知识要点

💡 核心概念

繁分数就像是一个“分数中的分数”。它的分子或分母（或者两者）本身又是一个分数，甚至是一个复杂的算式。最核心的一条线叫做“主分数线”，它是最长的那一条分数线，决定了谁是最终的“总分子”，谁是最终的“总分母”。我们的目标，就是把这个“复杂”的分数，变成我们熟悉的“简单”分数（真分数或假分数）。

📝 计算法则

化简繁分数，关键在于一个字——“转”。具体步骤如下：

1. 定位主分数线：找到那条最长、最核心的分数线。它决定了整个繁分数的主体结构。
2. 转化除法：将主分数线看作除法符号。即：\( \dfrac{A}{B} = A \div B \)。这里，A是整个分子部分（可能很复杂），B是整个分母部分（也可能很复杂）。
3. 按顺序计算：先分别计算出A和B的值（如果它们是算式的话），然后用A除以B。在计算A和B时，必须遵守四则运算的顺序。

🎯 记忆口诀

“一线定乾坤（主分数线），除号中间分。上下先算清，最后再相除。”

🔗 知识关联

这项技能建立在几个坚实基础之上：

1. 分数的意义：分数与除法的关系 \( \dfrac{a}{b} = a \div b \)。

2. 四则运算顺序：先乘除，后加减，有括号先算括号内。

3. 分数的基本性质：虽然直接使用较少，但理解其原理有助于理解化简的本质。

易错点警示

❌ 错误1：主分数线找错，导致“分子”“分母”认定错误

错误做法：化简 \( \dfrac{2}{\dfrac{3}{4}} \) 时，误认为主分数线是短的那条，将其理解为 \( 2 \div 3 \div 4 \)。

✅ 正解：最长的那条是主分数线。所以，分子是 \( 2 \)，分母是 \( \dfrac{3}{4} \)。正确过程是：\( 2 \div \dfrac{3}{4} = 2 \times \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3} \)。

❌ 错误2：忽视“分子、分母自身先化简”的原则，直接“套公式”

错误做法：化简 \( \dfrac{1 + \dfrac{1}{2}}{3} \) 时，直接写作 \( (1 + \dfrac{1}{2}) \div 3 \)，但在书写时忘记给 \( 1 + \dfrac{1}{2} \) 加上括号，导致计算顺序错误，变成 \( 1 + \dfrac{1}{2} \div 3 \)。

✅ 正解：明确分子是一个整体 \( (1 + \dfrac{1}{2}) \)，必须先用括号保护起来。正确过程是：\( (1 + \dfrac{1}{2}) \div 3 = \dfrac{3}{2} \div 3 = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2} \)。

❌ 错误3：在多步运算中，运算顺序混乱

错误做法：计算 \( \dfrac{\dfrac{2}{3} \times 6}{1 + 2} \) 时，先算主分数线除法 \( \dfrac{2}{3} \times 6 \div (1+2) \)，然后在计算 \( \dfrac{2}{3} \times 6 \) 时，错误地先算 \( 6 \div 3 \)。

✅ 正解：严格遵守顺序：先分别算清主分数线上下部分。

分子：\( \dfrac{2}{3} \times 6 = 4 \)

分母：\( 1 + 2 = 3 \)

最后：\( 4 \div 3 = \dfrac{4}{3} \)。

三例题精讲

🔥 例题1：化简繁分数 \( \dfrac{5}{\dfrac{10}{7}} \)。

📌 第一步：定位主分数线。最长的那条线把 \( 5 \) 和 \( \dfrac{10}{7} \) 分开。

📌 第二步：转化为除法。原式 = \( 5 \div \dfrac{10}{7} \)。

📌 第三步：计算。除以一个分数等于乘它的倒数。\( 5 \times \dfrac{7}{10} = \dfrac{35}{10} = \dfrac{7}{2} \)。

✅ 答案： \( \dfrac{7}{2} \) 或 \( 3\dfrac{1}{2} \)。

💬 总结：这是最基础的“单层”繁分数，直接应用除法法则即可。

🔥 例题2：化简繁分数 \( \dfrac{1.2 - \dfrac{2}{5}}{0.3 \times 4} \)。

📌 第一步：定位主分数线。分子和分母都是算式。

📌 第二步：分别计算分子和分母的值。

分子：\( 1.2 - \dfrac{2}{5} = 1.2 - 0.4 = 0.8 \)

分母：\( 0.3 \times 4 = 1.2 \)

📌 第三步：将分子除以分母。\( 0.8 \div 1.2 = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3} \)。

✅ 答案： \( \dfrac{2}{3} \)。

💬 总结：当分子或分母是算式时，必须把它们各自当作一个整体先算出来，再进行最终的除法运算。

🔥 例题3：化简繁分数 \( \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}} \)。

📌 第一步：这是一个“多层”繁分数。我们从最内层的小繁分数开始化简。

最内层：\( 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \)。

📌 第二步：将结果代回，化简下一层。

原式变为：\( \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\frac{3}{2}}} \)。

计算 \( \dfrac{1}{\frac{3}{2}} = 1 \div \dfrac{3}{2} = 1 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{3} \)。

