分式定义是什么？与整式怎么区分？附易错点精讲与中考真题训练专项练习题库

💡 阿星精讲：分式定义 原理

• 核心概念：大家好，我是阿星！今天我们来聊聊「分式」。它的样子很像我们小学就认识的分数，都是 「形如 A/B」 的式子。但是！它们有一个最最核心的区别，就像双胞胎身上的胎记一样，一眼就能分辨！听好了：分母中必须含有字母！ 这才是分式的灵魂。举个例子：\( \frac{x}{2} \)，分母是数字2，所以它是个整式（你可以把它看作 \( \frac{1}{2}x \)）。而 \( \frac{2}{x} \)，分母是字母 \( x \)，它就是一个真正的分式。简单记：分母带字母，才是真分式！
• 计算秘籍：判断一个式子是不是分式，就两招：
  1. 看形式：它必须是 \( \frac{A}{B} \) 的形式，A、B都是整式。
  2. 验灵魂：瞪大眼睛看分母 \( B \)，它必须含有字母，并且 \( B \neq 0 \)。
• 阿星口诀：“整式分式两兄弟，模样都像 A 除以 B。哥哥分母是常数，弟弟分母藏字母。字母现身是分式，这个关键要牢记！”

📐 图形解析

分式就像一个“有条件的”分数机器。我们可以用数轴来理解它的定义域（即字母可以取哪些值）。当分母这个“底盘”为零时，整个分式就“掉进悬崖”，没有意义了。

分式 \( \frac{1}{x-1} \) 有意义的条件：\( x - 1 \neq 0 \)

从图中可以看到，当 \( x=1 \) 时，分母 \( x-1=0 \)，分式无意义。所以它的定义域是 \( x < 1 \) 或 \( x > 1 \)。

⚠️ 易错警示：避坑指南

• ❌ 错误1：认为 \( \frac{\pi}{x} \) 不是分式，因为 \( \pi \) 是字母。
  → ✅ 正解：\( \pi \) 是一个常数，代表圆周率。分母 \( x \) 是字母，所以 \( \frac{\pi}{x} \) 是分式。
• ❌ 错误2：认为 \( \frac{3x}{x+1} \) 可以化简为 \( 3 \)，所以它不是分式。
  → ✅ 正解：判断一个式子是不是分式，要看原始形式，而不是化简后的结果。在 \( \frac{3x}{x+1} \) 中，分母 \( x+1 \) 含有字母，所以它本身就是分式。化简只是在它有意义 (\( x \neq -1 \)) 的条件下进行的变形。

🔥 三例题精讲

🚀 阶梯训练

第一关：基础热身（10道）

1. 判断：\( \frac{5}{x} \) 是分式。（ ）
2. 判断：\( \frac{\pi}{5} \) 是分式。（ ）
3. 在式子 \( \frac{1}{a}, \ \frac{x}{3}, \ \frac{3}{x+y}, \ \frac{c}{d} \) 中，是分式的有______个。
4. 分式 \( \frac{2x}{x-1} \) 有意义的条件是______。
5. 当 \( x = 3 \) 时，分式 \( \frac{x-2}{x+2} \) 的值是______。
6. 分式 \( \frac{5}{2x-6} \) 无意义，则 \( x = \) ______。
7. 笔记本单价 \( a \) 元，用 100 元买了 \( n \) 本，应找回多少钱？用含 \( a, n \) 的式子表示为______，这个式子是______式（填“整”或“分”）。
8. 已知分式 \( \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)，当 \( x = 4 \) 时，分式的值是______。
9. （多选）下列是分式的是（ ）A. \( \frac{m}{n} \) B. \( \frac{x}{\pi} \) C. \( \frac{1}{x-1} \) D. \( \frac{1}{2} x^2 \)
10. 若分式 \( \frac{|x|-1}{x+1} \) 的值为零，则 \( x \) 的值为______。

第二关：中考挑战（10道）

1. 要使分式 \( \frac{1}{\sqrt{x+2}} \) 有意义，则 \( x \) 的取值范围是______。
2. 若分式 \( \frac{x^2-4}{2x-4} \) 的值为零，则 \( x \) 的值是______。
3. 已知 \( x \) 为整数，且分式 \( \frac{2}{x-1} \) 的值为整数，则满足条件的 \( x \) 有______个。
4. 当 \( x \) 取哪些整数时，分式 \( \frac{6}{x-2} \) 的值为正整数？
5. 若不论 \( x \) 取何实数，分式 \( \frac{2x+3}{x^2+2x+m} \) 总有意义，求实数 \( m \) 的取值范围。
6. 观察一列分式：\( -\frac{2}{x}, \frac{4}{x^2}, -\frac{8}{x^3}, \frac{16}{x^4}, \dots \)，根据规律，第 \( n \) 个分式是______。
7. 已知 \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3 \)，则代数式 \( \frac{2a+3ab-2b}{a-ab-b} \) 的值为______。
8. 已知 \( a^2 - 3a + 1 = 0 \)，求 \( \frac{a^2}{a^4+1} \) 的值。
9. 一辆汽车开往距离出发地 \( s \) 千米的目的地，若前一半路程的平均速度为 \( v_1 \) 千米/时，后一半路程的平均速度为 \( v_2 \) 千米/时，则全程的平均速度是多少千米/时？（结果用含 \( v_1, v_2 \) 的分式表示）
10. 阅读材料：分式 \( \frac{x}{x+1} \) 可以拆分成 \( 1 - \frac{1}{x+1} \)。请仿照此法，将分式 \( \frac{2x+5}{x+3} \) 拆分成一个整式与一个分式的和。

