相等，要看它们的值，而不是看分子分母的数字。

❌ 错误2：约分时，没有约到最简分数。例如将 \(\frac{8}{12}\) 约成 \(\frac{4}{6}\) 就停止了。

✅ 正解：约分要找分子分母的最大公因数。8和12的最大公因数是4，应一步约简：\(\frac{8}{12} = \frac{8 \div 4}{12 \div 4} = \frac{2}{3}\)。

❌ 错误3：比较分数大小时，直接比较分母或分子。例如认为 \(\frac{3}{5} > \frac{3}{4}\)，因为 \(5>4\)。

✅ 正解：比较同分子分数时，分母越大，每份越小，分数值反而越小。正确比较是 \(\frac{3}{5} < \frac{3}{4}\)。比较异分母分数应先通分，化成同分母分数再比较。

例题精讲

🔥 例题1

把一根6米长的绳子平均分成7段，每段占全长的几分之几？每段长多少米？

📌 第一步：理解问题。 “每段占全长的几分之几”是把整根绳子看作单位“1”，求每段与单位“1”的关系。“每段长多少米”是求一个具体的长度。

📌 第二步：解决“占几分之几”。 把单位“1”平均分成7段，每段就是 \(1 \div 7 = \frac{1}{7}\)。

📌 第三步：解决“长多少米”。 这是求6米的 \(\frac{1}{7}\) 是多少，用除法：\(6 \div 7 = \frac{6}{7}\) (米)。

✅ 答案：每段占全长的 \(\frac{1}{7}\)，每段长 \(\frac{6}{7}\) 米。

💬 总结：区分“分率”（不带单位，表示关系）和“具体数量”（带单位）是解决分数应用题的关键。

🔥 例题2

比较 \(\frac{7}{12}\) 和 \(\frac{5}{8}\) 的大小。

📌 第一步：通分。 找分母12和8的最小公倍数。12和8的最小公倍数是24。

📌 第二步：化成分母为24的分数。

\(\frac{7}{12} = \frac{7 \times 2}{12 \times 2} = \frac{14}{24}\)

\(\frac{5}{8} = \frac{5 \times 3}{8 \times 3} = \frac{15}{24}\)

📌 第三步：比较分子。 因为 \(\frac{14}{24} < \frac{15}{24}\)，所以 \(\frac{7}{12} < \frac{5}{8}\)。

✅ 答案：\(\frac{7}{12} < \frac{5}{8}\)。

💬 总结：比较异分母分数，通分是通用、可靠的方法。关键是找到分母的最小公倍数作为公分母。

🔥 例题3

一个分数的分子与分母的和是48，约分后是 \(\frac{5}{7}\)。原来的分数是多少？

📌 第一步：理解约分。 约分后的分数 \(\frac{5}{7}\) 是原分数分子、分母同除以一个最大公因数后得到的最简形式。所以，可以把原分数的分子看作5份，分母看作7份。

📌 第二步：求一份是多少。 分子分母一共是 \(5+7=12\) 份，对应的和是48。所以一份是：\(48 \div 12 = 4\)。

📌 第三步：求原分子和分母。

原分子：\(5 \times 4 = 20\)

原分母：\(7 \times 4 = 28\)

✅ 答案：原来的分数是 \(\frac{20}{28}\)。

💬 总结：遇到约分问题，可以运用份数思想，将最简分数的分子分母看作“份数”，找到“和”或“差”对应的总份数，先求一份量。

练习题（10道）

填空：\(\frac{5}{9}\) 的分数单位是（），它有（）个这样的分数单位。
用分数表示图中的涂色部分。
（此处可放置一个平均分成8份，涂色3份的圆形SVG）
在括号里填上合适的数：\(\frac{3}{4} = \frac{（\ \ ）}{12} = \frac{18}{（\ \ ）}\)。
把 \(\frac{24}{36}\) 约分成最简分数。
把 \(\frac{3}{5}\) 和 \(\frac{7}{10}\) 通分。
比较大小：\(\frac{4}{9}\) （） \(\frac{5}{11}\)。
把0.8化成分数，并约简。
一箱苹果有24个，小明吃了其中的 \(\frac{1}{6}\)，小明吃了几个苹果？
一根彩带长 \(\frac{9}{10}\) 米，比另一根短 \(\frac{1}{5}\) 米，另一根彩带长多少米？
一个分数，分子比分母小8，约分后是 \(\frac{5}{9}\)，这个分数原来是多少？