📌 第三步：继续化简。

原式变为：\( \dfrac{1}{1 + \dfrac{2}{3}} = \dfrac{1}{\frac{5}{3}} = 1 \div \dfrac{5}{3} = 1 \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{3}{5} \)。

✅ 答案： \( \dfrac{3}{5} \)。

💬 总结：对于多层繁分数，要像“剥洋葱”一样，从最里面一层开始，逐层化简，步步为营。

练习题（10道）

1. 化简：\( \dfrac{3}{\dfrac{9}{5}} \)。
2. 化简：\( \dfrac{\dfrac{7}{8}}{14} \)。
3. 化简：\( \dfrac{0.5 \times 6}{\dfrac{3}{4}} \)。
4. 化简：\( \dfrac{2 - \dfrac{1}{3}}{5 + 1} \)。
5. 化简：\( \dfrac{1.25}{\dfrac{1}{2} + 0.75} \)。
6. 计算：\( \dfrac{ \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} }{ \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} } \)。
7. 一个长方形的宽是 \( \dfrac{8}{5} \) 米，面积是 \( 4 \) 平方米，它的长用繁分数表示是多少米？并化简。
8. 化简：\( \dfrac{ (1.6 \div 0.4) }{ \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5} } \)。
9. 化简：\( \dfrac{ 3 \times ( \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{6} ) }{ 0.2 + 0.3 } \)。
10. 计算：\( \dfrac{ \dfrac{0.6 + 0.9}{1.5} }{ 2 - \dfrac{2}{3} } \)。

奥数挑战（10道）

1. 已知 \( a = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{3}} \)， \( b = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} \)， 求 \( a + b \) 的值。
2. 观察：\( \dfrac{1}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{3} \)， \( \dfrac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \dfrac{5}{8} \)， 请计算 \( \dfrac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}}} \) 的值。
3. 化简：\( 1 + \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}} \)。
4. 有一个繁分数 \( \dfrac{1}{2 + \frac{1}{x}} = \dfrac{5}{12} \)， 求 \( x \) 的值。
5. 计算：\( \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5} \)。（提示：先裂项化简每一项，再求和）
6. 化简连锁繁分数：\( \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - \frac{1}{2}}} \)。
7. 比较大小：\( A = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{2024}} \)， \( B = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2024}} \)， \( C = 1 \)。
8. 若 \( \dfrac{ \dfrac{a}{b} }{ \dfrac{c}{d} } = 2 \)， 且 \( \dfrac{ \dfrac{b}{a} }{ \dfrac{d}{c} } = 3 \)， 求 \( \dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \) 的值。（提示：先用除法法则化简已知条件）
9. 计算：\( \dfrac{1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}}{1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \div \dfrac{1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}}{1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}} \)。
10. 估算：\( \dfrac{10 + \dfrac{1}{10 + \frac{1}{10}}}{20 + \dfrac{1}{20 + \frac{1}{20}}} \) 的值最接近下列哪个数？ A. \( \dfrac{1}{4} \) B. \( \dfrac{1}{2} \) C. \( \dfrac{2}{3} \) D. 1

生活应用（5道）

1. （高铁速度） “复兴号”高铁行驶一段路程，上坡用了 \( 1\dfrac{1}{3} \) 小时，下坡用了 \( \dfrac{5}{6} \) 小时。这段路程的上坡时间是下坡时间的多少倍？（用繁分数表示并化简）
2. （航天燃料） 火箭发射时，一级火箭的燃料占总燃料的 \( \dfrac{2}{5} \)，二级火箭用的是剩余燃料的 \( \dfrac{3}{4} \)。那么二级火箭燃料占总燃料的几分之几？（用繁分数表示计算过程并化简）
3. （AI识别） 一个人脸识别AI程序，第一次识别正确了目标库的 \( \dfrac{7}{8} \)，在第一次识别正确的图片中，第二次识别又正确了其中的 \( \dfrac{6}{7} \）。这个AI程序连续两次都识别正确的图片占目标库的几分之几？
4. （环保回收） 学校环保小队本周收集的废纸是上周的 \( 1\dfrac{1}{2} \) 倍。已知上周收集了 \( \dfrac{4}{5} \) 公斤，本周比上周多收集多少公斤？（先列出一个包含繁分数的算式，再计算）
5. （网购优惠） 一件商品原价300元，“双十一”先降价 \( \dfrac{1}{10} \) 参加活动，活动结束后再在活动价基础上提价 \( \dfrac{1}{10} \) 恢复销售。最后的销售价是原价的几分之几？（用繁分数形式表示提价过程 \( \dfrac{ \text{活动价} \times (1+\frac{1}{10}) }{ \text{原价} } \)，并计算）