第三关：生活应用（5道）

1. 【工程效率】甲工程队完成一项工程需要 \( a \) 天，乙工程队需要 \( b \) 天。两队合作一天能完成多少工作量？这个代数式是分式吗？
2. 【溶液浓度】一杯糖水总质量为 \( m \) 克，其中含糖 \( n \) 克。糖水的浓度如何表示？如果再加入 \( c \) 克糖，此时糖水的浓度是多少？
3. 【购物折扣】一件商品原价 \( p \) 元，现打 \( x \) 折（\( x \) 为整数）出售，售价是多少？若购买 \( y \) 件，总价是多少？当 \( x=8, y=3 \) 时，总价是整式还是分式的值？
4. 【速度问题】小明从家到图书馆的路程为 \( s \) 千米，去时速度为 \( v_1 \) 千米/时，回来时速度为 \( v_2 \) 千米/时。他往返一次的平均速度是多少？（提示：平均速度 = 总路程 / 总时间）
5. 【几何图形】一个圆柱的容积为 \( V \)，底面半径为 \( r \)。用含 \( r, V \) 的式子表示它的高 \( h \)。如果 \( V \) 是常数，\( h \) 是 \( r \) 的什么式子？（整式/分式）

🤔 常见疑问 FAQ

答案与解析

第一关：基础热身

1. ✅。分母 \( x \) 是字母。
2. ❌。分母 \( 5 \) 是常数，\( \pi \) 也是常数。
3. 3个 (\( \frac{1}{a}, \frac{3}{x+y}, \frac{c}{d} \))。
4. \( x-1 \neq 0 \)，即 \( x \neq 1 \)。
5. \( \frac{3-2}{3+2} = \frac{1}{5} \)。
6. 令 \( 2x-6=0 \)，得 \( x=3 \)。
7. \( (100 - an) \) 元，是整式。
8. \( \frac{4^2-9}{4-3} = \frac{7}{1} = 7 \)。
9. A、C。
10. 值为零需满足 \( |x|-1=0 \) 且 \( x+1 \neq 0 \)。由 \( |x|=1 \) 得 \( x= \pm 1 \)，再由 \( x \neq -1 \) 得 \( x=1 \)。

第二关：中考挑战

1. 需满足 \( x+2 > 0 \)，即 \( x > -2 \)。
2. 值为零需满足 \( x^2-4=0 \) 且 \( 2x-4 \neq 0 \)。解得 \( x= \pm 2 \)，排除 \( x=2 \)（此时分母为0），故 \( x=-2 \)。
3. \( \frac{2}{x-1} \) 为整数，则 \( x-1 \) 是2的因数：\( \pm 1, \pm 2 \)。对应 \( x = 2, 0, 3, -1 \)。共4个。
4. \( \frac{6}{x-2} \) 为正整数，则 \( x-2 \) 是6的正因数：1, 2, 3, 6。对应 \( x = 3, 4, 5, 8 \)。
5. 分式总有意义，即分母 \( x^2+2x+m \neq 0 \) 恒成立。即二次函数 \( y=x^2+2x+m \) 与x轴无交点，判别式 \( \Delta < 0 \)。\( \Delta = 4-4m < 0 \)，解得 \( m > 1 \)。
6. 符号负正交替：\( (-1)^n \)。系数是2的幂：\( 2^n \)。字母部分是 \( x \) 的幂：\( x^n \)。故第 \( n \) 个分式为 \( (-1)^n \frac{2^n}{x^n} \)。
7. 由 \( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 3 \) 得 \( \frac{b-a}{ab}=3 \)，即 \( b-a=3ab \)，故 \( a-b=-3ab \)。代入代数式：\( \frac{2(a-b)+3ab}{(a-b)-ab} = \frac{2(-3ab)+3ab}{-3ab-ab} = \frac{-3ab}{-4ab} = \frac{3}{4} \)。
8. 由 \( a^2 - 3a + 1 = 0 \) 知 \( a \neq 0 \)，两边同除以 \( a \) 得 \( a + \frac{1}{a} = 3 \)。\( \frac{a^2}{a^4+1} = \frac{1}{a^2+\frac{1}{a^2}} \)。而 \( a^2+\frac{1}{a^2} = (a+\frac{1}{a})^2 - 2 = 9-2=7 \)。故原式 \( = \frac{1}{7} \)。
9. 总时间 \( t = \frac{s/2}{v_1} + \frac{s/2}{v_2} = \frac{s(v_1+v_2)}{2v_1v_2} \)。平均速度 \( \bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{s}{\frac{s(v_1+v_2)}{2v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} \)（千米/时）。
10. \( \frac{2x+5}{x+3} = \frac{2(x+3)-1}{x+3} = 2 - \frac{1}{x+3} \)。

第三关：生活应用

1. 甲队效率 \( \frac{1}{a} \)，乙队效率 \( \frac{1}{b} \)。合作效率为 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a+b}{ab} \)。这个式子是分式。
2. 原浓度：\( \frac{n}{m} \)。加入 \( c \) 克糖后，总质量 \( m+c \)，总糖量 \( n+c \)，新浓度：\( \frac{n+c}{m+c} \)。
3. 打折后单价：\( \frac{x}{10}p \) 元。总价：\( \frac{x}{10}py \) 元。当 \( x=8, y=3 \) 时，总价为 \( \frac{8}{10} \times p \times 3 = 2.4p \)，这是一个关于 \( p \) 的整式（一次单项式）的值。
4. 总时间 \( t = \frac{s}{v_1} + \frac{s}{v_2} = \frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2} \)。平均速度 \( \bar{v} = \frac{2s}{t} = \frac{2s}{\frac{s(v_1+v_2)}{v_1v_2}} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} \)。
5. 圆柱体积 \( V = \pi r^2 h \)，所以 \( h = \frac{V}{\pi r^2} \)。当 \( V \) 为常数时，\( h \) 是 \( r \) 的分式。