奥数挑战（10道）

\(\frac{1}{2}， \frac{2}{3}， \frac{3}{4}， \frac{4}{5}\) 这四个分数中，哪一个最大？哪一个最小？
一个最简分数，分子分母的和是50，如果分子、分母都减去5，得到的分数是 \(\frac{2}{3}\)，求原来的分数。
比较 \(\frac{22223}{22224}\) 和 \(\frac{33334}{33335}\) 的大小。
一个分数，分子与分母的和是23，分母增加19后得到一个新分数，新分数约分为 \(\frac{1}{4}\)。求原分数。
写出一个比 \(\frac{1}{5}\) 大，又比 \(\frac{1}{4}\) 小的分数。
在 \(\frac{5}{7}\) 和 \(\frac{6}{7}\) 之间，分母是8的最简分数有哪些？
把分数 \(\frac{7}{13}\) 的分子和分母同时加上一个相同的数后，得到的新分数约分后是 \(\frac{2}{3}\)。加上的数是多少？
一个分数约分后是 \(\frac{3}{7}\)，若原分数的分子和分母的和是90，原分数是多少？若原分数的分子和分母的差是24呢？
\(\frac{A}{11}\) 和 \(\frac{B}{13}\) 都是真分数，并且 \(\frac{A}{11} + \frac{B}{13} \approx 1.38\)，求 A 和 B 各是多少。（A, B为自然数）
一个分数的分母比分子的3倍少2，分子分母同时加上7后，可约分为 \(\frac{2}{5}\)，求这个分数。

生活应用（5道）

（高铁）“复兴号”高铁从北京到上海需要约4.5小时，而普通直达列车需要约 \(\frac{32}{3}\) 小时。高铁比普通列车节省了多少小时？（结果用分数表示）
（航天）中国空间站绕地球一圈约需 \(\frac{23}{2}\) 小时。一天（24小时）大约能绕地球多少圈？（结果用带分数表示）
（AI与环保）某AI系统通过优化路线，使一支物流车队的碳排放量减少了 \(\frac{3}{20}\)。如果优化前每月碳排放量是100吨，优化后每月碳排放量是多少吨？
（网购节）“双十一”期间，某商品先提价 \(\frac{1}{10}\)，再降价 \(\frac{1}{10}\) 进行促销。现价是原价的几分之几？
（水资源）一个没有关紧的水龙头，每分钟滴水 \(\frac{1}{12}\) 升。照这样计算，\(\frac{3}{4}\) 小时会浪费多少升水？

参考答案与解析

【练习题答案】

\(\frac{1}{9}\)， 5

\(\frac{3}{8}\)

\(\frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{18}{24}\)

\(\frac{24}{36} = \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\)， \(\frac{7}{10}\) 保持不变。

通分：\(\frac{4}{9} = \frac{44}{99}\)， \(\frac{5}{11} = \frac{45}{99}\)，所以 \(\frac{4}{9} < \frac{5}{11}\)。

\(0.8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

\(24 \times \frac{1}{6} = 4\) (个)

\(\frac{9}{10} + \frac{1}{5} = \frac{9}{10} + \frac{2}{10} = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10}\) (米)

差倍问题。约分后差 \(9-5=4\) 份，对应实际差8。一份为 \(8 \div 4 = 2\)。原分数为 \(\frac{5 \times 2}{9 \times 2} = \frac{10}{18}\)。

【奥数挑战答案】

答案：\(\frac{4}{5}\)最大，\(\frac{1}{2}\)最小。
解析：这几个分数都小于1，且与1的差分别是 \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)。与1的差越小，分数越大。所以 \(\frac{4}{5}\)最大，\(\frac{1}{2}\)最小。

答案：\(\frac{21}{29}\)。
解析：设原分数分子为 \(a\)，分母为 \(b\)，则 \(a+b=50\)。变化后，\(\frac{a-5}{b-5} = \frac{2}{3}\)。交叉相乘得 \(3(a-5)=2(b-5)\)，即 \(3a-15=2b-10\)，\(3a-2b=5\)。与 \(a+b=50\) 联立解得 \(a=21, b=29\)。

答案：\(\frac{22223}{22224} < \frac{33334}{33335}\)。
解析：用1减去每个分数：\(1-\frac{22223}{22224}=\frac{1}{22224}\)， \(1-\frac{33334}{33335}=\frac{1}{33335}\)。因为 \(\frac{1}{22224} > \frac{1}{33335}\)，所以原来的分数 \(\frac{22223}{22224} < \frac{33334}{33335}\)。

答案：\(\frac{7}{16}\)。
解析：设原分数为 \(\frac{a}{b}\)，则 \(a+b=23\)。分母加19后为 \(\frac{a}{b+19} = \frac{1}{4}\)，即 \(4a = b+19\)。联立两式解得 \(a=7, b=16\)。

答案：\(\frac{9}{40}\) (答案不唯一)。
解析：通分：\(\frac{1}{5}=\frac{8}{40}\)， \(\frac{1}{4}=\frac{10}{40}\)，所以 \(\frac{9}{40}\) 符合条件。利用分数的基本性质可以找到更多。

答案：没有。
解析：\(\frac{5}{7} \approx 0.714\)， \(\frac{6}{7} \approx 0.857\)。分母是8的分数有：\(\frac{5}{8}=0.625\)， \(\frac{6}{8}=0.75\) (不是最简)， \(\frac{7}{8}=0.875\)。在区间内的只有 \(\frac{6}{8}\)，但它不是最简分数。所以没有符合条件的。

答案：5。
解析：设加上的数为 \(x\)，则 \(\frac{7+x}{13+x} = \frac{2}{3}\)。交叉相乘：\(3(7+x)=2(13+x)\)，解得 \(21+3x=26+2x\)， \(x=5\)。

答案：和是90时：\(\frac{27}{63}\)；差是24时：\(\frac{18}{42}\)。
解析：① 和是90：约分后份数和 \(3+7=10\)，一份为 \(90 \div 10 = 9\)，原分数为 \(\frac{27}{63}\)。② 差是24：约分后份数差 \(7-3=4\)，一份为 \(24 \div 4 = 6\)，原分数为 \(\frac{18}{42}\)。

答案：A=7， B=9。
解析：\(\frac{A}{11} \approx 0.636\)， \(\frac{B}{13} \approx 1.38 - 0.636 = 0.744\)。计算 \(0.744 \times 13 \approx 9.67\)， B为自然数，取B=9。验证：\(\frac{9}{13} \approx 0.692\)，则 \(\frac{A}{11} \approx 1.38-0.692=0.688\)， \(0.688 \times 11 \approx 7.57\)，取A=7。验证 \(\frac{7}{11}+\frac{9}{13} \approx 0.636+0.692=1.328\)，与1.38略有偏差，但这是近似值，且A, B必须为整数，所以此解合理。或计算 \(\frac{A}{11} + \frac{B}{13} = \frac{13A+11B}{143} = 1.38\)，即 \(13A+11B \approx 197.34\)，取整197。因A<11, B<13，试算得A=7, B=9时，\(13*7+11*9=91+99=190\)；A=8, B=9时，\(104+99=203\)。190更接近197，且 \(\frac{190}{143} \approx 1.328\)，是合理近似。

答案：\(\frac{11}{31}\)。
解析：设分子为 \(x\)，则分母为 \(3x-2\)。变化后：\(\frac{x+7}{(3x-2)+7} = \frac{2}{5}\)。解方程：\(5(x+7)=2(3x+5)\)， \(5x+35=6x+10\)，得 \(x=11\)。原分数为 \(\frac{11}{31}\)。

【生活应用答案】

\(\frac{32}{3} - 4.5 = \frac{32}{3} - \frac{9}{2} = \frac{64}{6} - \frac{27}{6} = \frac{37}{6}\) (小时)

\(24 \div \frac{23}{2} = 24 \times \frac{2}{23} = \frac{48}{23} = 2\frac{2}{23}\) (圈)

减少了：\(100 \times \frac{3}{20} = 15\) (吨)。优化后：\(100 - 15 = 85\) (吨)。或直接用：\(100 \times (1 - \frac{3}{20}) = 100 \times \frac{17}{20} = 85\) (吨)。

设原价为“1”。提价后：\(1 \times (1+\frac{1}{10}) = \frac{11}{10}\)。再降价：\(\frac{11}{10} \times (1-\frac{1}{10}) = \frac{11}{10} \times \frac{9}{10} = \frac{99}{100}\)。现价是原价的 \(\frac{99}{100}\)。

\(\frac{3}{4}\) 小时 = 45分钟。浪费水：\(\frac{1}{12} \times 45 = \frac{45}{12} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}\) (升)。

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